Номер 305, страница 146 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Исходное уравнение: $x^{\log_3 x - 2} = 27$.
Область допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения: $x > 0$.
Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 3:
$\log_3(x^{\log_3 x - 2}) = \log_3(27)$
По свойству логарифма степени $\log_a(b^c) = c \cdot \log_a b$ преобразуем левую часть. Правая часть $\log_3(27) = \log_3(3^3) = 3$.
$(\log_3 x - 2) \cdot \log_3 x = 3$
Введем замену переменной: пусть $t = \log_3 x$. Уравнение примет вид:
$(t - 2)t = 3$
$t^2 - 2t - 3 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 2, а произведение равно -3. Корни:
$t_1 = 3$ и $t_2 = -1$.
Выполним обратную замену:
1. $\log_3 x = 3 \implies x_1 = 3^3 = 27$.
2. $\log_3 x = -1 \implies x_2 = 3^{-1} = \frac{1}{3}$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$).
Ответ: $27; \frac{1}{3}$.

2) Исходное уравнение: $x^{\log_2 x - 3} = 16$.
ОДЗ: $x > 0$.
Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 2:
$\log_2(x^{\log_2 x - 3}) = \log_2(16)$
Преобразуем уравнение, используя свойство логарифма степени и зная, что $\log_2(16) = \log_2(2^4) = 4$:
$(\log_2 x - 3) \cdot \log_2 x = 4$
Введем замену переменной: пусть $t = \log_2 x$.
$(t - 3)t = 4$
$t^2 - 3t - 4 = 0$
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 3, а произведение равно -4. Корни:
$t_1 = 4$ и $t_2 = -1$.
Выполним обратную замену:
1. $\log_2 x = 4 \implies x_1 = 2^4 = 16$.
2. $\log_2 x = -1 \implies x_2 = 2^{-1} = \frac{1}{2}$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$).
Ответ: $16; \frac{1}{2}$.

3) Исходное уравнение: $x^{3 - \log_3 x} = 9$.
ОДЗ: $x > 0$.
Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 3:
$\log_3(x^{3 - \log_3 x}) = \log_3(9)$
Преобразуем уравнение, используя свойство логарифма степени и зная, что $\log_3(9) = \log_3(3^2) = 2$:
$(3 - \log_3 x) \cdot \log_3 x = 2$
Введем замену переменной: пусть $t = \log_3 x$.
$(3 - t)t = 2$
$3t - t^2 = 2$
$t^2 - 3t + 2 = 0$
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 3, а произведение равно 2. Корни:
$t_1 = 1$ и $t_2 = 2$.
Выполним обратную замену:
1. $\log_3 x = 1 \implies x_1 = 3^1 = 3$.
2. $\log_3 x = 2 \implies x_2 = 3^2 = 9$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$).
Ответ: $3; 9$.

4) Исходное уравнение: $x^{\log_5 x + 2} = 125$.
ОДЗ: $x > 0$.
Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 5:
$\log_5(x^{\log_5 x + 2}) = \log_5(125)$
Преобразуем уравнение, используя свойство логарифма степени и зная, что $\log_5(125) = \log_5(5^3) = 3$:
$(\log_5 x + 2) \cdot \log_5 x = 3$
Введем замену переменной: пусть $t = \log_5 x$.
$(t + 2)t = 3$
$t^2 + 2t - 3 = 0$
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна -2, а произведение равно -3. Корни:
$t_1 = 1$ и $t_2 = -3$.
Выполним обратную замену:
1. $\log_5 x = 1 \implies x_1 = 5^1 = 5$.
2. $\log_5 x = -3 \implies x_2 = 5^{-3} = \frac{1}{125}$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$).
Ответ: $5; \frac{1}{125}$.