Номер 323, страница 153 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) $(\log_2 x - 4)(5x^2 + x - 6) \geq 0$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$x > 0$

Таким образом, ОДЗ: $x \in (0, \infty)$.

Теперь решим неравенство методом интервалов. Для этого найдем корни каждого множителя.

Первый множитель: $\log_2 x - 4 = 0$

$\log_2 x = 4$

$x = 2^4 = 16$

Второй множитель: $5x^2 + x - 6 = 0$

Найдем дискриминант: $D = 1^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-6) = 1 + 120 = 121 = 11^2$.

$x_1 = \frac{-1 - 11}{2 \cdot 5} = \frac{-12}{10} = -1.2$

$x_2 = \frac{-1 + 11}{2 \cdot 5} = \frac{10}{10} = 1$

Корень $x_1 = -1.2$ не входит в ОДЗ ($x>0$), поэтому мы его не рассматриваем.

Отметим на числовой оси точки, в которых множители меняют знак, с учетом ОДЗ: $1$ и $16$.

Рассмотрим знаки произведения на интервалах:

• Интервал $(0, 1)$. Возьмем $x=0.5$. $\log_2 0.5 - 4 = -1-4 = -5$ (отрицательный). $5(0.5)^2+0.5-6 = -4.25$ (отрицательный). Произведение: $(-)\cdot(-) = (+)$.
• Интервал $(1, 16)$. Возьмем $x=2$. $\log_2 2 - 4 = 1-4 = -3$ (отрицательный). $5(2)^2+2-6 = 16$ (положительный). Произведение: $(-)\cdot(+) = (-)$.
• Интервал $(16, \infty)$. Возьмем $x=32$. $\log_2 32 - 4 = 5-4 = 1$ (положительный). $5(32)^2+32-6$ (положительный). Произведение: $(+)\cdot(+) = (+)$.

Нас интересуют интервалы, где произведение больше или равно нулю. Это $(0, 1]$ и $[16, \infty)$. Точки $1$ и $16$ включаются, так как неравенство нестрогое.

Ответ: $x \in (0, 1] \cup [16, \infty)$.

2) $(\log_3 x + 3)(x^2 + 2x - 8) \geq 0$

ОДЗ: $x > 0$.

Решаем методом интервалов. Найдем корни каждого множителя.

Первый множитель: $\log_3 x + 3 = 0$

$\log_3 x = -3$

$x = 3^{-3} = \frac{1}{27}$

Второй множитель: $x^2 + 2x - 8 = 0$

По теореме Виета, корни: $x_1 = -4$ и $x_2 = 2$.

Корень $x_1 = -4$ не входит в ОДЗ.

Отметим на числовой оси точки, входящие в ОДЗ: $\frac{1}{27}$ и $2$.

Рассмотрим знаки произведения на интервалах:

• Интервал $(0, \frac{1}{27})$. Возьмем $x=\frac{1}{81}$. $\log_3 \frac{1}{81} + 3 = -4+3 = -1$ (отрицательный). $x^2+2x-8$ на этом интервале отрицателен (между корнями -4 и 2). Произведение: $(-)\cdot(-) = (+)$.
• Интервал $(\frac{1}{27}, 2)$. Возьмем $x=1$. $\log_3 1 + 3 = 3$ (положительный). $1^2+2(1)-8 = -5$ (отрицательный). Произведение: $(+)\cdot(-) = (-)$.
• Интервал $(2, \infty)$. Возьмем $x=3$. $\log_3 3 + 3 = 4$ (положительный). $3^2+2(3)-8 = 7$ (положительный). Произведение: $(+)\cdot(+) = (+)$.

Нас интересуют интервалы, где произведение больше или равно нулю. Это $(0, \frac{1}{27}]$ и $[2, \infty)$.

Ответ: $x \in (0, \frac{1}{27}] \cup [2, \infty)$.

3) $\frac{2-x}{(x+4)\log_{0.3}(2x^2+6x+5)} \leq 0$

Найдем ОДЗ:

1. Аргумент логарифма должен быть положителен: $2x^2+6x+5 > 0$. Дискриминант $D = 6^2-4 \cdot 2 \cdot 5 = 36-40 = -4 < 0$. Так как коэффициент при $x^2$ положителен, выражение $2x^2+6x+5$ всегда положительно для любого $x$.

2. Знаменатель не должен быть равен нулю:

$x+4 \neq 0 \implies x \neq -4$.

$\log_{0.3}(2x^2+6x+5) \neq 0 \implies 2x^2+6x+5 \neq 1 \implies 2x^2+6x+4 \neq 0 \implies x^2+3x+2 \neq 0$. Корни этого уравнения $x=-1$ и $x=-2$. Значит, $x \neq -1$ и $x \neq -2$.

ОДЗ: $x \in \mathbb{R} \setminus \{-4, -2, -1\}$.

Решим неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя.

Нуль числителя: $2-x = 0 \implies x=2$.

Нули знаменателя: $x=-4$, и точки, где $\log_{0.3}(2x^2+6x+5)=0$, то есть $x=-2$ и $x=-1$.

Определим знак $\log_{0.3}(2x^2+6x+5)$. Основание логарифма $0.3 < 1$, поэтому функция убывающая.$\log_{0.3}(t) > 0$ при $0 < t < 1$.$\log_{0.3}(t) < 0$ при $t > 1$.$t=2x^2+6x+5$. Мы нашли, что $t=1$ при $x=-2, x=-1$. Так как парабола $y=t-1=2x^2+6x+4$ ветвями вверх, то $t>1$ при $x \in (-\infty, -2) \cup (-1, \infty)$ и $t<1$ при $x \in (-2, -1)$.Значит, $\log_{0.3}(\dots)$ отрицателен при $x \in (-\infty, -2) \cup (-1, \infty)$ и положителен при $x \in (-2, -1)$.

Составим таблицу знаков для выражения $F(x) = \frac{2-x}{(x+4)\log_{0.3}(2x^2+6x+5)}$:

Нас интересуют значения $F(x) \leq 0$. Это происходит на интервалах $(-4, -2)$ и $(-1, 2)$. Также нужно включить точку, где числитель равен нулю, то есть $x=2$. Точки, где знаменатель равен нулю ($-4, -2, -1$), исключаются.

Объединяя результаты, получаем решение: $(-4, -2) \cup (-1, 2]$.

Ответ: $x \in (-4, -2) \cup (-1, 2]$.

4) $\log_7(3 - \frac{1}{x-1}) + \log_7 \frac{1}{x} \geq 0$

Найдем ОДЗ:

1. $3 - \frac{1}{x-1} > 0 \implies \frac{3(x-1)-1}{x-1} > 0 \implies \frac{3x-4}{x-1} > 0$. Решая методом интервалов, получаем $x \in (-\infty, 1) \cup (\frac{4}{3}, \infty)$.

2. $\frac{1}{x} > 0 \implies x > 0$.

3. $x-1 \neq 0 \implies x \neq 1$.

Пересекая все условия, получаем ОДЗ: $x \in (0, 1) \cup (\frac{4}{3}, \infty)$.

Теперь решим само неравенство. Используем свойство суммы логарифмов:

$\log_7 \left( \left(3 - \frac{1}{x-1}\right) \cdot \frac{1}{x} \right) \geq 0$

Так как основание $7>1$, логарифмическая функция возрастающая. Неравенство равносильно следующему:

$\left(3 - \frac{1}{x-1}\right) \cdot \frac{1}{x} \geq 7^0$

$\frac{3x-4}{x-1} \cdot \frac{1}{x} \geq 1$

$\frac{3x-4}{x(x-1)} \geq 1$

$\frac{3x-4}{x^2-x} - 1 \geq 0$

$\frac{3x-4 - (x^2-x)}{x^2-x} \geq 0$

$\frac{-x^2+4x-4}{x(x-1)} \geq 0$

Умножим на -1 и сменим знак неравенства:

$\frac{x^2-4x+4}{x(x-1)} \leq 0$

$\frac{(x-2)^2}{x(x-1)} \leq 0$

Числитель $(x-2)^2$ всегда неотрицателен. Он равен нулю при $x=2$.

Дробь будет отрицательной, когда знаменатель $x(x-1)$ отрицателен (так как числитель положителен при $x\neq2$).

$x(x-1) < 0$ при $x \in (0, 1)$.

Таким образом, решение этого неравенства есть объединение случая, когда дробь равна нулю ($x=2$), и случая, когда она отрицательна ($x \in (0, 1)$). Получаем: $x \in (0, 1) \cup \{2\}$.

Теперь найдем пересечение этого решения с ОДЗ: $(0, 1) \cup (\frac{4}{3}, \infty)$.

• Интервал $(0, 1)$ полностью входит в ОДЗ.
• Точка $x=2$ также входит в ОДЗ, так как $2 > \frac{4}{3}$.

Окончательное решение: $(0, 1) \cup \{2\}$.

Ответ: $x \in (0, 1) \cup \{2\}$.