Номер 293, страница 145 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) $ \lg(5-x) + \lg x = \lg 4 $
Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:
$ \begin{cases} 5 - x > 0 \\ x > 0 \end{cases} $
$ \begin{cases} x < 5 \\ x > 0 \end{cases} $
Таким образом, ОДЗ: $ 0 < x < 5 $.
Используем свойство логарифмов $ \log_a b + \log_a c = \log_a (bc) $:
$ \lg((5-x)x) = \lg 4 $
Так как основания логарифмов одинаковы, приравниваем их аргументы:
$ (5-x)x = 4 $
$ 5x - x^2 = 4 $
$ x^2 - 5x + 4 = 0 $
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а произведение равно 4. Корни:
$ x_1 = 1 $
$ x_2 = 4 $
Проверим, входят ли корни в ОДЗ ($ 0 < x < 5 $).
$ x_1 = 1 $ удовлетворяет условию $ 0 < 1 < 5 $.
$ x_2 = 4 $ удовлетворяет условию $ 0 < 4 < 5 $.
Оба корня подходят.
Ответ: 1; 4.

2) $ \lg(x+1) + \lg(x-1) = \lg 3 $
Найдем ОДЗ:
$ \begin{cases} x + 1 > 0 \\ x - 1 > 0 \end{cases} $
$ \begin{cases} x > -1 \\ x > 1 \end{cases} $
Таким образом, ОДЗ: $ x > 1 $.
Применим свойство суммы логарифмов:
$ \lg((x+1)(x-1)) = \lg 3 $
$ \lg(x^2 - 1) = \lg 3 $
Приравниваем аргументы:
$ x^2 - 1 = 3 $
$ x^2 = 4 $
$ x_1 = 2, x_2 = -2 $
Проверим корни по ОДЗ ($ x > 1 $).
$ x_1 = 2 $ удовлетворяет условию $ 2 > 1 $.
$ x_2 = -2 $ не удовлетворяет условию $ -2 > 1 $, это посторонний корень.
Ответ: 2.

3) $ \ln(6-x) + \ln x = \ln 5 $
Найдем ОДЗ. Аргументы натуральных логарифмов должны быть строго положительными:
$ \begin{cases} 6 - x > 0 \\ x > 0 \end{cases} $
$ \begin{cases} x < 6 \\ x > 0 \end{cases} $
Таким образом, ОДЗ: $ 0 < x < 6 $.
Используем свойство суммы логарифмов:
$ \ln((6-x)x) = \ln 5 $
Приравниваем аргументы:
$ (6-x)x = 5 $
$ 6x - x^2 = 5 $
$ x^2 - 6x + 5 = 0 $
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 6, а произведение равно 5. Корни:
$ x_1 = 1 $
$ x_2 = 5 $
Проверим, входят ли корни в ОДЗ ($ 0 < x < 6 $).
$ x_1 = 1 $ удовлетворяет условию $ 0 < 1 < 6 $.
$ x_2 = 5 $ удовлетворяет условию $ 0 < 5 < 6 $.
Оба корня подходят.
Ответ: 1; 5.

4) $ \lg x + \lg(x-3) = 1 $
Найдем ОДЗ:
$ \begin{cases} x > 0 \\ x - 3 > 0 \end{cases} $
$ \begin{cases} x > 0 \\ x > 3 \end{cases} $
Таким образом, ОДЗ: $ x > 3 $.
Применим свойство суммы логарифмов. Также представим 1 как десятичный логарифм: $ 1 = \lg 10 $.
$ \lg(x(x-3)) = \lg 10 $
Приравниваем аргументы:
$ x(x-3) = 10 $
$ x^2 - 3x = 10 $
$ x^2 - 3x - 10 = 0 $
Решим квадратное уравнение через дискриминант:
$ D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49 = 7^2 $
$ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 7}{2} = \frac{10}{2} = 5 $
$ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 7}{2} = \frac{-4}{2} = -2 $
Проверим корни по ОДЗ ($ x > 3 $).
$ x_1 = 5 $ удовлетворяет условию $ 5 > 3 $.
$ x_2 = -2 $ не удовлетворяет условию $ -2 > 3 $, это посторонний корень.
Ответ: 5.