Вопросы, страница 47 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1. Түбір таңбасының ішіндегі өрнектер қандай мәндерді қабылдауы мүмкін? Мысалдар келтіріңдер.

2. Кез келген нақты саннан әр уақытта $n$-ші дәрежелі түбір табыла ма? Жауабын түсіндіріңдер.

1. Түбір таңбасының ішіндегі өрнектер қандай мәндерді қабылдауы мүмкін? Мысалдар келтіріндер.

Түбір таңбасының ішіндегі өрнектің (түбір астындағы өрнектің) қабылдайтын мәндері түбірдің дәреже көрсеткішіне, яғни $n$ санына, тікелей байланысты. Екі негізгі жағдайды қарастырамыз:

1) Түбір көрсеткіші $n$ – жұп сан болса ($n=2, 4, 6, ...$).

Бұл жағдайда түбір астындағы өрнек $a$ тек теріс емес мәндерді қабылдай алады, яғни $a \ge 0$. Себебі кез келген нақты санды (оң немесе теріс) жұп дәрежеге шығарғанда, нәтиже әрқашан оң сан немесе нөл болады. Сондықтан нақты сандар жиынында теріс саннан жұп дәрежелі түбір алуға болмайды.

Мысалдар:

• $\sqrt{16}$ өрнегінің мәні бар, себебі $16 > 0$. $\sqrt{16} = 4$.

• $\sqrt[4]{81}$ өрнегінің мәні бар, себебі $81 > 0$. $\sqrt[4]{81} = 3$.

• $\sqrt{0}$ өрнегінің мәні бар. $\sqrt{0} = 0$.

• $\sqrt{-25}$ өрнегінің нақты сандар жиынында мағынасы жоқ, себебі түбір астындағы сан теріс ($-25 < 0$).

2) Түбір көрсеткіші $n$ – тақ сан болса ($n=3, 5, 7, ...$).

Бұл жағдайда түбір астындағы өрнек $a$ кез келген нақты мәнді (оң, теріс немесе нөл) қабылдай алады, яғни $a \in \mathbb{R}$. Себебі оң санды тақ дәрежеге шығарса оң сан, ал теріс санды тақ дәрежеге шығарса теріс сан шығады.

Мысалдар:

• $\sqrt[3]{27}$ өрнегінің мәні бар. $\sqrt[3]{27} = 3$, себебі $3^3=27$.

• $\sqrt[3]{-8}$ өрнегінің мәні бар. $\sqrt[3]{-8} = -2$, себебі $(-2)^3=-8$.

• $\sqrt[5]{-32}$ өрнегінің мәні бар. $\sqrt[5]{-32} = -2$, себебі $(-2)^5=-32$.

Ответ: Егер түбір көрсеткіші $n$ жұп сан болса, түбір астындағы өрнек тек теріс емес мәндерді ($ \ge 0 $) қабылдауы мүмкін. Егер түбір көрсеткіші $n$ тақ сан болса, түбір астындағы өрнек кез келген нақты мәнді қабылдай алады.

2. Кез келген нақты саннан әр уақытта n-ші дәрежелі түбір табыла ма? Жауабын түсіндіріндер.

Жоқ, кез келген нақты саннан әр уақытта n-ші дәрежелі түбір табу мүмкін емес. Бұл түбірдің $n$ дәреже көрсеткішіне байланысты:

1) Егер $n$ – жұп сан болса.

Бұл жағдайда n-ші дәрежелі түбірді тек теріс емес нақты сандардан ғана алуға болады. Себебі ешбір нақты санның жұп дәрежесі теріс санға тең бола алмайды. Мысалы, $a = -9$ санынан квадрат түбір ($\sqrt{-9}$) табу мүмкін емес, өйткені кез келген нақты $x$ саны үшін $x^2 \ge 0$ болады. Демек, $n$ жұп болғанда, теріс нақты саннан n-ші дәрежелі түбір табылмайды.

2) Егер $n$ – тақ сан болса.

Бұл жағдайда кез келген нақты саннан (оң, теріс немесе нөл) n-ші дәрежелі түбірді табуға болады. Кез келген $a$ нақты саны үшін $x^n = a$ теңдеуінің әрқашан бір ғана нақты шешімі ($x = \sqrt[n]{a}$) болады.

Мысалдар:

• Оң саннан: $\sqrt[3]{125} = 5$.

• Теріс саннан: $\sqrt[5]{-32} = -2$.

• Нөлден: $\sqrt[7]{0} = 0$.

Сонымен, n-ші дәрежелі түбірді кез келген нақты саннан тек $n$ тақ сан болған жағдайда ғана әрқашан табуға болады.

Ответ: Жоқ, әр уақытта емес. Егер түбір көрсеткіші $n$ жұп болса, тек теріс емес нақты саннан ғана түбір табуға болады. Егер түбір көрсеткіші $n$ тақ болса, онда кез келген нақты саннан түбір табуға болады.