Номер 289, страница 140 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) $(x - 3)^{x^2 - 9} > 1$

Решение показательного неравенства вида $f(x)^{g(x)} > 1$ сводится к рассмотрению двух случаев.

Случай 1: Основание больше 1, а показатель степени больше 0.

$\begin{cases} x - 3 > 1 \\ x^2 - 9 > 0 \end{cases}$ $\implies$ $\begin{cases} x > 4 \\ (x - 3)(x + 3) > 0 \end{cases}$ $\implies$ $\begin{cases} x > 4 \\ x \in (-\infty, -3) \cup (3, +\infty) \end{cases}$

Пересечением этих условий является интервал $x > 4$, то есть $x \in (4, +\infty)$.

Случай 2: Основание находится в интервале от 0 до 1, а показатель степени меньше 0.

$\begin{cases} 0 < x - 3 < 1 \\ x^2 - 9 < 0 \end{cases}$ $\implies$ $\begin{cases} 3 < x < 4 \\ (x - 3)(x + 3) < 0 \end{cases}$ $\implies$ $\begin{cases} 3 < x < 4 \\ -3 < x < 3 \end{cases}$

Данная система не имеет решений, так как интервалы $(3, 4)$ и $(-3, 3)$ не пересекаются.

Объединяя решения из первого случая, получаем окончательный ответ.

Ответ: $x \in (4, +\infty)$.

2) $(x - 2)^{x^2 - 1} > 1$

Рассмотрим два случая.

Случай 1: Основание больше 1, показатель степени больше 0.

$\begin{cases} x - 2 > 1 \\ x^2 - 1 > 0 \end{cases}$ $\implies$ $\begin{cases} x > 3 \\ (x - 1)(x + 1) > 0 \end{cases}$ $\implies$ $\begin{cases} x > 3 \\ x \in (-\infty, -1) \cup (1, +\infty) \end{cases}$

Пересечением этих множеств является интервал $x > 3$, то есть $x \in (3, +\infty)$.

Случай 2: Основание от 0 до 1, показатель степени меньше 0.

$\begin{cases} 0 < x - 2 < 1 \\ x^2 - 1 < 0 \end{cases}$ $\implies$ $\begin{cases} 2 < x < 3 \\ (x - 1)(x + 1) < 0 \end{cases}$ $\implies$ $\begin{cases} 2 < x < 3 \\ -1 < x < 1 \end{cases}$

Система не имеет решений, так как интервалы $(2, 3)$ и $(-1, 1)$ не пересекаются.

Решением неравенства является решение из первого случая.

Ответ: $x \in (3, +\infty)$.

3) $(x - 1)^{\frac{2x-7}{x+1}} \ge 1$

Область допустимых значений (ОДЗ): основание степени должно быть положительным, $x - 1 > 0 \implies x > 1$. Также знаменатель показателя не должен равняться нулю, $x+1 \ne 0 \implies x \ne -1$. Итоговая ОДЗ: $x > 1$.

Рассмотрим три случая.

Случай 1: Основание больше 1, показатель степени больше или равен 0.

$\begin{cases} x - 1 > 1 \\ \frac{2x-7}{x+1} \ge 0 \end{cases}$ $\implies$ $\begin{cases} x > 2 \\ x \in (-\infty, -1) \cup [3.5, +\infty) \end{cases}$

Пересечением этих условий является $x \in [3.5, +\infty)$.

Случай 2: Основание от 0 до 1, показатель степени меньше или равен 0.

$\begin{cases} 0 < x - 1 < 1 \\ \frac{2x-7}{x+1} \le 0 \end{cases}$ $\implies$ $\begin{cases} 1 < x < 2 \\ x \in (-1, 3.5] \end{cases}$

Пересечением этих условий является интервал $1 < x < 2$, то есть $x \in (1, 2)$.

Случай 3: Основание равно 1. При этом показатель должен быть определен.

$x - 1 = 1 \implies x = 2$.

При $x=2$ неравенство принимает вид $1^{\frac{2 \cdot 2-7}{2+1}} \ge 1 \implies 1^{-1} \ge 1 \implies 1 \ge 1$. Это верное неравенство, значит, $x=2$ является решением.

Объединяем все полученные решения: $[3.5, +\infty) \cup (1, 2) \cup \{2\}$, что дает $(1, 2] \cup [3.5, +\infty)$.

Ответ: $x \in (1, 2] \cup [3.5, +\infty)$.

4) $\left(x + \frac{1}{2}\right)^{x^2 - \frac{1}{4}} > 1$

ОДЗ: основание $x + \frac{1}{2} > 0 \implies x > -\frac{1}{2}$.

Рассмотрим два случая.

Случай 1: Основание больше 1, показатель степени больше 0.

$\begin{cases} x + \frac{1}{2} > 1 \\ x^2 - \frac{1}{4} > 0 \end{cases}$ $\implies$ $\begin{cases} x > \frac{1}{2} \\ (x - \frac{1}{2})(x + \frac{1}{2}) > 0 \end{cases}$ $\implies$ $\begin{cases} x > \frac{1}{2} \\ x \in (-\infty, -\frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, +\infty) \end{cases}$

Пересечением этих множеств является $x > \frac{1}{2}$, то есть $x \in (\frac{1}{2}, +\infty)$.

Случай 2: Основание от 0 до 1, показатель степени меньше 0.

$\begin{cases} 0 < x + \frac{1}{2} < 1 \\ x^2 - \frac{1}{4} < 0 \end{cases}$ $\implies$ $\begin{cases} -\frac{1}{2} < x < \frac{1}{2} \\ (x - \frac{1}{2})(x + \frac{1}{2}) < 0 \end{cases}$ $\implies$ $\begin{cases} -\frac{1}{2} < x < \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} < x < \frac{1}{2} \end{cases}$

Решением этой системы является интервал $-\frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}$, то есть $x \in (-\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$.

Объединяем решения из обоих случаев.

Ответ: $x \in (-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, +\infty)$.