Номер 318, страница 152 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) $2^{\log_3 \frac{x-1}{3x+3}} \le \frac{1}{4}$

Первым шагом найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным:
$\frac{x-1}{3x+3} > 0$
$\frac{x-1}{3(x+1)} > 0$
Решая это неравенство методом интервалов, находим нули числителя ($x=1$) и знаменателя ($x=-1$). Эти точки разбивают числовую прямую на три интервала. Проверяя знак дроби в каждом интервале, получаем, что неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -1) \cup (1, +\infty)$. Это и есть ОДЗ.
Теперь решим исходное неравенство. Представим правую часть в виде степени с основанием 2:
$\frac{1}{4} = 4^{-1} = (2^2)^{-1} = 2^{-2}$
Получаем неравенство:
$2^{\log_3 \frac{x-1}{3x+3}} \le 2^{-2}$
Поскольку основание степени $2 > 1$, показательная функция $y=2^t$ является возрастающей. Следовательно, мы можем перейти к неравенству для показателей, сохранив знак неравенства:
$\log_3 \frac{x-1}{3x+3} \le -2$
Представим число -2 в виде логарифма по основанию 3:
$-2 = -2 \cdot \log_3 3 = \log_3 3^{-2} = \log_3 \frac{1}{9}$
Неравенство принимает вид:
$\log_3 \frac{x-1}{3x+3} \le \log_3 \frac{1}{9}$
Поскольку основание логарифма $3 > 1$, логарифмическая функция $y=\log_3 t$ является возрастающей. Переходим к неравенству для аргументов, сохраняя знак:
$\frac{x-1}{3x+3} \le \frac{1}{9}$
С учетом ОДЗ, мы должны решить систему неравенств:
$ \begin{cases} \frac{x-1}{3x+3} > 0 \\ \frac{x-1}{3x+3} \le \frac{1}{9} \end{cases} $
Это эквивалентно двойному неравенству $0 < \frac{x-1}{3x+3} \le \frac{1}{9}$.
Решим второе неравенство: $\frac{x-1}{3(x+1)} - \frac{1}{9} \le 0$
$\frac{3(x-1) - 1(x+1)}{9(x+1)} \le 0$
$\frac{3x - 3 - x - 1}{9(x+1)} \le 0$
$\frac{2x - 4}{9(x+1)} \le 0$
$\frac{2(x-2)}{9(x+1)} \le 0$
Методом интервалов находим, что это неравенство верно для $x \in (-1, 2]$.
Теперь найдем пересечение полученного решения с ОДЗ: $x \in (-1, 2] \cap ((-\infty, -1) \cup (1, +\infty))$.
Пересечением является интервал $(1, 2]$.
Ответ: $x \in (1, 2]$.

2) $3^{\log_2 \frac{x-1}{x+1}} < \frac{1}{9}$

Найдем ОДЗ:
$\frac{x-1}{x+1} > 0$
Методом интервалов получаем $x \in (-\infty, -1) \cup (1, +\infty)$.
Решим неравенство. Представим правую часть как степень с основанием 3:
$\frac{1}{9} = 3^{-2}$
$3^{\log_2 \frac{x-1}{x+1}} < 3^{-2}$
Так как основание $3 > 1$, переходим к неравенству для показателей:
$\log_2 \frac{x-1}{x+1} < -2$
Представим -2 как логарифм по основанию 2:
$-2 = \log_2 2^{-2} = \log_2 \frac{1}{4}$
$\log_2 \frac{x-1}{x+1} < \log_2 \frac{1}{4}$
Так как основание логарифма $2 > 1$, переходим к неравенству для аргументов:
$\frac{x-1}{x+1} < \frac{1}{4}$
С учетом ОДЗ, решаем систему $0 < \frac{x-1}{x+1} < \frac{1}{4}$.
Решим правую часть: $\frac{x-1}{x+1} - \frac{1}{4} < 0$
$\frac{4(x-1) - (x+1)}{4(x+1)} < 0$
$\frac{4x - 4 - x - 1}{4(x+1)} < 0$
$\frac{3x-5}{4(x+1)} < 0$
Методом интервалов получаем $x \in (-1, \frac{5}{3})$.
Найдем пересечение с ОДЗ: $x \in (-1, \frac{5}{3}) \cap ((-\infty, -1) \cup (1, +\infty))$.
Пересечение: $x \in (1, \frac{5}{3})$.
Ответ: $x \in (1, \frac{5}{3})$.

3) $(5x+1)\lg(4-x) \le 0$

Найдем ОДЗ: аргумент логарифма должен быть положителен.
$4-x > 0 \implies x < 4$.
ОДЗ: $x \in (-\infty, 4)$.
Решим неравенство методом интервалов. Произведение двух множителей неположительно, если они имеют разные знаки или один из них равен нулю. Найдем корни каждого множителя:
1) $5x+1=0 \implies x = -1/5 = -0.2$.
2) $\lg(4-x)=0 \implies 4-x=10^0=1 \implies x=3$.
Отметим точки $x=-0.2$ и $x=3$ на числовой прямой, учитывая ОДЗ $x<4$. Получим интервалы: $(-\infty, -0.2]$, $[-0.2, 3]$ и $[3, 4)$.
- При $x \in (3, 4)$, например $x=3.5$: $5x+1 > 0$, $4-x < 1 \implies \lg(4-x) < 0$. Произведение $(+) \cdot (-) = (-)$, что удовлетворяет неравенству $\le 0$.
- При $x \in (-0.2, 3)$, например $x=0$: $5x+1 > 0$, $4-x > 1 \implies \lg(4-x) > 0$. Произведение $(+) \cdot (+) = (+)$, что не удовлетворяет неравенству.
- При $x \in (-\infty, -0.2)$, например $x=-1$: $5x+1 < 0$, $4-x > 1 \implies \lg(4-x) > 0$. Произведение $(-) \cdot (+) = (-)$, что удовлетворяет неравенству.
Точки, где множители равны нулю ($x=-0.2$ и $x=3$), также включаются в решение.
Объединяя подходящие интервалы и точки, получаем решение.
Ответ: $x \in (-\infty, -1/5] \cup [3, 4)$.

4) $(3-x)\lg(2x-1) \ge 0$

Найдем ОДЗ:
$2x-1 > 0 \implies 2x > 1 \implies x > 1/2$.
ОДЗ: $x \in (1/2, +\infty)$.
Решим неравенство методом интервалов. Произведение неотрицательно, если множители одного знака или один из них равен нулю. Найдем корни множителей:
1) $3-x=0 \implies x=3$.
2) $\lg(2x-1)=0 \implies 2x-1=1 \implies 2x=2 \implies x=1$.
Отметим точки $x=1$ и $x=3$ на числовой прямой в пределах ОДЗ $x > 1/2$. Получим интервалы: $(1/2, 1]$, $[1, 3]$ и $[3, +\infty)$.
- При $x \in (3, +\infty)$, например $x=4$: $3-x < 0$, $2x-1 > 1 \implies \lg(2x-1) > 0$. Произведение $(-) \cdot (+) = (-)$, не удовлетворяет неравенству $\ge 0$.
- При $x \in (1, 3)$, например $x=2$: $3-x > 0$, $2x-1 > 1 \implies \lg(2x-1) > 0$. Произведение $(+) \cdot (+) = (+)$, удовлетворяет неравенству.
- При $x \in (1/2, 1)$, например $x=0.6$: $3-x > 0$, $0 < 2x-1 < 1 \implies \lg(2x-1) < 0$. Произведение $(+) \cdot (-) = (-)$, не удовлетворяет неравенству.
Точки, где множители равны нулю ($x=1$ и $x=3$), включаются в решение.
Объединяя интервал и точки, получаем решение.
Ответ: $x \in [1, 3]$.