Вопросы, страница 55 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1. Бүтін көрсеткішті және бөлшек көрсеткішті дәрежелердің қандай ұқсастығы және айырмашылығы бар?

Бүтін және бөлшек көрсеткішті дәрежелердің ұқсастықтары да, айырмашылықтары да бар.

Ұқсастықтары:

1. Екі жағдайда да негізі оң сан ($a > 0$) болғанда, дәрежелердің негізгі қасиеттері сақталады:
• Көбейту: $a^x \cdot a^y = a^{x+y}$
• Бөлу: $a^x : a^y = a^{x-y}$
• Дәрежеге шығару: $(a^x)^y = a^{xy}$
• Көбейтіндіні дәрежеге шығару: $(ab)^x = a^x b^x$
• Бөлшекті дәрежеге шығару: $(a/b)^x = a^x / b^x$

2. Бүтін көрсеткішті дәреже бөлшек көрсеткішті дәреженің дербес жағдайы болып табылады. Мысалы, кез келген бүтін санды $n$ бөлшек түрінде $n/1$ деп жазуға болады: $a^n = a^{n/1}$.

Айырмашылықтары:

1.Анықтамасы бойынша:
• Бүтін натурал $n$ көрсеткішті дәреже ($a^n$) дегеніміз негізді ($a$) өзіне $n$ рет көбейтуді білдіреді: $a^n = a \cdot a \cdot \dots \cdot a$ ($n$ рет).
• Бөлшек (рационал) $r = m/n$ көрсеткішті дәреже ($a^{m/n}$) түбір арқылы анықталады: $a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}$.

2.Негізіне қойылатын шектеулер:
• Бүтін оң көрсеткішті дәреженің негізі кез келген нақты сан бола алады. Бүтін теріс көрсеткішті дәреже үшін негізі нөлге тең болмауы керек ($a \ne 0$).
• Бөлшек көрсеткішті дәреже үшін, нәтиже нақты сан болуы үшін, негізі, әдетте, теріс емес сан ($a \ge 0$) болуы шарт. Дәрежелердің қасиеттері барлық жағдайда орындалуы үшін негізі оң сан ($a > 0$) деп алынады. Мысалы, $(-9)^{1/2}$ өрнегі нақты сандар жиынында анықталмаған.

Ответ: Ұқсастығы – негізі оң болғанда қасиеттерінің бірдейлігінде. Айырмашылығы – анықтамаларында (көбейтуге қарсы түбір) және негізге қойылатын шектеулерде.

2. Бөлшек көрсеткішті дәреженің тура мәнін әр уақытта есептеуге бола ма?

Жоқ, бөлшек көрсеткішті дәреженің тура мәнін әр уақытта есептеу мүмкін емес.

"Тура мәнін есептеу" дегеніміз нәтижені рационал сан (бүтін сан, шекті ондық бөлшек немесе периодты ондық бөлшек) түрінде өрнектеуді білдіреді.

1.Тура мәнін есептеуге болатын жағдайлар: Егер негіз көрсеткіштің бөліміне сәйкес келетін дәрежелі сан болса. Мысалы:
• $8^{2/3} = (\sqrt[3]{8})^2 = 2^2 = 4$. Нәтиже – бүтін сан.
• $0.25^{1.5} = 0.25^{3/2} = (\sqrt{0.25})^3 = 0.5^3 = 0.125$. Нәтиже – шекті ондық бөлшек.

2.Тура мәнін есептеуге болмайтын жағдайлар: Көп жағдайда нәтиже иррационал сан болады. Иррационал санды шекті немесе периодты ондық бөлшек түрінде жазу мүмкін емес, оны тек жуықтап қана табуға болады. Мысалы:
• $2^{1/2} = \sqrt{2} \approx 1.4142135...$
• $5^{1/3} = \sqrt[3]{5} \approx 1.7099759...$
Бұл жағдайларда $\sqrt{2}$ және $\sqrt[3]{5}$ өрнектерінің өздері дәл мәндер болып саналады, бірақ оларды рационал сан түрінде "есептеп шығару" мүмкін емес.

Ответ: Жоқ, егер нәтиже иррационал сан болса, оның рационал сан түріндегі тура мәнін есептеу мүмкін емес.

3. “Кез келген нақты санды шексіз периодты ондық бөлшек түрінде жазуға болады” деген тұжырым дұрыс па? Жауабын түсіндіріндер.

Бұл тұжырым дұрыс емес.

Түсіндірме:

Нақты сандар жиыны екі үлкен топқа бөлінеді: рационал сандар және иррационал сандар.

1.Рационал сандар – бұл $p/q$ түріндегі бөлшек ретінде өрнектеле алатын сандар (мұндағы $p$ – бүтін сан, $q$ – нөлге тең емес натурал сан). Рационал сандарды ондық бөлшекке айналдырғанда, олар не шекті ондық бөлшек (мысалы, $1/4 = 0.25$), не шексіз периодты ондық бөлшек болады (мысалы, $1/3 = 0.333... = 0.(3)$). Шекті ондық бөлшекті де периоды 0 болатын шексіз бөлшек ретінде қарастыруға болады (мысалы, $0.25 = 0.25000... = 0.25(0)$). Сондықтан, кез келген рационал санды шексіз периодты ондық бөлшек түрінде жазуға болады.

2.Иррационал сандар – бұл $p/q$ түріндегі бөлшекке айналмайтын сандар. Олардың ондық бөлшек түріндегі жазылуы шексіз, бірақ периодты емес болады. Мысалдар: • $\pi \approx 3.14159265...$ • $\sqrt{2} \approx 1.41421356...$ • $e \approx 2.71828182...$

Тұжырым "кез келген нақты санды" деп айтады, бірақ ол тек рационал сандар үшін ғана орындалады, ал иррационал сандар үшін орындалмайды. Сондықтан тұжырым қате.

Ответ: Тұжырым дұрыс емес, себебі иррационал сандар шексіз, бірақ периодты емес ондық бөлшек түрінде жазылады.

4. Иррационал көрсеткішті дәреженің рационал көрсеткішті дәрежеден қандай айырмашылығы бар?

Иррационал көрсеткішті дәреже мен рационал көрсеткішті дәреженің негізгі айырмашылығы олардың анықтамаларында.

1.Рационал көрсеткішті дәреже ($a^r$, мұндағы $r$ - рационал сан)
Егер дәреже көрсеткіші рационал сан болса ($r = m/n$), онда дәреже алгебралық жолмен, яғни түбір мен бүтін дәреженің көмегімен анықталады: $a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}$ (мұндағы $a > 0$). Бұл амалды орындау үшін негізді бүтін дәрежеге шығарып, одан кейін түбір табу жеткілікті.

2.Иррационал көрсеткішті дәреже ($a^b$, мұндағы $b$ - иррационал сан)
Егер дәреже көрсеткіші иррационал сан болса (мысалы, $\sqrt{2}$, $\pi$), оны түбір арқылы анықтау мүмкін емес. Мұндай дәреже шектер теориясы арқылы анықталады. $a^b$ мәнін табу үшін, $b$ иррационал санына жинақталатын $r_1, r_2, r_3, \dots$ рационал сандар тізбегі алынады. Сонда $a^b$ дәрежесі $a^{r_1}, a^{r_2}, a^{r_3}, \dots$ тізбегінің шегі ретінде анықталады. Формула түрінде: $a^b = \lim_{n \to \infty} a^{r_n}$, мұндағы $\lim_{n \to \infty} r_n = b$ және $r_n$ – рационал сандар.
Мысалы, $3^{\sqrt{2}}$ мәнін анықтау үшін $\sqrt{2}$ санының рационал жуықтаулары ($1.4; 1.41; 1.414; \dots$) қолданылады. Сонда $3^{\sqrt{2}}$ дегеніміз $3^{1.4}, 3^{1.41}, 3^{1.414}, \dots$ тізбегінің ұмтылатын шегі болады.

Ответ: Негізгі айырмашылық – анықтамасында: рационал көрсеткішті дәреже алгебралық жолмен (түбір арқылы), ал иррационал көрсеткішті дәреже анализдік жолмен (шек арқылы) анықталады.