Вопросы, страница 47 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1. Түбір таңбасының ішіндегі өрнектер қандай мәндерді қабылдауы мүмкін? Мысалдар келтіріндер.

Түбір таңбасының ішіндегі өрнектің (түбір астындағы өрнектің) қабылдайтын мәндері түбірдің дәреже көрсеткішіне, яғни $n$ санына, тікелей байланысты. Екі негізгі жағдайды қарастырамыз:

1) Түбір көрсеткіші $n$ – жұп сан болса ($n=2, 4, 6, ...$).

Бұл жағдайда түбір астындағы өрнек $a$ тек теріс емес мәндерді қабылдай алады, яғни $a \ge 0$. Себебі кез келген нақты санды (оң немесе теріс) жұп дәрежеге шығарғанда, нәтиже әрқашан оң сан немесе нөл болады. Сондықтан нақты сандар жиынында теріс саннан жұп дәрежелі түбір алуға болмайды.

Мысалдар:

• $\sqrt{16}$ өрнегінің мәні бар, себебі $16 > 0$. $\sqrt{16} = 4$.

• $\sqrt[4]{81}$ өрнегінің мәні бар, себебі $81 > 0$. $\sqrt[4]{81} = 3$.

• $\sqrt{0}$ өрнегінің мәні бар. $\sqrt{0} = 0$.

• $\sqrt{-25}$ өрнегінің нақты сандар жиынында мағынасы жоқ, себебі түбір астындағы сан теріс ($-25 < 0$).

2) Түбір көрсеткіші $n$ – тақ сан болса ($n=3, 5, 7, ...$).

Бұл жағдайда түбір астындағы өрнек $a$ кез келген нақты мәнді (оң, теріс немесе нөл) қабылдай алады, яғни $a \in \mathbb{R}$. Себебі оң санды тақ дәрежеге шығарса оң сан, ал теріс санды тақ дәрежеге шығарса теріс сан шығады.

Мысалдар:

• $\sqrt[3]{27}$ өрнегінің мәні бар. $\sqrt[3]{27} = 3$, себебі $3^3=27$.

• $\sqrt[3]{-8}$ өрнегінің мәні бар. $\sqrt[3]{-8} = -2$, себебі $(-2)^3=-8$.

• $\sqrt[5]{-32}$ өрнегінің мәні бар. $\sqrt[5]{-32} = -2$, себебі $(-2)^5=-32$.

Ответ: Егер түбір көрсеткіші $n$ жұп сан болса, түбір астындағы өрнек тек теріс емес мәндерді ($ \ge 0 $) қабылдауы мүмкін. Егер түбір көрсеткіші $n$ тақ сан болса, түбір астындағы өрнек кез келген нақты мәнді қабылдай алады.

2. Кез келген нақты саннан әр уақытта n-ші дәрежелі түбір табыла ма? Жауабын түсіндіріндер.

Жоқ, кез келген нақты саннан әр уақытта n-ші дәрежелі түбір табу мүмкін емес. Бұл түбірдің $n$ дәреже көрсеткішіне байланысты:

1) Егер $n$ – жұп сан болса.

Бұл жағдайда n-ші дәрежелі түбірді тек теріс емес нақты сандардан ғана алуға болады. Себебі ешбір нақты санның жұп дәрежесі теріс санға тең бола алмайды. Мысалы, $a = -9$ санынан квадрат түбір ($\sqrt{-9}$) табу мүмкін емес, өйткені кез келген нақты $x$ саны үшін $x^2 \ge 0$ болады. Демек, $n$ жұп болғанда, теріс нақты саннан n-ші дәрежелі түбір табылмайды.

2) Егер $n$ – тақ сан болса.

Бұл жағдайда кез келген нақты саннан (оң, теріс немесе нөл) n-ші дәрежелі түбірді табуға болады. Кез келген $a$ нақты саны үшін $x^n = a$ теңдеуінің әрқашан бір ғана нақты шешімі ($x = \sqrt[n]{a}$) болады.

Мысалдар:

• Оң саннан: $\sqrt[3]{125} = 5$.

• Теріс саннан: $\sqrt[5]{-32} = -2$.

• Нөлден: $\sqrt[7]{0} = 0$.

Сонымен, n-ші дәрежелі түбірді кез келген нақты саннан тек $n$ тақ сан болған жағдайда ғана әрқашан табуға болады.

Ответ: Жоқ, әр уақытта емес. Егер түбір көрсеткіші $n$ жұп болса, тек теріс емес нақты саннан ғана түбір табуға болады. Егер түбір көрсеткіші $n$ тақ болса, онда кез келген нақты саннан түбір табуға болады.