Номер 83, страница 48 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1)

Докажем тождество: $(2\sqrt{175} - 3\sqrt{28} + 2\sqrt{63})^2 - 60\sqrt[3]{1000} = 100$.

Для этого преобразуем левую часть равенства. Сначала упростим выражение в скобках, вынеся множители из-под знака корня:

$\sqrt{175} = \sqrt{25 \cdot 7} = \sqrt{5^2 \cdot 7} = 5\sqrt{7}$

$\sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = \sqrt{2^2 \cdot 7} = 2\sqrt{7}$

$\sqrt{63} = \sqrt{9 \cdot 7} = \sqrt{3^2 \cdot 7} = 3\sqrt{7}$

Подставим упрощенные значения в выражение в скобках:

$2\sqrt{175} - 3\sqrt{28} + 2\sqrt{63} = 2(5\sqrt{7}) - 3(2\sqrt{7}) + 2(3\sqrt{7}) = 10\sqrt{7} - 6\sqrt{7} + 6\sqrt{7} = 10\sqrt{7}$.

Теперь возведем полученный результат в квадрат:

$(10\sqrt{7})^2 = 10^2 \cdot (\sqrt{7})^2 = 100 \cdot 7 = 700$.

Далее вычислим вторую часть выражения:

$60\sqrt[3]{1000} = 60 \cdot \sqrt[3]{10^3} = 60 \cdot 10 = 600$.

Выполним вычитание:

$700 - 600 = 100$.

В результате преобразований левая часть равенства оказалась равна 100, что соответствует правой части. Таким образом, $100 = 100$.

Ответ: тождество доказано.

2)

Докажем тождество: $\frac{1}{3}(2\sqrt{150} + 3\sqrt{24} - 5\sqrt{54})^2 + 15\sqrt[4]{625} = 77$.

Преобразуем левую часть. Сначала упростим выражение в скобках:

$\sqrt{150} = \sqrt{25 \cdot 6} = 5\sqrt{6}$

$\sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6}$

$\sqrt{54} = \sqrt{9 \cdot 6} = 3\sqrt{6}$

Подставим эти значения в скобки:

$2(5\sqrt{6}) + 3(2\sqrt{6}) - 5(3\sqrt{6}) = 10\sqrt{6} + 6\sqrt{6} - 15\sqrt{6} = (10+6-15)\sqrt{6} = 1\sqrt{6} = \sqrt{6}$.

Теперь вычислим первую часть исходного выражения:

$\frac{1}{3}(\sqrt{6})^2 = \frac{1}{3} \cdot 6 = 2$.

Вычислим вторую часть выражения:

$15\sqrt[4]{625} = 15\sqrt[4]{5^4} = 15 \cdot 5 = 75$.

Сложим полученные результаты:

$2 + 75 = 77$.

Левая часть равна правой: $77 = 77$.

Ответ: тождество доказано.

3)

Докажем тождество: $(\sqrt[6]{5 + 2\sqrt{6}} + \sqrt[3]{\sqrt{3} + \sqrt{2}}) \cdot \sqrt[3]{\sqrt{2} - \sqrt{3}} = -2$.

Преобразуем левую часть. Упростим первый член в скобках $\sqrt[6]{5 + 2\sqrt{6}}$.

Заметим, что подкоренное выражение $5 + 2\sqrt{6}$ можно представить в виде квадрата суммы по формуле $(a+b)^2 = a^2+b^2+2ab$.

$5 + 2\sqrt{6} = 3 + 2 + 2\sqrt{3 \cdot 2} = (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{2})^2 + 2\sqrt{3}\sqrt{2} = (\sqrt{3} + \sqrt{2})^2$.

Тогда:

$\sqrt[6]{5 + 2\sqrt{6}} = \sqrt[6]{(\sqrt{3} + \sqrt{2})^2} = (\sqrt{3} + \sqrt{2})^{2/6} = (\sqrt{3} + \sqrt{2})^{1/3} = \sqrt[3]{\sqrt{3} + \sqrt{2}}$.

Подставим это в исходное выражение:

$(\sqrt[3]{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \sqrt[3]{\sqrt{3} + \sqrt{2}}) \cdot \sqrt[3]{\sqrt{2} - \sqrt{3}} = (2\sqrt[3]{\sqrt{3} + \sqrt{2}}) \cdot \sqrt[3]{\sqrt{2} - \sqrt{3}}$.

Используем свойство корней $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$:

$2\sqrt[3]{(\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{2} - \sqrt{3})}$.

Выражение в скобках под корнем является разностью квадратов $(\sqrt{2})^2 - (\sqrt{3})^2 = 2 - 3 = -1$.

Получаем:

$2\sqrt[3]{-1} = 2 \cdot (-1) = -2$.

Левая часть равна правой: $-2 = -2$.

Ответ: тождество доказано.

4)

Докажем тождество: $\sqrt{20,25} + \sqrt[3]{24} - \sqrt[4]{0,1296} - \frac{2}{5}\sqrt[3]{375} + \frac{1}{3}\sqrt[5]{7\frac{19}{32}} = 4,4$.

Вычислим каждое слагаемое в левой части по отдельности:

$\sqrt{20,25} = \sqrt{\frac{2025}{100}} = \frac{45}{10} = 4,5$.

$\sqrt[3]{24} = \sqrt[3]{8 \cdot 3} = 2\sqrt[3]{3}$.

$\sqrt[4]{0,1296} = \sqrt[4]{\frac{1296}{10000}} = \frac{\sqrt[4]{6^4}}{\sqrt[4]{10^4}} = \frac{6}{10} = 0,6$.

$\frac{2}{5}\sqrt[3]{375} = \frac{2}{5}\sqrt[3]{125 \cdot 3} = \frac{2}{5} \cdot 5\sqrt[3]{3} = 2\sqrt[3]{3}$.

$\frac{1}{3}\sqrt[5]{7\frac{19}{32}} = \frac{1}{3}\sqrt[5]{\frac{7 \cdot 32 + 19}{32}} = \frac{1}{3}\sqrt[5]{\frac{224 + 19}{32}} = \frac{1}{3}\sqrt[5]{\frac{243}{32}} = \frac{1}{3}\frac{\sqrt[5]{3^5}}{\sqrt[5]{2^5}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} = \frac{1}{2} = 0,5$.

Теперь подставим вычисленные значения в исходное выражение:

$4,5 + 2\sqrt[3]{3} - 0,6 - 2\sqrt[3]{3} + 0,5$.

Сгруппируем и упростим:

$(4,5 - 0,6 + 0,5) + (2\sqrt[3]{3} - 2\sqrt[3]{3})$.

Члены с $\sqrt[3]{3}$ взаимно уничтожаются. Остается вычислить сумму чисел:

$4,5 - 0,6 + 0,5 = 3,9 + 0,5 = 4,4$.

Левая часть равна правой: $4,4 = 4,4$.

Ответ: тождество доказано.