Номер 88, страница 49 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Для упрощения выражения представим корни в виде степеней и воспользуемся свойствами степеней $ a^m \cdot a^n = a^{m+n} $, $ (a^m)^n = a^{mn} $ и $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $.
Сначала упростим числитель: $ \sqrt[6]{a\sqrt[3]{a^{-1}}} = \sqrt[6]{a^1 \cdot a^{-1/3}} = \sqrt[6]{a^{1 - 1/3}} = \sqrt[6]{a^{2/3}} = (a^{2/3})^{1/6} = a^{\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{6}} = a^{\frac{2}{18}} = a^{\frac{1}{9}} $.
Теперь упростим знаменатель: $ \sqrt[9]{a^{-2}} = a^{-2/9} $.
Разделим числитель на знаменатель: $ \frac{a^{1/9}}{a^{-2/9}} = a^{1/9 - (-2/9)} = a^{1/9 + 2/9} = a^{3/9} = a^{1/3} = \sqrt[3]{a} $.
Ответ: $ \sqrt[3]{a} $

2) Преобразуем выражение, используя степенные представления корней.
Числитель: $ \sqrt[4]{x^3\sqrt[3]{x}} = \sqrt[4]{x^3 \cdot x^{1/3}} = \sqrt[4]{x^{3 + 1/3}} = \sqrt[4]{x^{10/3}} = (x^{10/3})^{1/4} = x^{\frac{10}{3} \cdot \frac{1}{4}} = x^{\frac{10}{12}} = x^{\frac{5}{6}} $.
Знаменатель: $ \sqrt[3]{x} = x^{1/3} $.
Выполним деление: $ \frac{x^{5/6}}{x^{1/3}} = x^{5/6 - 1/3} = x^{5/6 - 2/6} = x^{3/6} = x^{1/2} = \sqrt{x} $.
Ответ: $ \sqrt{x} $

3) Упростим числитель и знаменатель по отдельности.
Числитель: $ \sqrt[4]{a^{-1}b^2}\sqrt{ab} = (a^{-1}b^2)^{1/4}(ab)^{1/2} = a^{-1/4}b^{2/4}a^{1/2}b^{1/2} = a^{-1/4+1/2}b^{1/2+1/2} = a^{1/4}b $.
Знаменатель: $ \sqrt[3]{a^2b^{-2}\sqrt[4]{a^3b}} = \sqrt[3]{a^2b^{-2}(a^3b)^{1/4}} = \sqrt[3]{a^2b^{-2}a^{3/4}b^{1/4}} = \sqrt[3]{a^{2+3/4}b^{-2+1/4}} = \sqrt[3]{a^{11/4}b^{-7/4}} = (a^{11/4}b^{-7/4})^{1/3} = a^{\frac{11}{12}}b^{-\frac{7}{12}} $.
Разделим числитель на знаменатель: $ \frac{a^{1/4}b^1}{a^{11/12}b^{-7/12}} = a^{1/4 - 11/12}b^{1 - (-7/12)} = a^{3/12 - 11/12}b^{12/12 + 7/12} = a^{-8/12}b^{19/12} = a^{-2/3}b^{19/12} $.
Ответ: $ a^{-2/3}b^{19/12} $

4) Упростим числитель и знаменатель, перейдя к степеням.
Числитель: $ \sqrt[5]{x^{-2}y\sqrt{xy^{-1}}} = \sqrt[5]{x^{-2}y(xy^{-1})^{1/2}} = \sqrt[5]{x^{-2}y x^{1/2}y^{-1/2}} = \sqrt[5]{x^{-2+1/2}y^{1-1/2}} = \sqrt[5]{x^{-3/2}y^{1/2}} = (x^{-3/2}y^{1/2})^{1/5} = x^{-3/10}y^{1/10} $.
Знаменатель: $ \sqrt{xy^{-1}\sqrt[5]{x^2y^{-4}}} = \sqrt{xy^{-1}(x^2y^{-4})^{1/5}} = \sqrt{xy^{-1}x^{2/5}y^{-4/5}} = \sqrt{x^{1+2/5}y^{-1-4/5}} = \sqrt{x^{7/5}y^{-9/5}} = (x^{7/5}y^{-9/5})^{1/2} = x^{7/10}y^{-9/10} $.
Выполним деление: $ \frac{x^{-3/10}y^{1/10}}{x^{7/10}y^{-9/10}} = x^{-3/10-7/10}y^{1/10-(-9/10)} = x^{-10/10}y^{10/10} = x^{-1}y^1 = \frac{y}{x} $.
Ответ: $ \frac{y}{x} $

5) Структура выражения интерпретируется как $ \sqrt{\sqrt[3]{\frac{x}{y}} \cdot \sqrt{\frac{x}{y}} \cdot \sqrt{\frac{x}{y}}} \cdot \sqrt[3]{\frac{x}{y}} $. Обозначим $ A = \frac{x}{y} $ для удобства.
Первый множитель: $ \sqrt{A^{1/3} \cdot A^{1/2} \cdot A^{1/2}} = \sqrt{A^{1/3+1/2+1/2}} = \sqrt{A^{1/3+1}} = \sqrt{A^{4/3}} = (A^{4/3})^{1/2} = A^{2/3} $.
Второй множитель: $ \sqrt[3]{\frac{x}{y}} = A^{1/3} $.
Перемножим полученные выражения: $ A^{2/3} \cdot A^{1/3} = A^{2/3+1/3} = A^1 = \frac{x}{y} $.
Ответ: $ \frac{x}{y} $

6) Выполним действия последовательно, учитывая, что ":" означает деление.
$ \sqrt{\sqrt[4]{x}} \cdot x^{-1} \cdot y : (y^2x) = \frac{\sqrt[8]{x} \cdot x^{-1} \cdot y}{y^2x} = \frac{x^{1/8} \cdot x^{-1} \cdot y^1}{y^2 \cdot x^1} $.
Сгруппируем переменные: $ x^{1/8 - 1 - 1} \cdot y^{1 - 2} = x^{1/8 - 2} \cdot y^{-1} = x^{1/8 - 16/8} \cdot y^{-1} = x^{-15/8}y^{-1} $.
Ответ: $ x^{-15/8}y^{-1} $

7) Сначала упростим дробь, а затем выполним деление на второе выражение.
Упрощаем дробь: $ \frac{\sqrt{b^2 \cdot \sqrt[4]{ab^2}}}{\sqrt[4]{(ab^{-2})^3}} = \frac{\sqrt{b^2 (ab^2)^{1/4}}}{(ab^{-2})^{3/4}} = \frac{\sqrt{b^2 a^{1/4}b^{1/2}}}{a^{3/4}b^{-6/4}} = \frac{\sqrt{a^{1/4}b^{2+1/2}}}{a^{3/4}b^{-3/2}} = \frac{(a^{1/4}b^{5/2})^{1/2}}{a^{3/4}b^{-3/2}} = \frac{a^{1/8}b^{5/4}}{a^{3/4}b^{-3/2}} = a^{1/8-3/4}b^{5/4-(-3/2)} = a^{1/8-6/8}b^{5/4+6/4} = a^{-5/8}b^{11/4} $.
Упрощаем делитель: $ (a \cdot b^{-2})^{-2} = a^{-2}(b^{-2})^{-2} = a^{-2}b^4 $.
Выполняем деление: $ \frac{a^{-5/8}b^{11/4}}{a^{-2}b^4} = a^{-5/8 - (-2)}b^{11/4 - 4} = a^{-5/8+16/8}b^{11/4-16/4} = a^{11/8}b^{-5/4} $.
Ответ: $ a^{11/8}b^{-5/4} $

8) Упростим первый множитель, а затем выполним умножение. Знак "·" означает умножение.
Первый множитель: $ \frac{\sqrt[3]{a^2\sqrt{b}}}{\sqrt[4]{(a^{-1}b^2)^{-3}}} = \frac{\sqrt[3]{a^2 b^{1/2}}}{(a^{-1}b^2)^{-3/4}} = \frac{(a^2 b^{1/2})^{1/3}}{a^{(-1)(-3/4)}b^{2(-3/4)}} = \frac{a^{2/3}b^{1/6}}{a^{3/4}b^{-3/2}} = a^{2/3-3/4}b^{1/6-(-3/2)} = a^{8/12-9/12}b^{1/6+9/6} = a^{-1/12}b^{10/6} = a^{-1/12}b^{5/3} $.
Второй множитель: $ \sqrt[12]{ab^{16}} = (ab^{16})^{1/12} = a^{1/12}b^{16/12} = a^{1/12}b^{4/3} $.
Перемножим результаты: $ (a^{-1/12}b^{5/3}) \cdot (a^{1/12}b^{4/3}) = a^{-1/12+1/12}b^{5/3+4/3} = a^0 b^{9/3} = 1 \cdot b^3 = b^3 $.
Ответ: $ b^3 $