Номер 89, страница 50 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Докажем тождество: $ \frac{\sqrt[10]{27^4} \cdot \sqrt[5]{9}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt[5]{3^4} \cdot \sqrt{27}} - \frac{5}{3} \sqrt[3]{1\frac{91}{125}} = -1 $.

Сначала преобразуем левую часть равенства. Упростим вычитаемое:

$ \frac{5}{3} \sqrt[3]{1\frac{91}{125}} = \frac{5}{3} \sqrt[3]{\frac{125 \cdot 1 + 91}{125}} = \frac{5}{3} \sqrt[3]{\frac{216}{125}} = \frac{5}{3} \cdot \frac{\sqrt[3]{216}}{\sqrt[3]{125}} = \frac{5}{3} \cdot \frac{6}{5} = \frac{30}{15} = 2. $

Теперь левая часть выглядит так: $ \frac{\sqrt[10]{27^4} \cdot \sqrt[5]{9}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt[5]{3^4} \cdot \sqrt{27}} - 2 $.Чтобы тождество было верным, первое слагаемое (дробь) должно быть равно $ -1 + 2 = 1 $.

Проверим значение первого слагаемого. Представим все подкоренные выражения как степени числа 3 ($9=3^2$, $27=3^3$) и запишем корни в виде степеней с дробными показателями.

Числитель дроби:

$ \sqrt[10]{27^4} \cdot \sqrt[5]{9} = \sqrt[10]{(3^3)^4} \cdot \sqrt[5]{3^2} = 3^{\frac{12}{10}} \cdot 3^{\frac{2}{5}} = 3^{\frac{6}{5}} \cdot 3^{\frac{2}{5}} = 3^{\frac{6}{5}+\frac{2}{5}} = 3^{\frac{8}{5}}. $

Знаменатель дроби:

$ \sqrt{3} \cdot \sqrt[5]{3^4} \cdot \sqrt{27} = 3^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{4}{5}} \cdot \sqrt{3^3} = 3^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{4}{5}} \cdot 3^{\frac{3}{2}} = 3^{\frac{1}{2}+\frac{3}{2}+\frac{4}{5}} = 3^{2+\frac{4}{5}} = 3^{\frac{14}{5}}. $

Теперь найдем значение дроби:

$ \frac{3^{\frac{8}{5}}}{3^{\frac{14}{5}}} = 3^{\frac{8}{5} - \frac{14}{5}} = 3^{-\frac{6}{5}}. $

Поскольку $ 3^{-\frac{6}{5}} \neq 1 $, исходное тождество в том виде, как оно записано, неверно. Вероятно, в условии допущена опечатка. Если предположить, что в знаменателе вместо $ \sqrt{27} $ должно быть $ \sqrt[10]{27} $, то знаменатель примет вид:

$ \sqrt{3} \cdot \sqrt[5]{3^4} \cdot \sqrt[10]{27} = 3^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{4}{5}} \cdot 3^{\frac{3}{10}} = 3^{\frac{5}{10}+\frac{8}{10}+\frac{3}{10}} = 3^{\frac{16}{10}} = 3^{\frac{8}{5}}. $

В этом случае дробь будет равна:

$ \frac{3^{\frac{8}{5}}}{3^{\frac{8}{5}}} = 1. $

Тогда левая часть равенства становится $ 1 - 2 = -1 $, что соответствует правой части.

Ответ: Тождество верно, если в знаменателе дроби вместо $ \sqrt{27} $ должно стоять $ \sqrt[10]{27} $.

2) Докажем тождество: $ \frac{\sqrt{5}\sqrt[4]{80}}{8\sqrt{20} \cdot \sqrt[4]{50}} + \frac{2}{5} \sqrt[3]{1\frac{61}{64}} = 1,5 $.

Рассмотрим левую часть равенства и упростим ее по частям.

Упростим второе слагаемое:

$ \frac{2}{5} \sqrt[3]{1\frac{61}{64}} = \frac{2}{5} \sqrt[3]{\frac{64 \cdot 1 + 61}{64}} = \frac{2}{5} \sqrt[3]{\frac{125}{64}} = \frac{2}{5} \cdot \frac{\sqrt[3]{125}}{\sqrt[3]{64}} = \frac{2}{5} \cdot \frac{5}{4} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2} = 0,5. $

Теперь левая часть равенства имеет вид: $ \frac{\sqrt{5}\sqrt[4]{80}}{8\sqrt{20} \cdot \sqrt[4]{50}} + 0,5 $.Чтобы тождество было верным, первое слагаемое (дробь) должно быть равно $ 1,5 - 0,5 = 1 $.

Проверим значение первого слагаемого. Сгруппируем корни с одинаковыми показателями и упростим:

$ \frac{\sqrt{5}\sqrt[4]{80}}{8\sqrt{20} \cdot \sqrt[4]{50}} = \frac{1}{8} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{20}} \cdot \frac{\sqrt[4]{80}}{\sqrt[4]{50}} = \frac{1}{8} \cdot \sqrt{\frac{5}{20}} \cdot \sqrt[4]{\frac{80}{50}} = \frac{1}{8} \cdot \sqrt{\frac{1}{4}} \cdot \sqrt[4]{\frac{8}{5}} = \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{2} \cdot \sqrt[4]{\frac{8}{5}} = \frac{1}{16}\sqrt[4]{\frac{8}{5}}. $

Поскольку $ \frac{1}{16}\sqrt[4]{\frac{8}{5}} \neq 1 $, то первое слагаемое не равно 1.

Таким образом, левая часть равенства не равна 1,5:

$ \frac{1}{16}\sqrt[4]{\frac{8}{5}} + 0,5 \neq 1,5. $

Следовательно, данное тождество не является верным в предложенной записи.

Ответ: Представленное равенство не является тождеством, так как его левая часть не равна правой.