Номер 82, страница 48 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Вычислим значение каждого слагаемого в выражении $2\sqrt[4]{81} + \sqrt[3]{-125} + \sqrt[6]{64}$.
Сначала найдем значения корней:
Корень четвертой степени из 81: $\sqrt[4]{81} = \sqrt[4]{3^4} = 3$.
Кубический корень из -125: $\sqrt[3]{-125} = \sqrt[3]{(-5)^3} = -5$.
Корень шестой степени из 64: $\sqrt[6]{64} = \sqrt[6]{2^6} = 2$.
Теперь подставим найденные значения в исходное выражение и выполним вычисления:
$2 \cdot 3 + (-5) + 2 = 6 - 5 + 2 = 1 + 2 = 3$.
Ответ: $3$.

2) Вычислим значение каждого члена выражения $5\sqrt[3]{-8} + \sqrt[4]{16} - \sqrt[6]{729}$.
Найдем значения корней:
Кубический корень из -8: $\sqrt[3]{-8} = \sqrt[3]{(-2)^3} = -2$.
Корень четвертой степени из 16: $\sqrt[4]{16} = \sqrt[4]{2^4} = 2$.
Корень шестой степени из 729: $\sqrt[6]{729} = \sqrt[6]{3^6} = 3$.
Подставим найденные значения в исходное выражение и выполним вычисления:
$5 \cdot (-2) + 2 - 3 = -10 + 2 - 3 = -8 - 3 = -11$.
Ответ: $-11$.

3) Упростим выражение $\sqrt[3]{375} - \frac{2}{7}\sqrt[3]{1029} + 0,75\sqrt[3]{192} - 0,2\sqrt[3]{3000}$, вынеся множители из-под знака корня. Для этого разложим подкоренные выражения на множители так, чтобы один из множителей был кубом целого числа.
$\sqrt[3]{375} = \sqrt[3]{125 \cdot 3} = \sqrt[3]{5^3 \cdot 3} = 5\sqrt[3]{3}$.
$\sqrt[3]{1029} = \sqrt[3]{343 \cdot 3} = \sqrt[3]{7^3 \cdot 3} = 7\sqrt[3]{3}$.
$\sqrt[3]{192} = \sqrt[3]{64 \cdot 3} = \sqrt[3]{4^3 \cdot 3} = 4\sqrt[3]{3}$.
$\sqrt[3]{3000} = \sqrt[3]{1000 \cdot 3} = \sqrt[3]{10^3 \cdot 3} = 10\sqrt[3]{3}$.
Подставим упрощенные корни в выражение:
$5\sqrt[3]{3} - \frac{2}{7} \cdot (7\sqrt[3]{3}) + 0,75 \cdot (4\sqrt[3]{3}) - 0,2 \cdot (10\sqrt[3]{3})$
Выполним умножение коэффициентов:
$= 5\sqrt[3]{3} - 2\sqrt[3]{3} + 3\sqrt[3]{3} - 2\sqrt[3]{3}$
Сгруппируем подобные слагаемые, вынеся общий множитель $\sqrt[3]{3}$ за скобки:
$(5 - 2 + 3 - 2)\sqrt[3]{3} = 4\sqrt[3]{3}$.
Ответ: $4\sqrt[3]{3}$.

4) Упростим выражение $\frac{4}{3}\sqrt[4]{162} - 0,2\sqrt[4]{1250} + 0,75\sqrt[4]{512} - 7\sqrt[4]{2}$, вынеся множители из-под знака корня. Для этого разложим подкоренные выражения на множители так, чтобы один из множителей был четвертой степенью целого числа.
$\sqrt[4]{162} = \sqrt[4]{81 \cdot 2} = \sqrt[4]{3^4 \cdot 2} = 3\sqrt[4]{2}$.
$\sqrt[4]{1250} = \sqrt[4]{625 \cdot 2} = \sqrt[4]{5^4 \cdot 2} = 5\sqrt[4]{2}$.
$\sqrt[4]{512} = \sqrt[4]{256 \cdot 2} = \sqrt[4]{4^4 \cdot 2} = 4\sqrt[4]{2}$.
Подставим упрощенные корни в выражение:
$\frac{4}{3} \cdot (3\sqrt[4]{2}) - 0,2 \cdot (5\sqrt[4]{2}) + 0,75 \cdot (4\sqrt[4]{2}) - 7\sqrt[4]{2}$
Выполним умножение коэффициентов:
$= 4\sqrt[4]{2} - 1\sqrt[4]{2} + 3\sqrt[4]{2} - 7\sqrt[4]{2}$
Сгруппируем подобные слагаемые, вынеся общий множитель $\sqrt[4]{2}$ за скобки:
$(4 - 1 + 3 - 7)\sqrt[4]{2} = (6 - 7)\sqrt[4]{2} = -\sqrt[4]{2}$.
Ответ: $-\sqrt[4]{2}$.