Страница 47 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1. Түбір таңбасының ішіндегі өрнектер қандай мәндерді қабылдауы мүмкін? Мысалдар келтіріндер.

Түбір таңбасының ішіндегі өрнектің (түбір астындағы өрнектің) қабылдайтын мәндері түбірдің дәреже көрсеткішіне, яғни $n$ санына, тікелей байланысты. Екі негізгі жағдайды қарастырамыз:

1) Түбір көрсеткіші $n$ – жұп сан болса ($n=2, 4, 6, ...$).

Бұл жағдайда түбір астындағы өрнек $a$ тек теріс емес мәндерді қабылдай алады, яғни $a \ge 0$. Себебі кез келген нақты санды (оң немесе теріс) жұп дәрежеге шығарғанда, нәтиже әрқашан оң сан немесе нөл болады. Сондықтан нақты сандар жиынында теріс саннан жұп дәрежелі түбір алуға болмайды.

Мысалдар:

• $\sqrt{16}$ өрнегінің мәні бар, себебі $16 > 0$. $\sqrt{16} = 4$.

• $\sqrt[4]{81}$ өрнегінің мәні бар, себебі $81 > 0$. $\sqrt[4]{81} = 3$.

• $\sqrt{0}$ өрнегінің мәні бар. $\sqrt{0} = 0$.

• $\sqrt{-25}$ өрнегінің нақты сандар жиынында мағынасы жоқ, себебі түбір астындағы сан теріс ($-25 < 0$).

2) Түбір көрсеткіші $n$ – тақ сан болса ($n=3, 5, 7, ...$).

Бұл жағдайда түбір астындағы өрнек $a$ кез келген нақты мәнді (оң, теріс немесе нөл) қабылдай алады, яғни $a \in \mathbb{R}$. Себебі оң санды тақ дәрежеге шығарса оң сан, ал теріс санды тақ дәрежеге шығарса теріс сан шығады.

Мысалдар:

• $\sqrt[3]{27}$ өрнегінің мәні бар. $\sqrt[3]{27} = 3$, себебі $3^3=27$.

• $\sqrt[3]{-8}$ өрнегінің мәні бар. $\sqrt[3]{-8} = -2$, себебі $(-2)^3=-8$.

• $\sqrt[5]{-32}$ өрнегінің мәні бар. $\sqrt[5]{-32} = -2$, себебі $(-2)^5=-32$.

Ответ: Егер түбір көрсеткіші $n$ жұп сан болса, түбір астындағы өрнек тек теріс емес мәндерді ($ \ge 0 $) қабылдауы мүмкін. Егер түбір көрсеткіші $n$ тақ сан болса, түбір астындағы өрнек кез келген нақты мәнді қабылдай алады.

2. Кез келген нақты саннан әр уақытта n-ші дәрежелі түбір табыла ма? Жауабын түсіндіріндер.

Жоқ, кез келген нақты саннан әр уақытта n-ші дәрежелі түбір табу мүмкін емес. Бұл түбірдің $n$ дәреже көрсеткішіне байланысты:

1) Егер $n$ – жұп сан болса.

Бұл жағдайда n-ші дәрежелі түбірді тек теріс емес нақты сандардан ғана алуға болады. Себебі ешбір нақты санның жұп дәрежесі теріс санға тең бола алмайды. Мысалы, $a = -9$ санынан квадрат түбір ($\sqrt{-9}$) табу мүмкін емес, өйткені кез келген нақты $x$ саны үшін $x^2 \ge 0$ болады. Демек, $n$ жұп болғанда, теріс нақты саннан n-ші дәрежелі түбір табылмайды.

2) Егер $n$ – тақ сан болса.

Бұл жағдайда кез келген нақты саннан (оң, теріс немесе нөл) n-ші дәрежелі түбірді табуға болады. Кез келген $a$ нақты саны үшін $x^n = a$ теңдеуінің әрқашан бір ғана нақты шешімі ($x = \sqrt[n]{a}$) болады.

Мысалдар:

• Оң саннан: $\sqrt[3]{125} = 5$.

• Теріс саннан: $\sqrt[5]{-32} = -2$.

• Нөлден: $\sqrt[7]{0} = 0$.

Сонымен, n-ші дәрежелі түбірді кез келген нақты саннан тек $n$ тақ сан болған жағдайда ғана әрқашан табуға болады.

Ответ: Жоқ, әр уақытта емес. Егер түбір көрсеткіші $n$ жұп болса, тек теріс емес нақты саннан ғана түбір табуға болады. Егер түбір көрсеткіші $n$ тақ болса, онда кез келген нақты саннан түбір табуға болады.

1) Для того чтобы извлечь квадратный корень из произведения, можно извлечь корень из каждого множителя по отдельности и затем перемножить результаты. Это следует из свойства корней: $\sqrt{a \cdot b \cdot c} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \cdot \sqrt{c}$.

Применим это свойство к выражению $\sqrt{49 \cdot 64 \cdot 100}$:

$\sqrt{49 \cdot 64 \cdot 100} = \sqrt{49} \cdot \sqrt{64} \cdot \sqrt{100}$

Вычислим значения корней:

$\sqrt{49} = 7$

$\sqrt{64} = 8$

$\sqrt{100} = 10$

Теперь перемножим полученные значения:

$7 \cdot 8 \cdot 10 = 56 \cdot 10 = 560$

Ответ: $560$

2) Аналогично квадратному корню, кубический корень из произведения равен произведению кубических корней из каждого множителя: $\sqrt[3]{a \cdot b \cdot c} = \sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{b} \cdot \sqrt[3]{c}$.

Применим это свойство к выражению $\sqrt[3]{8 \cdot 27 \cdot 125}$:

$\sqrt[3]{8 \cdot 27 \cdot 125} = \sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{27} \cdot \sqrt[3]{125}$

Вычислим значения кубических корней, представив подкоренные выражения в виде кубов чисел:

$\sqrt[3]{8} = \sqrt[3]{2^3} = 2$

$\sqrt[3]{27} = \sqrt[3]{3^3} = 3$

$\sqrt[3]{125} = \sqrt[3]{5^3} = 5$

Перемножим результаты:

$2 \cdot 3 \cdot 5 = 6 \cdot 5 = 30$

Ответ: $30$

3) Используем свойство корня из произведения и свойство корня из степени $\sqrt[n]{x^m} = x^{m/n}$. При извлечении корня четной степени (в данном случае квадратного, $n=2$) из выражения с переменной в четной степени, необходимо использовать модуль, так как результат арифметического корня должен быть неотрицательным: $\sqrt{x^2} = |x|$.

Разложим выражение под корнем на множители:

$\sqrt{a^4 b^2 c^6} = \sqrt{a^4} \cdot \sqrt{b^2} \cdot \sqrt{c^6}$

Теперь извлечем корень из каждого множителя:

$\sqrt{a^4} = \sqrt{(a^2)^2} = a^2$ (поскольку $a^2$ всегда неотрицательно).

$\sqrt{b^2} = |b|$

$\sqrt{c^6} = \sqrt{(c^3)^2} = |c^3|$

Объединим результаты:

$a^2 \cdot |b| \cdot |c^3| = a^2|b||c^3|$

Ответ: $a^2|b||c^3|$

4) Для извлечения корня четвертой степени из произведения воспользуемся теми же свойствами, что и в предыдущих заданиях. Корень четной степени ($n=4$) из произведения равен произведению корней из множителей. Также учтем правило $\sqrt[n]{x^{nk}} = |x^k|$ для четного $n$.

Разложим выражение на множители под корнем:

$\sqrt[4]{m^8 \cdot k^{12} \cdot t^4} = \sqrt[4]{m^8} \cdot \sqrt[4]{k^{12}} \cdot \sqrt[4]{t^4}$

Извлечем корень четвертой степени из каждого множителя:

$\sqrt[4]{m^8} = \sqrt[4]{(m^2)^4} = |m^2| = m^2$ (поскольку $m^2$ всегда неотрицательно).

$\sqrt[4]{k^{12}} = \sqrt[4]{(k^3)^4} = |k^3|$

$\sqrt[4]{t^4} = |t|$

Объединим результаты:

$m^2 \cdot |k^3| \cdot |t| = m^2|k^3||t|$

Ответ: $m^2|k^3||t|$

1) Для вычисления значения выражения $\sqrt{\frac{49}{225}}$ воспользуемся свойством корня из дроби: $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$.

Применим это свойство к нашему выражению:

$\sqrt{\frac{49}{225}} = \frac{\sqrt{49}}{\sqrt{225}}$

Теперь вычислим значения квадратных корней из числителя и знаменателя:

$\sqrt{49} = 7$, так как $7^2 = 49$.

$\sqrt{225} = 15$, так как $15^2 = 225$.

Подставим найденные значения обратно в дробь:

$\frac{7}{15}$

Ответ: $\frac{7}{15}$

2) Для вычисления значения выражения $\sqrt[3]{\frac{8 \cdot 125}{343}}$ используем свойства корня из дроби и корня из произведения: $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$ и $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$.

Применим эти свойства:

$\sqrt[3]{\frac{8 \cdot 125}{343}} = \frac{\sqrt[3]{8 \cdot 125}}{\sqrt[3]{343}} = \frac{\sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{125}}{\sqrt[3]{343}}$

Вычислим значения кубических корней:

$\sqrt[3]{8} = 2$, так как $2^3 = 8$.

$\sqrt[3]{125} = 5$, так как $5^3 = 125$.

$\sqrt[3]{343} = 7$, так как $7^3 = 343$.

Подставим значения в выражение:

$\frac{2 \cdot 5}{7} = \frac{10}{7}$

Ответ: $\frac{10}{7}$

3) Для вычисления значения выражения $\sqrt[4]{\frac{1}{625} \cdot 5 \frac{1}{16}}$ сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь.

$5 \frac{1}{16} = \frac{5 \cdot 16 + 1}{16} = \frac{80 + 1}{16} = \frac{81}{16}$

Теперь наше выражение выглядит так:

$\sqrt[4]{\frac{1}{625} \cdot \frac{81}{16}}$

Воспользуемся свойством корня из произведения $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$:

$\sqrt[4]{\frac{1}{625}} \cdot \sqrt[4]{\frac{81}{16}}$

Теперь применим свойство корня из дроби $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$ к каждому множителю:

$\frac{\sqrt[4]{1}}{\sqrt[4]{625}} \cdot \frac{\sqrt[4]{81}}{\sqrt[4]{16}}$

Вычислим значения корней четвертой степени:

$\sqrt[4]{1} = 1$

$\sqrt[4]{625} = 5$, так как $5^4 = 625$.

$\sqrt[4]{81} = 3$, так как $3^4 = 81$.

$\sqrt[4]{16} = 2$, так как $2^4 = 16$.

Подставим найденные значения и перемножим дроби:

$\frac{1}{5} \cdot \frac{3}{2} = \frac{1 \cdot 3}{5 \cdot 2} = \frac{3}{10}$

Ответ: $\frac{3}{10}$

4) Для вычисления значения выражения $\frac{\sqrt[5]{486}}{\sqrt[5]{2}}$ используем свойство частного корней одинаковой степени: $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$.

Применим это свойство:

$\frac{\sqrt[5]{486}}{\sqrt[5]{2}} = \sqrt[5]{\frac{486}{2}}$

Выполним деление под корнем:

$\frac{486}{2} = 243$

Теперь нужно вычислить $\sqrt[5]{243}$.

Найдем число, которое при возведении в пятую степень дает 243. Это число 3, так как $3^5 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 243$.

Следовательно, $\sqrt[5]{243} = 3$.

Ответ: $3$

1) Для упрощения выражения $\sqrt[5]{32 \cdot a^{10}}$ воспользуемся свойством корня из произведения $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}$ и свойством извлечения корня из степени $\sqrt[n]{x^m} = x^{m/n}$.
Сначала представим число 32 как степень с основанием 2: $32 = 2^5$.
Теперь исходное выражение можно переписать в виде: $\sqrt[5]{2^5 \cdot a^{10}}$.
Применим свойство корня из произведения:$\sqrt[5]{2^5 \cdot a^{10}} = \sqrt[5]{2^5} \cdot \sqrt[5]{a^{10}}$.
Теперь извлечем корень из каждого множителя:
$\sqrt[5]{2^5} = 2^{5/5} = 2^1 = 2$.
$\sqrt[5]{a^{10}} = a^{10/5} = a^2$. Поскольку корень нечетной степени (5), знак модуля не требуется.
Перемножим полученные результаты: $2 \cdot a^2 = 2a^2$.
Ответ: $2a^2$.

2) Для упрощения выражения $\sqrt[6]{128 \cdot a^{12}b^{18}c^6}$ разложим подкоренное выражение на множители, которые можно представить в виде шестой степени.
Представим число 128: $128 = 64 \cdot 2 = 2^6 \cdot 2$.
Представим степени переменных: $a^{12} = (a^2)^6$, $b^{18} = (b^3)^6$, $c^6 = c^6$.
Подставим эти выражения под корень: $\sqrt[6]{2^6 \cdot 2 \cdot (a^2)^6 \cdot (b^3)^6 \cdot c^6}$.
Используя свойство корня из произведения, вынесем из-под знака корня множители, являющиеся точными шестыми степенями:$\sqrt[6]{2^6 \cdot (a^2)^6 \cdot (b^3)^6 \cdot c^6 \cdot 2} = \sqrt[6]{2^6} \cdot \sqrt[6]{(a^2)^6} \cdot \sqrt[6]{(b^3)^6} \cdot \sqrt[6]{c^6} \cdot \sqrt[6]{2}$.
При извлечении корня четной степени (6) из выражения в четной степени необходимо использовать модуль: $\sqrt[n]{x^n} = |x|$ для четного $n$.
Получаем: $|2| \cdot |a^2| \cdot |b^3| \cdot |c| \cdot \sqrt[6]{2}$.
Раскроем модули, где это возможно:$|2| = 2$.
$|a^2| = a^2$ (поскольку $a^2$ всегда неотрицательно).
Модули $|b^3|$ и $|c|$ необходимо оставить, так как $b$ и $c$ могут быть отрицательными.
Результат: $2a^2|b^3||c|\sqrt[6]{2} = 2a^2|b^3c|\sqrt[6]{2}$.
Ответ: $2a^2|b^3c|\sqrt[6]{2}$.

3) Упростим выражение $\sqrt[3]{64 \cdot m^6n^9p^3}$.
Представим каждый множитель под корнем в виде куба некоторого выражения.
$64 = 4^3$.
$m^6 = (m^2)^3$.
$n^9 = (n^3)^3$.
$p^3 = p^3$.
Подставим это в исходное выражение: $\sqrt[3]{4^3 \cdot (m^2)^3 \cdot (n^3)^3 \cdot p^3}$.
Используя свойство произведения степеней, объединим все под один куб: $\sqrt[3]{(4m^2n^3p)^3}$.
При извлечении корня нечетной степени (3) из выражения в той же степени, модуль не используется: $\sqrt[n]{x^n} = x$ для нечетного $n$.
Следовательно, $\sqrt[3]{(4m^2n^3p)^3} = 4m^2n^3p$.
Ответ: $4m^2n^3p$.

4) Упростим выражение $\sqrt[4]{\frac{16}{81}x^8y^{12}}$.
Представим подкоренное выражение в виде четвертой степени.
$\frac{16}{81} = \frac{2^4}{3^4} = (\frac{2}{3})^4$.
$x^8 = (x^2)^4$.
$y^{12} = (y^3)^4$.
Подставим эти выражения под корень: $\sqrt[4]{(\frac{2}{3})^4 \cdot (x^2)^4 \cdot (y^3)^4}$.
Объединим множители под знаком четвертой степени: $\sqrt[4]{(\frac{2}{3}x^2y^3)^4}$.
Поскольку корень четной степени (4), при его извлечении необходимо использовать модуль: $\sqrt[n]{z^n} = |z|$ для четного $n$.
$|\frac{2}{3}x^2y^3|$.
Раскроем модуль для каждого сомножителя: $|\frac{2}{3}| \cdot |x^2| \cdot |y^3|$.
$|\frac{2}{3}| = \frac{2}{3}$ (положительное число).
$|x^2| = x^2$ (квадрат любого числа неотрицателен).
Модуль $|y^3|$ необходимо оставить, так как $y^3$ может быть отрицательным, если $y < 0$.
Окончательный результат: $\frac{2}{3}x^2|y^3|$.
Ответ: $\frac{2}{3}x^2|y^3|$.

1) Для упрощения выражения $\sqrt{\sqrt{3}}$ используем свойство корней $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}$.
Поскольку квадратный корень имеет показатель 2, мы можем записать выражение как $\sqrt[2]{\sqrt[2]{3}}$.
Применяя свойство, перемножаем показатели корней: $\sqrt[2 \cdot 2]{3} = \sqrt[4]{3}$.
Ответ: $\sqrt[4]{3}$

2) Для упрощения выражения $\sqrt{\sqrt[3]{4}}$ используем свойство $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}$.
Показатель внешнего корня - 2, а внутреннего - 3.
$\sqrt{\sqrt[3]{4}} = \sqrt[2 \cdot 3]{4} = \sqrt[6]{4}$.
Мы можем упростить это дальше, так как $4 = 2^2$.
$\sqrt[6]{4} = \sqrt[6]{2^2}$.
Используя свойство $\sqrt[nk]{a^{mk}} = \sqrt[n]{a^m}$, мы можем сократить показатель корня и показатель степени на их общий делитель 2:
$\sqrt[6]{2^2} = \sqrt[3 \cdot 2]{2^{1 \cdot 2}} = \sqrt[3]{2^1} = \sqrt[3]{2}$.
Ответ: $\sqrt[3]{2}$

3) Для упрощения выражения $\sqrt[3]{\sqrt{7}}$ используем свойство $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}$.
Показатель внешнего корня - 3, а внутреннего (квадратного) - 2.
Применяя свойство, перемножаем показатели корней: $\sqrt[3 \cdot 2]{7} = \sqrt[6]{7}$.
Ответ: $\sqrt[6]{7}$

4) Для упрощения выражения $\sqrt[5]{\sqrt[3]{11}}$ используем свойство $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}$.
Показатели корней - 5 и 3.
Применяя свойство, перемножаем показатели корней: $\sqrt[5 \cdot 3]{11} = \sqrt[15]{11}$.
Ответ: $\sqrt[15]{11}$

5) Для упрощения выражения $\sqrt{a\sqrt{a}}$ сначала внесем множитель $a$ под внутренний знак корня.
Внутренний корень - квадратный (показатель 2), поэтому, внося $a$ под него, мы возводим $a$ в квадрат:
$\sqrt{a\sqrt{a}} = \sqrt{\sqrt{a^2 \cdot a}} = \sqrt{\sqrt{a^3}}$.
Теперь используем свойство вложенных корней $\sqrt[m]{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[mn]{b}$. Оба корня квадратные (показатель 2):
$\sqrt[2]{\sqrt[2]{a^3}} = \sqrt[2 \cdot 2]{a^3} = \sqrt[4]{a^3}$.
Ответ: $\sqrt[4]{a^3}$

6) Для упрощения выражения $\sqrt[4]{\sqrt[3]{a^5}}$ используем свойство $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}$.
Показатели корней - 4 и 3.
Применяя свойство, перемножаем показатели корней: $\sqrt[4 \cdot 3]{a^5} = \sqrt[12]{a^5}$.
Ответ: $\sqrt[12]{a^5}$

7) Для упрощения выражения $\sqrt[5]{\sqrt[3]{mn}}$ используем свойство $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}$.
Показатели корней - 5 и 3.
Применяя свойство, перемножаем показатели корней: $\sqrt[5 \cdot 3]{mn} = \sqrt[15]{mn}$.
Ответ: $\sqrt[15]{mn}$

8) Для упрощения выражения $\sqrt[3]{\sqrt{\frac{a}{b}}}$ используем свойство $\sqrt[m]{\sqrt[n]{x}} = \sqrt[mn]{x}$.
Показатель внешнего корня - 3, а внутреннего (квадратного) - 2.
Применяя свойство, перемножаем показатели корней: $\sqrt[3 \cdot 2]{\frac{a}{b}} = \sqrt[6]{\frac{a}{b}}$.
Ответ: $\sqrt[6]{\frac{a}{b}}$