Номер 311, страница 151 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) $\log_5(3 + 8x) > 0$

Для решения логарифмического неравенства необходимо учесть область допустимых значений (ОДЗ) и решить само неравенство.

1. Найдем ОДЗ. Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$3 + 8x > 0$

$8x > -3$

$x > - \frac{3}{8}$

2. Решим само неравенство. Представим правую часть в виде логарифма с основанием 5:

$0 = \log_5(1)$

Неравенство принимает вид:

$\log_5(3 + 8x) > \log_5(1)$

Так как основание логарифма $5 > 1$, функция является возрастающей, поэтому при переходе к неравенству для аргументов знак неравенства сохраняется:

$3 + 8x > 1$

$8x > 1 - 3$

$8x > -2$

$x > - \frac{2}{8}$

$x > - \frac{1}{4}$

3. Найдем пересечение решения неравенства с ОДЗ. Мы имеем систему:

$\begin{cases} x > - \frac{3}{8} \\ x > - \frac{1}{4} \end{cases}$

Так как $- \frac{1}{4} > - \frac{3}{8}$ (поскольку $-0.25 > -0.375$), решением системы является $x > - \frac{1}{4}$.

Ответ: $(- \frac{1}{4}; +\infty)$.

2) $\log_{\frac{1}{3}}(7 - x) > -2$

1. Найдем ОДЗ:

$7 - x > 0$

$x < 7$

2. Решим неравенство. Представим правую часть в виде логарифма с основанием $\frac{1}{3}$:

$-2 = \log_{\frac{1}{3}}((\frac{1}{3})^{-2}) = \log_{\frac{1}{3}}(3^2) = \log_{\frac{1}{3}}(9)$

Неравенство принимает вид:

$\log_{\frac{1}{3}}(7 - x) > \log_{\frac{1}{3}}(9)$

Так как основание логарифма $0 < \frac{1}{3} < 1$, функция является убывающей, поэтому при переходе к неравенству для аргументов знак неравенства меняется на противоположный:

$7 - x < 9$

$-x < 9 - 7$

$-x < 2$

$x > -2$

3. Найдем пересечение решения с ОДЗ:

$\begin{cases} x < 7 \\ x > -2 \end{cases}$

Решением системы является интервал $-2 < x < 7$.

Ответ: $(-2; 7)$.

3) $\log_2(x - 3) \le 3$

1. Найдем ОДЗ:

$x - 3 > 0$

$x > 3$

2. Решим неравенство. Представим правую часть в виде логарифма с основанием 2:

$3 = \log_2(2^3) = \log_2(8)$

Неравенство принимает вид:

$\log_2(x - 3) \le \log_2(8)$

Так как основание логарифма $2 > 1$, функция является возрастающей, поэтому знак неравенства сохраняется:

$x - 3 \le 8$

$x \le 8 + 3$

$x \le 11$

3. Найдем пересечение решения с ОДЗ:

$\begin{cases} x > 3 \\ x \le 11 \end{cases}$

Решением системы является полуинтервал $3 < x \le 11$.

Ответ: $(3; 11]$.

4) $\lg(4x - 1) \le 1$

Здесь $\lg$ обозначает десятичный логарифм (логарифм по основанию 10).

1. Найдем ОДЗ:

$4x - 1 > 0$

$4x > 1$

$x > \frac{1}{4}$

2. Решим неравенство. Представим правую часть в виде десятичного логарифма:

$1 = \lg(10)$

Неравенство принимает вид:

$\lg(4x - 1) \le \lg(10)$

Так как основание логарифма $10 > 1$, функция является возрастающей, поэтому знак неравенства сохраняется:

$4x - 1 \le 10$

$4x \le 11$

$x \le \frac{11}{4}$

3. Найдем пересечение решения с ОДЗ:

$\begin{cases} x > \frac{1}{4} \\ x \le \frac{11}{4} \end{cases}$

Решением системы является полуинтервал $\frac{1}{4} < x \le \frac{11}{4}$.

Ответ: $(\frac{1}{4}; \frac{11}{4}]$.