Номер 209, страница 112 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) $\frac{25^{\log_5 2 + 1}}{49^{\log_7 4}}$

Для решения используем свойства степеней и логарифмов.
Сначала преобразуем числитель: $25^{\log_5 2 + 1}$.
Используем свойство степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:
$25^{\log_5 2 + 1} = 25^{\log_5 2} \cdot 25^1$.
Теперь преобразуем первый множитель, зная, что $25 = 5^2$:
$25^{\log_5 2} = (5^2)^{\log_5 2}$.
По свойству степени $(a^m)^n = a^{mn}$:
$(5^2)^{\log_5 2} = 5^{2 \log_5 2}$.
Используем свойство логарифма $k \log_b a = \log_b a^k$:
$5^{2 \log_5 2} = 5^{\log_5 2^2} = 5^{\log_5 4}$.
По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$:
$5^{\log_5 4} = 4$.
Таким образом, числитель равен $4 \cdot 25 = 100$.
Теперь преобразуем знаменатель: $49^{\log_7 4}$.
Зная, что $49 = 7^2$:
$49^{\log_7 4} = (7^2)^{\log_7 4} = 7^{2 \log_7 4} = 7^{\log_7 4^2} = 7^{\log_7 16}$.
По основному логарифмическому тождеству:
$7^{\log_7 16} = 16$.
Теперь разделим числитель на знаменатель:
$\frac{100}{16} = \frac{25}{4} = 6,25$.
Ответ: 6,25

2) $\frac{16^{0,5 \log_4 10}}{10^{\lg 4 + 1}}$

Преобразуем числитель. Заметим, что $16 = 4^2$ и $0,5 = \frac{1}{2}$:
$16^{0,5 \log_4 10} = (4^2)^{\frac{1}{2} \log_4 10}$.
Используя свойства степеней $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем:
$4^{2 \cdot \frac{1}{2} \log_4 10} = 4^{\log_4 10}$.
По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$:
$4^{\log_4 10} = 10$.
Теперь преобразуем знаменатель. Запись $\lg$ означает логарифм по основанию 10 ($\log_{10}$).
$10^{\lg 4 + 1} = 10^{\log_{10} 4 + 1}$.
Используем свойство степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:
$10^{\log_{10} 4} \cdot 10^1$.
По основному логарифмическому тождеству $10^{\log_{10} 4} = 4$.
Значит, знаменатель равен $4 \cdot 10 = 40$.
Находим значение дроби:
$\frac{10}{40} = \frac{1}{4} = 0,25$.
Ответ: 0,25

3) $25^{2 - \log_5 2} + 7^{-\log_7 3}$

Рассмотрим каждое слагаемое по отдельности.
Первое слагаемое: $25^{2 - \log_5 2}$.
Используем свойство степени $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$:
$25^{2 - \log_5 2} = \frac{25^2}{25^{\log_5 2}}$.
Вычисляем числитель: $25^2 = 625$.
Преобразуем знаменатель: $25^{\log_5 2} = (5^2)^{\log_5 2} = 5^{2 \log_5 2} = 5^{\log_5 2^2} = 5^{\log_5 4} = 4$.
Таким образом, первое слагаемое равно $\frac{625}{4}$.
Второе слагаемое: $7^{-\log_7 3}$.
Используем свойство $k \log_b a = \log_b a^k$:
$7^{-\log_7 3} = 7^{\log_7 3^{-1}}$.
По основному логарифмическому тождеству:
$7^{\log_7 3^{-1}} = 3^{-1} = \frac{1}{3}$.
Теперь сложим полученные значения:
$\frac{625}{4} + \frac{1}{3}$.
Приводим к общему знаменателю 12:
$\frac{625 \cdot 3}{12} + \frac{1 \cdot 4}{12} = \frac{1875 + 4}{12} = \frac{1879}{12}$.
Это несократимая дробь.
Ответ: $\frac{1879}{12}$

4) $\log_4 \frac{1}{5} + \log_4 36 + \frac{1}{2}\log_4 \frac{25}{81}$

Для решения используем свойства логарифмов.
Сначала упростим последнее слагаемое, используя свойство $k \log_b a = \log_b a^k$:
$\frac{1}{2}\log_4 \frac{25}{81} = \log_4 \left(\left(\frac{25}{81}\right)^{\frac{1}{2}}\right) = \log_4 \sqrt{\frac{25}{81}} = \log_4 \frac{5}{9}$.
Теперь все выражение выглядит так:
$\log_4 \frac{1}{5} + \log_4 36 + \log_4 \frac{5}{9}$.
Используем свойство суммы логарифмов с одинаковым основанием $\log_b x + \log_b y = \log_b(xy)$:
$\log_4 \left(\frac{1}{5} \cdot 36 \cdot \frac{5}{9}\right)$.
Вычислим произведение под знаком логарифма:
$\frac{1}{5} \cdot 36 \cdot \frac{5}{9} = \frac{1 \cdot 36 \cdot 5}{5 \cdot 9} = \frac{36}{9} = 4$.
Получаем выражение:
$\log_4 4$.
По свойству $\log_b b = 1$:
$\log_4 4 = 1$.
Ответ: 1