Страница 110 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1. Негіздері бірдей өзара кері сандардың логарифмдерінің қандай айырмашылығы бар? Жауабын түсіндіріңдер.
$a$ негізі бойынша алынған өзара кері $x$ және $1/x$ сандарының логарифмдерін қарастырайық (мұнда $a > 0$, $a \neq 1$ және $x > 0$). Бұл логарифмдер $\log_a x$ және $\log_a(1/x)$ болады.
Логарифмнің дәреже қасиетін қолданамыз, яғни $\log_a(x^p) = p \log_a x$. $1/x$ санын $x^{-1}$ түрінде жазуға болады:
$\log_a\left(\frac{1}{x}\right) = \log_a(x^{-1}) = -1 \cdot \log_a x = -\log_a x$
Бұл теңдік негіздері бірдей өзара кері сандардың логарифмдері – модульдері тең, бірақ таңбалары қарама-қарсы сандар екенін көрсетеді. Олардың қосындысы әрқашан нөлге тең: $\log_a x + \log_a(1/x) = \log_a x - \log_a x = 0$.
Ответ: Негіздері бірдей өзара кері сандардың логарифмдері – қарама-қарсы сандар болып табылады.

2. Қосындының логарифмі логарифмдердің қосындысына тең деген тұжырыммен келісесіңдер ме? Неге?
Жоқ, бұл тұжырыммен келісуге болмайды. «Қосындының логарифмі логарифмдердің қосындысына тең» деген қағида, яғни $\log_a(x+y) = \log_a x + \log_a y$ формуласы – қате.
Логарифмдердің негізгі қасиеті бойынша, логарифмдердің қосындысы көбейтіндінің логарифміне тең болады:
$\log_a(x \cdot y) = \log_a x + \log_a y$
Тұжырымның қате екенін нақты мысалмен дәлелдейік. $a=10$, $x=10$, $y=100$ болсын.
Тұжырымның сол жағы: $\log_{10}(10 + 100) = \log_{10}(110) \approx 2.041$
Тұжырымның оң жағы: $\log_{10}(10) + \log_{10}(100) = 1 + 2 = 3$
$2.041 \neq 3$ болғандықтан, $\log_a(x+y) = \log_a x + \log_a y$ теңдігі дұрыс емес.
Ответ: Жоқ, келіспеймін, себебі бұл тұжырым логарифмнің негізгі қасиеттеріне қайшы келеді. Дұрыс қасиет: көбейтіндінің логарифмі логарифмдердің қосындысына тең, ал қосындының логарифмі үшін арнайы формула жоқ.

3. Нақты сандар жиынында теріс санның логарифмі бола ма? Жауабын түсіндіріңдер.
Жоқ, нақты сандар жиынында теріс санның логарифмі болмайды.
Логарифмнің анықтамасы бойынша, $\log_a b = c$ өрнегі $a^c = b$ теңдігіне мәндес. Логарифмдік функцияның $y = \log_a b$ анықталу облысына сәйкес келесі шарттар орындалуы керек:
1. Логарифм негізі оң және бірге тең емес болуы керек: $a > 0$ және $a \neq 1$.
2. Логарифм астындағы өрнек (аргумент) оң болуы керек: $b > 0$.
Негіз $a$ оң сан болғандықтан, оны кез келген нақты $c$ дәрежесіне шығарғанда, нәтиже ($a^c$) әрқашан оң сан болады. Яғни, $b = a^c > 0$. Сондықтан, $b$ теріс сан бола алмайды. Демек, теріс санның логарифмі нақты сандар жиынында анықталмаған.
Ответ: Жоқ, болмайды, себебі логарифмнің анықтамасы бойынша логарифм астындағы өрнек тек оң мәндерді қабылдай алады.

4. $\lg e$ мәні белгілі болғанда $\ln 10$ мәнін қалай есептеуге болады?
$\lg e$ және $\ln 10$ мәндері бір-біріне кері шамалар болып табылады. Мұны логарифмді бір негізден екінші негізге көшіру формуласы арқылы көрсетуге болады:
$\log_a b = \frac{1}{\log_b a}$
Біздің жағдайда, $a=e$ және $b=10$. Осы формуланы қолдансақ:
$\ln 10 = \log_e 10 = \frac{1}{\log_{10} e} = \frac{1}{\lg e}$
Сонымен, $\ln 10$ мәнін есептеу үшін 1 санын $\lg e$ мәніне бөлу жеткілікті. Мысалы, $\lg e \approx 0.434$ екені белгілі болса, онда $\ln 10 \approx 1 / 0.434 \approx 2.303$.
Ответ: $\ln 10$ мәнін есептеу үшін 1-ді $\lg e$ мәніне бөлу керек, яғни $\ln 10 = 1 / \lg e$.

5. Берілген $N$ санының ондық логарифмі үлкен бе, натурал логарифмі үлкен бе?
Бұл сұрақтың жауабы $N$ санының мәніне тікелей байланысты. Ондық логарифмнің негізі $10$, ал натурал логарифмнің негізі $e \approx 2.71828$.
1. Егер $N > 1$ болса: Логарифмдік функция негізі 1-ден үлкен болғанда өспелі болады. Негіз неғұрлым кіші болса, функцияның мәні соғұрлым үлкен болады. $e < 10$ болғандықтан, $N > 1$ үшін $\ln N > \lg N$ болады.
2. Егер $0 < N < 1$ болса: Бұл аралықта екі логарифм де теріс мән қабылдайды. $\lg N = \frac{\ln N}{\ln 10}$ формуласын қолданамыз. $\ln N$ теріс санын $\ln 10 > 1$ санына бөлгенде, нәтиженің модулі кішірейеді, яғни санның өзі нөлге жақындап, үлкенірек болады. Сондықтан, $0 < N < 1$ үшін $\lg N > \ln N$.
3. Егер $N = 1$ болса: Кез келген негіз бойынша 1-дің логарифмі нөлге тең: $\ln 1 = 0$ және $\lg 1 = 0$. Яғни, олар тең.
Ответ: Егер $N > 1$ болса, натурал логарифм ($\ln N$) үлкен; егер $0 < N < 1$ болса, ондық логарифм ($\lg N$) үлкен; егер $N=1$ болса, олар өзара тең.

6. Логарифмнің жалпы қасиеттерінің қайсысы натурал логарифмге тән?
Натурал логарифм ($\ln$) – бұл негізі Эйлер саны $e$ болатын логарифмнің дербес жағдайы. Сондықтан, логарифмдер үшін орындалатын барлық жалпы қасиеттер натурал логарифмге де толығымен тән болады. Олардың негізгілері ($x > 0, y > 0$):
1. Көбейтіндінің логарифмі: $\ln(xy) = \ln x + \ln y$
2. Бөліндінің логарифмі: $\ln(x/y) = \ln x - \ln y$
3. Дәреженің логарифмі: $\ln(x^p) = p \ln x$
4. Негізгі логарифмдік тепе-теңдік: $e^{\ln x} = x$
5. Маңызды мәндер: $\ln e = 1$ және $\ln 1 = 0$
6. Басқа негізге көшу формуласы: $\log_a x = \frac{\ln x}{\ln a}$
Ответ: Логарифмнің барлық жалпы қасиеттері натурал логарифмге де тән, себебі ол тек негізі $e$ санымен ерекшеленетін кәдімгі логарифм болып табылады.