Страница 153 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) $log_{0,1}(x - 2) - lg(x) > log_{0,1}(3)$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть положительными:
$x - 2 > 0 \Rightarrow x > 2$
$x > 0$
Пересечение этих условий дает ОДЗ: $x > 2$.

Теперь приведем все логарифмы к одному основанию $0,1$.
Используем формулу перехода к другому основанию: $lg(x) = log_{10}(x)$.
Так как $0,1 = 10^{-1}$, то $log_{0,1}(x) = log_{10^{-1}}(x) = -log_{10}(x) = -lg(x)$.
Отсюда $lg(x) = -log_{0,1}(x)$.
Подставим это в неравенство:
$log_{0,1}(x - 2) - (-log_{0,1}(x)) > log_{0,1}(3)$
$log_{0,1}(x - 2) + log_{0,1}(x) > log_{0,1}(3)$

Используем свойство суммы логарифмов $log_a(b) + log_a(c) = log_a(bc)$:
$log_{0,1}(x(x - 2)) > log_{0,1}(3)$

Так как основание логарифма $a = 0,1$ находится в интервале $(0; 1)$, логарифмическая функция является убывающей. Поэтому при переходе к неравенству для аргументов знак неравенства меняется на противоположный:
$x(x - 2) < 3$
$x^2 - 2x - 3 < 0$

Решим квадратное неравенство. Найдем корни уравнения $x^2 - 2x - 3 = 0$.
По теореме Виета, корни $x_1 = -1$ и $x_2 = 3$.
Парабола $y = x^2 - 2x - 3$ ветвями вверх, значит, неравенство выполняется между корнями: $x \in (-1; 3)$.

Теперь найдем пересечение полученного решения с ОДЗ ($x > 2$):
$(-1; 3) \cap (2; +\infty) = (2; 3)$.

Решением неравенства является интервал $(2; 3)$. Выберем два значения $x$ из этого интервала.
Ответ: Решение: $x \in (2; 3)$. Примеры значений: $x_1 = 2,1$, $x_2 = 2,5$.

2) $log_{0,5}(x) - log_2(x - 3) < log_{0,5}(4)$

Найдем ОДЗ:
$x > 0$
$x - 3 > 0 \Rightarrow x > 3$
ОДЗ: $x > 3$.

Приведем логарифмы к основанию 2. Используем свойство $log_{a^k}(b) = \frac{1}{k}log_a(b)$.
$log_{0,5}(x) = log_{1/2}(x) = log_{2^{-1}}(x) = -log_2(x)$.
$log_{0,5}(4) = log_{1/2}(4) = -log_2(4) = -2$.
Подставим в неравенство:
$-log_2(x) - log_2(x - 3) < -2$
Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства:
$log_2(x) + log_2(x - 3) > 2$

Используем свойство суммы логарифмов:
$log_2(x(x - 3)) > 2$

Так как основание логарифма $a = 2 > 1$, функция возрастающая, знак неравенства сохраняется:
$x(x - 3) > 2^2$
$x^2 - 3x > 4$
$x^2 - 3x - 4 > 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 3x - 4 = 0$.
По теореме Виета, корни $x_1 = -1$ и $x_2 = 4$.
Парабола ветвями вверх, значит, неравенство выполняется вне интервала между корнями: $x \in (-\infty; -1) \cup (4; +\infty)$.

Пересекаем с ОДЗ ($x > 3$):
$((-\infty; -1) \cup (4; +\infty)) \cap (3; +\infty) = (4; +\infty)$.

Решением является интервал $(4; +\infty)$. Выберем два значения $x$ из этого интервала.
Ответ: Решение: $x \in (4; +\infty)$. Примеры значений: $x_1 = 5$, $x_2 = 10$.

3) $log_{0,2}(x) - log_5(x - 2) < log_{0,2}(3)$

Найдем ОДЗ:
$x > 0$
$x - 2 > 0 \Rightarrow x > 2$
ОДЗ: $x > 2$.

Приведем логарифмы к основанию 5.
$log_{0,2}(x) = log_{1/5}(x) = log_{5^{-1}}(x) = -log_5(x)$.
$log_{0,2}(3) = log_{1/5}(3) = -log_5(3)$.
Подставим в неравенство:
$-log_5(x) - log_5(x - 2) < -log_5(3)$
Умножим на -1, изменив знак неравенства:
$log_5(x) + log_5(x - 2) > log_5(3)$

Используем свойство суммы логарифмов:
$log_5(x(x - 2)) > log_5(3)$

Основание $a = 5 > 1$, функция возрастающая, знак неравенства сохраняется:
$x(x - 2) > 3$
$x^2 - 2x - 3 > 0$

Корни уравнения $x^2 - 2x - 3 = 0$ равны $x_1 = -1$ и $x_2 = 3$.
Решение квадратного неравенства: $x \in (-\infty; -1) \cup (3; +\infty)$.

Пересекаем с ОДЗ ($x > 2$):
$((-\infty; -1) \cup (3; +\infty)) \cap (2; +\infty) = (3; +\infty)$.

Решением является интервал $(3; +\infty)$. Выберем два значения $x$ из этого интервала.
Ответ: Решение: $x \in (3; +\infty)$. Примеры значений: $x_1 = 4$, $x_2 = 100$.

4) $lg(x) - log_{0,1}(x - 1) > log_{0,1}(0,5)$

Найдем ОДЗ:
$x > 0$
$x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1$
ОДЗ: $x > 1$.

Приведем логарифмы к основанию 10 (десятичный логарифм $lg$).
$log_{0,1}(t) = log_{10^{-1}}(t) = -log_{10}(t) = -lg(t)$.
Подставим в неравенство:
$lg(x) - (-lg(x - 1)) > -lg(0,5)$
$lg(x) + lg(x - 1) > -lg(0,5)$

Используем свойство $-log_a(b) = log_a(b^{-1})$:
$lg(x) + lg(x - 1) > lg(0,5^{-1})$
$lg(x) + lg(x - 1) > lg(2)$

Используем свойство суммы логарифмов:
$lg(x(x - 1)) > lg(2)$

Основание $a = 10 > 1$, функция возрастающая, знак неравенства сохраняется:
$x(x - 1) > 2$
$x^2 - x - 2 > 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - x - 2 = 0$.
По теореме Виета, корни $x_1 = -1$ и $x_2 = 2$.
Решение квадратного неравенства: $x \in (-\infty; -1) \cup (2; +\infty)$.

Пересекаем с ОДЗ ($x > 1$):
$((-\infty; -1) \cup (2; +\infty)) \cap (1; +\infty) = (2; +\infty)$.

Решением является интервал $(2; +\infty)$. Выберем два значения $x$ из этого интервала.
Ответ: Решение: $x \in (2; +\infty)$. Примеры значений: $x_1 = 3$, $x_2 = 5$.

1) $(\log_2 x - 4)(5x^2 + x - 6) \geq 0$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$x > 0$

Таким образом, ОДЗ: $x \in (0, \infty)$.

Теперь решим неравенство методом интервалов. Для этого найдем корни каждого множителя.

Первый множитель: $\log_2 x - 4 = 0$

$\log_2 x = 4$

$x = 2^4 = 16$

Второй множитель: $5x^2 + x - 6 = 0$

Найдем дискриминант: $D = 1^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-6) = 1 + 120 = 121 = 11^2$.

$x_1 = \frac{-1 - 11}{2 \cdot 5} = \frac{-12}{10} = -1.2$

$x_2 = \frac{-1 + 11}{2 \cdot 5} = \frac{10}{10} = 1$

Корень $x_1 = -1.2$ не входит в ОДЗ ($x>0$), поэтому мы его не рассматриваем.

Отметим на числовой оси точки, в которых множители меняют знак, с учетом ОДЗ: $1$ и $16$.

Рассмотрим знаки произведения на интервалах:

• Интервал $(0, 1)$. Возьмем $x=0.5$. $\log_2 0.5 - 4 = -1-4 = -5$ (отрицательный). $5(0.5)^2+0.5-6 = -4.25$ (отрицательный). Произведение: $(-)\cdot(-) = (+)$.
• Интервал $(1, 16)$. Возьмем $x=2$. $\log_2 2 - 4 = 1-4 = -3$ (отрицательный). $5(2)^2+2-6 = 16$ (положительный). Произведение: $(-)\cdot(+) = (-)$.
• Интервал $(16, \infty)$. Возьмем $x=32$. $\log_2 32 - 4 = 5-4 = 1$ (положительный). $5(32)^2+32-6$ (положительный). Произведение: $(+)\cdot(+) = (+)$.

Нас интересуют интервалы, где произведение больше или равно нулю. Это $(0, 1]$ и $[16, \infty)$. Точки $1$ и $16$ включаются, так как неравенство нестрогое.

Ответ: $x \in (0, 1] \cup [16, \infty)$.

2) $(\log_3 x + 3)(x^2 + 2x - 8) \geq 0$

ОДЗ: $x > 0$.

Решаем методом интервалов. Найдем корни каждого множителя.

Первый множитель: $\log_3 x + 3 = 0$

$\log_3 x = -3$

$x = 3^{-3} = \frac{1}{27}$

Второй множитель: $x^2 + 2x - 8 = 0$

По теореме Виета, корни: $x_1 = -4$ и $x_2 = 2$.

Корень $x_1 = -4$ не входит в ОДЗ.

Отметим на числовой оси точки, входящие в ОДЗ: $\frac{1}{27}$ и $2$.

Рассмотрим знаки произведения на интервалах:

• Интервал $(0, \frac{1}{27})$. Возьмем $x=\frac{1}{81}$. $\log_3 \frac{1}{81} + 3 = -4+3 = -1$ (отрицательный). $x^2+2x-8$ на этом интервале отрицателен (между корнями -4 и 2). Произведение: $(-)\cdot(-) = (+)$.
• Интервал $(\frac{1}{27}, 2)$. Возьмем $x=1$. $\log_3 1 + 3 = 3$ (положительный). $1^2+2(1)-8 = -5$ (отрицательный). Произведение: $(+)\cdot(-) = (-)$.
• Интервал $(2, \infty)$. Возьмем $x=3$. $\log_3 3 + 3 = 4$ (положительный). $3^2+2(3)-8 = 7$ (положительный). Произведение: $(+)\cdot(+) = (+)$.

Нас интересуют интервалы, где произведение больше или равно нулю. Это $(0, \frac{1}{27}]$ и $[2, \infty)$.

Ответ: $x \in (0, \frac{1}{27}] \cup [2, \infty)$.

3) $\frac{2-x}{(x+4)\log_{0.3}(2x^2+6x+5)} \leq 0$

Найдем ОДЗ:

1. Аргумент логарифма должен быть положителен: $2x^2+6x+5 > 0$. Дискриминант $D = 6^2-4 \cdot 2 \cdot 5 = 36-40 = -4 < 0$. Так как коэффициент при $x^2$ положителен, выражение $2x^2+6x+5$ всегда положительно для любого $x$.

2. Знаменатель не должен быть равен нулю:

$x+4 \neq 0 \implies x \neq -4$.

$\log_{0.3}(2x^2+6x+5) \neq 0 \implies 2x^2+6x+5 \neq 1 \implies 2x^2+6x+4 \neq 0 \implies x^2+3x+2 \neq 0$. Корни этого уравнения $x=-1$ и $x=-2$. Значит, $x \neq -1$ и $x \neq -2$.

ОДЗ: $x \in \mathbb{R} \setminus \{-4, -2, -1\}$.

Решим неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя.

Нуль числителя: $2-x = 0 \implies x=2$.

Нули знаменателя: $x=-4$, и точки, где $\log_{0.3}(2x^2+6x+5)=0$, то есть $x=-2$ и $x=-1$.

Определим знак $\log_{0.3}(2x^2+6x+5)$. Основание логарифма $0.3 < 1$, поэтому функция убывающая.$\log_{0.3}(t) > 0$ при $0 < t < 1$.$\log_{0.3}(t) < 0$ при $t > 1$.$t=2x^2+6x+5$. Мы нашли, что $t=1$ при $x=-2, x=-1$. Так как парабола $y=t-1=2x^2+6x+4$ ветвями вверх, то $t>1$ при $x \in (-\infty, -2) \cup (-1, \infty)$ и $t<1$ при $x \in (-2, -1)$.Значит, $\log_{0.3}(\dots)$ отрицателен при $x \in (-\infty, -2) \cup (-1, \infty)$ и положителен при $x \in (-2, -1)$.

Составим таблицу знаков для выражения $F(x) = \frac{2-x}{(x+4)\log_{0.3}(2x^2+6x+5)}$:

Нас интересуют значения $F(x) \leq 0$. Это происходит на интервалах $(-4, -2)$ и $(-1, 2)$. Также нужно включить точку, где числитель равен нулю, то есть $x=2$. Точки, где знаменатель равен нулю ($-4, -2, -1$), исключаются.

Объединяя результаты, получаем решение: $(-4, -2) \cup (-1, 2]$.

Ответ: $x \in (-4, -2) \cup (-1, 2]$.

4) $\log_7(3 - \frac{1}{x-1}) + \log_7 \frac{1}{x} \geq 0$

Найдем ОДЗ:

1. $3 - \frac{1}{x-1} > 0 \implies \frac{3(x-1)-1}{x-1} > 0 \implies \frac{3x-4}{x-1} > 0$. Решая методом интервалов, получаем $x \in (-\infty, 1) \cup (\frac{4}{3}, \infty)$.

2. $\frac{1}{x} > 0 \implies x > 0$.

3. $x-1 \neq 0 \implies x \neq 1$.

Пересекая все условия, получаем ОДЗ: $x \in (0, 1) \cup (\frac{4}{3}, \infty)$.

Теперь решим само неравенство. Используем свойство суммы логарифмов:

$\log_7 \left( \left(3 - \frac{1}{x-1}\right) \cdot \frac{1}{x} \right) \geq 0$

Так как основание $7>1$, логарифмическая функция возрастающая. Неравенство равносильно следующему:

$\left(3 - \frac{1}{x-1}\right) \cdot \frac{1}{x} \geq 7^0$

$\frac{3x-4}{x-1} \cdot \frac{1}{x} \geq 1$

$\frac{3x-4}{x(x-1)} \geq 1$

$\frac{3x-4}{x^2-x} - 1 \geq 0$

$\frac{3x-4 - (x^2-x)}{x^2-x} \geq 0$

$\frac{-x^2+4x-4}{x(x-1)} \geq 0$

Умножим на -1 и сменим знак неравенства:

$\frac{x^2-4x+4}{x(x-1)} \leq 0$

$\frac{(x-2)^2}{x(x-1)} \leq 0$

Числитель $(x-2)^2$ всегда неотрицателен. Он равен нулю при $x=2$.

Дробь будет отрицательной, когда знаменатель $x(x-1)$ отрицателен (так как числитель положителен при $x\neq2$).

$x(x-1) < 0$ при $x \in (0, 1)$.

Таким образом, решение этого неравенства есть объединение случая, когда дробь равна нулю ($x=2$), и случая, когда она отрицательна ($x \in (0, 1)$). Получаем: $x \in (0, 1) \cup \{2\}$.

Теперь найдем пересечение этого решения с ОДЗ: $(0, 1) \cup (\frac{4}{3}, \infty)$.

• Интервал $(0, 1)$ полностью входит в ОДЗ.
• Точка $x=2$ также входит в ОДЗ, так как $2 > \frac{4}{3}$.

Окончательное решение: $(0, 1) \cup \{2\}$.

Ответ: $x \in (0, 1) \cup \{2\}$.

1) Решим неравенство $log_{1-x}(2x+3) \ge 1$.
Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ):
1. Аргумент логарифма должен быть положителен: $2x + 3 > 0 \implies 2x > -3 \implies x > -1.5$.
2. Основание логарифма должно быть положительным: $1 - x > 0 \implies x < 1$.
3. Основание логарифма не должно быть равно единице: $1 - x \ne 1 \implies x \ne 0$.
Объединяя эти условия, получаем ОДЗ: $x \in (-1.5, 0) \cup (0, 1)$.
Теперь решим само неравенство. Представим 1 как логарифм с тем же основанием:
$log_{1-x}(2x+3) \ge log_{1-x}(1-x)$.
Данное неравенство равносильно системе, которую можно решить методом рационализации. Неравенство вида $log_a f \ge log_a g$ равносильно неравенству $(a-1)(f-g) \ge 0$ на ОДЗ.
$((1-x) - 1)((2x+3) - (1-x)) \ge 0$
$(-x)(2x+3-1+x) \ge 0$
$(-x)(3x+2) \ge 0$
Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства:
$x(3x+2) \le 0$
Корни левой части: $x=0$ и $x=-2/3$. Это парабола с ветвями вверх, поэтому она меньше или равна нулю между корнями: $x \in [-2/3, 0]$.
Теперь найдем пересечение полученного решения с ОДЗ $x \in (-1.5, 0) \cup (0, 1)$.
Точка $x=0$ не входит в ОДЗ, поэтому итоговое решение будет $x \in [-2/3, 0)$.
Ответ: $x \in [-2/3, 0)$.

2) Решим неравенство $log_{x-1}(x-8) \le 1$.
Найдем ОДЗ:
1. Аргумент логарифма: $x - 8 > 0 \implies x > 8$.
2. Основание логарифма: $x - 1 > 0 \implies x > 1$.
3. Основание не равно 1: $x - 1 \ne 1 \implies x \ne 2$.
ОДЗ: $x \in (8, +\infty)$.
Перепишем неравенство, представив 1 в виде логарифма:
$log_{x-1}(x-8) \le log_{x-1}(x-1)$.
На ОДЗ основание $x-1 > 8-1 = 7$, то есть основание всегда больше 1. Значит, функция логарифма возрастающая, и при переходе к аргументам знак неравенства сохраняется:
$x-8 \le x-1$
$-8 \le -1$
Это неравенство верно для любого $x$. Следовательно, решением является вся область допустимых значений.
Ответ: $x \in (8, +\infty)$.

3) Решим неравенство $2log_{2x}(\sqrt{x+1}) < 0$.
Разделим обе части на 2: $log_{2x}(\sqrt{x+1}) < 0$.
Найдем ОДЗ:
1. Подрадикальное выражение: $x+1 \ge 0 \implies x \ge -1$.
2. Аргумент логарифма: $\sqrt{x+1} > 0 \implies x+1 > 0 \implies x > -1$.
3. Основание логарифма: $2x > 0 \implies x > 0$.
4. Основание не равно 1: $2x \ne 1 \implies x \ne 1/2$.
ОДЗ: $x \in (0, 1/2) \cup (1/2, +\infty)$.
Представим 0 как логарифм: $log_{2x}(\sqrt{x+1}) < log_{2x}(1)$.
Применим метод рационализации. Неравенство $log_a f < log_a g$ равносильно $(a-1)(f-g) < 0$ на ОДЗ.
$(2x-1)(\sqrt{x+1}-1) < 0$.
Рассмотрим знаки множителей на ОДЗ.
Для второго множителя $(\sqrt{x+1}-1)$: так как на ОДЗ $x>0$, то $x+1>1$, а значит $\sqrt{x+1}>1$. Следовательно, выражение $\sqrt{x+1}-1$ всегда положительно на ОДЗ.
Чтобы произведение было отрицательным, первый множитель должен быть отрицательным:
$2x-1 < 0 \implies 2x < 1 \implies x < 1/2$.
Пересекаем полученное условие $x < 1/2$ с ОДЗ $x \in (0, 1/2) \cup (1/2, +\infty)$.
Итоговое решение: $x \in (0, 1/2)$.
Ответ: $x \in (0, 1/2)$.

4) Решим неравенство $log_{3x}(2.5x + 1) \ge 0$.
Найдем ОДЗ:
1. Аргумент логарифма: $2.5x + 1 > 0 \implies 2.5x > -1 \implies x > -1/2.5 \implies x > -0.4$.
2. Основание логарифма: $3x > 0 \implies x > 0$.
3. Основание не равно 1: $3x \ne 1 \implies x \ne 1/3$.
ОДЗ: $x \in (0, 1/3) \cup (1/3, +\infty)$.
Представим 0 в виде логарифма: $log_{3x}(2.5x + 1) \ge log_{3x}(1)$.
Используем метод рационализации:
$(3x-1)((2.5x+1)-1) \ge 0$
$(3x-1)(2.5x) \ge 0$
Корни левой части: $x=0$ и $x=1/3$. Это парабола с ветвями вверх, поэтому решение неравенства: $x \in (-\infty, 0] \cup [1/3, +\infty)$.
Найдем пересечение этого решения с ОДЗ $x \in (0, 1/3) \cup (1/3, +\infty)$.
Пересечение с интервалом $(-\infty, 0]$ дает пустое множество.
Пересечение с интервалом $[1/3, +\infty)$ дает $(1/3, +\infty)$, так как точка $x=1/3$ не входит в ОДЗ.
Ответ: $x \in (1/3, +\infty)$.

1) Исходное неравенство: $8^{\log_2 x} - 2x^2 > x - 2$.
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием существования логарифма: $x > 0$.
Упростим левую часть неравенства, используя основное логарифмическое тождество и свойства степеней:
$8^{\log_2 x} = (2^3)^{\log_2 x} = 2^{3\log_2 x} = 2^{\log_2 x^3} = x^3$.
Подставим упрощенное выражение в исходное неравенство:
$x^3 - 2x^2 > x - 2$.
Перенесем все члены в левую часть:
$x^3 - 2x^2 - x + 2 > 0$.
Разложим левую часть на множители методом группировки:
$x^2(x - 2) - 1(x - 2) > 0$
$(x^2 - 1)(x - 2) > 0$
$(x - 1)(x + 1)(x - 2) > 0$.
Решим полученное неравенство методом интервалов. Корни многочлена: $x = -1, x = 1, x = 2$.
Нанесем корни на числовую ось и определим знаки произведения в каждом интервале:
При $x > 2$: $(+)(+)(+) = +$.
При $1 < x < 2$: $(+)(+)(-) = -$.
При $-1 < x < 1$: $(-)(+)(-) = +$.
При $x < -1$: $(-)(-)(-) = -$.
Решением неравенства является объединение интервалов, где произведение положительно: $x \in (-1, 1) \cup (2, \infty)$.
Учитывая ОДЗ ($x > 0$), получаем окончательное решение, которое является пересечением множеств $(-1, 1) \cup (2, \infty)$ и $(0, \infty)$: $x \in (0, 1) \cup (2, \infty)$.
Ответ: $x \in (0, 1) \cup (2, \infty)$.

2) Исходное неравенство: $x^{\frac{1}{\lg x}} \cdot \lg x < 1$.
ОДЗ: $x > 0$ (аргумент логарифма) и $\lg x \neq 0$ (знаменатель степени), что означает $x \neq 1$. Итак, ОДЗ: $x \in (0, 1) \cup (1, \infty)$.
Упростим выражение $x^{\frac{1}{\lg x}}$. Пусть $y = x^{\frac{1}{\lg x}}$. Прологарифмируем обе части по основанию 10:
$\lg y = \lg(x^{\frac{1}{\lg x}}) = \frac{1}{\lg x} \cdot \lg x = 1$.
Из $\lg y = 1$ следует, что $y = 10^1 = 10$.
Подставим это значение в неравенство:
$10 \cdot \lg x < 1$
$\lg x < \frac{1}{10}$.
Так как функция $y = 10^t$ возрастающая, получаем:
$x < 10^{1/10}$ или $x < \sqrt[10]{10}$.
Совместим полученное решение с ОДЗ $x \in (0, 1) \cup (1, \infty)$.
Так как $1 = \sqrt[10]{1} < \sqrt[10]{10}$, то решение $x < \sqrt[10]{10}$ с учетом ОДЗ дает нам два интервала: $(0, 1)$ и $(1, \sqrt[10]{10})$.
Ответ: $x \in (0, 1) \cup (1, \sqrt[10]{10})$.

3) Исходное неравенство: $x^3 > 2^{15\log_{2\sqrt{2}} 3} \cdot 3^{\frac{1}{\log_{\sqrt{2}} 3}}$.
При прямом вычислении правая часть этого неравенства приводит к сложному иррациональному числу. Вероятно, в условии задачи есть опечатка. Наиболее вероятная опечатка, приводящая к простому целочисленному ответу, это замена аргументов логарифмов. Предположим, что неравенство должно было выглядеть так: $x^3 > 2^{15\log_{2\sqrt{2}} \sqrt[5]{2}} \cdot 3^{\frac{1}{\log_{\sqrt{2}} \sqrt{3}}}$.
Упростим правую часть предполагаемого неравенства.
Первый множитель: $2^{15\log_{2\sqrt{2}} \sqrt[5]{2}}$.
Преобразуем основание логарифма: $2\sqrt{2} = 2^1 \cdot 2^{1/2} = 2^{3/2}$.
Аргумент логарифма: $\sqrt[5]{2} = 2^{1/5}$.
$\log_{2\sqrt{2}} \sqrt[5]{2} = \log_{2^{3/2}} 2^{1/5} = \frac{1/5}{3/2} \log_2 2 = \frac{1}{5} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{15}$.
Тогда первый множитель равен: $2^{15 \cdot \frac{2}{15}} = 2^2 = 4$.
Второй множитель: $3^{\frac{1}{\log_{\sqrt{2}} \sqrt{3}}}$.
Используем свойство $\frac{1}{\log_a b} = \log_b a$: $\frac{1}{\log_{\sqrt{2}} \sqrt{3}} = \log_{\sqrt{3}} \sqrt{2}$.
Тогда второй множитель равен: $3^{\log_{\sqrt{3}} \sqrt{2}} = (\sqrt{3}^2)^{\log_{\sqrt{3}} \sqrt{2}} = \sqrt{3}^{2\log_{\sqrt{3}} \sqrt{2}} = \sqrt{3}^{\log_{\sqrt{3}} (\sqrt{2})^2} = (\sqrt{2})^2 = 2$.
Правая часть неравенства равна $4 \cdot 2 = 8$.
Неравенство принимает вид: $x^3 > 8$.
$x^3 > 2^3$.
Так как функция $y=t^3$ возрастающая, получаем $x > 2$.
Примечание: Если решать задачу в исходном виде, ответ получается громоздким.
Ответ: $x \in (2, \infty)$.

4) Исходное неравенство: $x^{-64\log_5^3 x + 5\log_5 x^4} \le (\frac{1}{5})^{2+\log_{0.5} 8}$.
ОДЗ: $x > 0$.
Упростим правую часть. Вычислим логарифм: $\log_{0.5} 8 = \log_{1/2} 8 = \log_{2^{-1}} 2^3 = \frac{3}{-1}\log_2 2 = -3$.
Правая часть: $(\frac{1}{5})^{2-3} = (\frac{1}{5})^{-1} = 5 = 5^1$.
Упростим показатель степени в левой части: $5\log_5 x^4 = 5 \cdot 4\log_5 x = 20\log_5 x$.
Неравенство принимает вид: $x^{-64\log_5^3 x + 20\log_5 x} \le 5$.
Прологарифмируем обе части неравенства по основанию 5. Так как $5 > 1$, знак неравенства сохраняется:
$\log_5(x^{-64\log_5^3 x + 20\log_5 x}) \le \log_5 5$
$(-64\log_5^3 x + 20\log_5 x) \cdot \log_5 x \le 1$.
Сделаем замену $y = \log_5 x$:
$(-64y^3 + 20y)y \le 1$
$-64y^4 + 20y^2 - 1 \le 0$
$64y^4 - 20y^2 + 1 \ge 0$.
Это биквадратное неравенство. Сделаем замену $t = y^2$ ($t \ge 0$):
$64t^2 - 20t + 1 \ge 0$.
Найдем корни квадратного уравнения $64t^2 - 20t + 1 = 0$.
Дискриминант $D = (-20)^2 - 4 \cdot 64 \cdot 1 = 400 - 256 = 144 = 12^2$.
$t_{1,2} = \frac{20 \pm 12}{2 \cdot 64} = \frac{20 \pm 12}{128}$.
$t_1 = \frac{8}{128} = \frac{1}{16}$, $t_2 = \frac{32}{128} = \frac{1}{4}$.
Парабола $f(t) = 64t^2 - 20t + 1$ ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется при $t \le \frac{1}{16}$ или $t \ge \frac{1}{4}$.
Возвращаемся к замене $t = y^2$. Так как $y^2 \ge 0$, получаем: $0 \le y^2 \le \frac{1}{16}$ или $y^2 \ge \frac{1}{4}$.
Из $y^2 \le \frac{1}{16}$ следует $-\frac{1}{4} \le y \le \frac{1}{4}$.
Из $y^2 \ge \frac{1}{4}$ следует $y \le -\frac{1}{2}$ или $y \ge \frac{1}{2}$.
Возвращаемся к замене $y = \log_5 x$:
1) $\log_5 x \le -\frac{1}{2} \Rightarrow 0 < x \le 5^{-1/2} \Rightarrow 0 < x \le \frac{1}{\sqrt{5}}$.
2) $-\frac{1}{4} \le \log_5 x \le \frac{1}{4} \Rightarrow 5^{-1/4} \le x \le 5^{1/4} \Rightarrow \frac{1}{\sqrt[4]{5}} \le x \le \sqrt[4]{5}$.
3) $\log_5 x \ge \frac{1}{2} \Rightarrow x \ge 5^{1/2} \Rightarrow x \ge \sqrt{5}$.
Объединяя все полученные решения, получаем итоговый ответ.
Ответ: $x \in (0, \frac{1}{\sqrt{5}}] \cup [\frac{1}{\sqrt[4]{5}}, \sqrt[4]{5}] \cup [\sqrt{5}, \infty)$.

5) Исходное неравенство: $x \cdot \log_2 x - \frac{4}{\log_x 2} < 0$.
ОДЗ: $x > 0$ и $x \neq 1$.
Используем формулу перехода к новому основанию для логарифма: $\frac{1}{\log_x 2} = \log_2 x$.
Неравенство принимает вид:
$x \log_2 x - 4 \log_2 x < 0$.
Вынесем общий множитель $\log_2 x$ за скобки:
$(x - 4)\log_2 x < 0$.
Решим неравенство методом интервалов. Найдем точки, в которых множители меняют знак:
$x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4$.
$\log_2 x = 0 \Rightarrow x = 1$.
Эти точки разбивают ОДЗ на интервалы $(0, 1)$, $(1, 4)$, $(4, \infty)$.
Рассмотрим знаки произведения на каждом интервале:
При $x \in (4, \infty)$: $x-4 > 0$ и $\log_2 x > 0$, произведение положительно.
При $x \in (1, 4)$: $x-4 < 0$ и $\log_2 x > 0$, произведение отрицательно. Этот интервал является решением.
При $x \in (0, 1)$: $x-4 < 0$ и $\log_2 x < 0$, произведение положительно.
Ответ: $x \in (1, 4)$.

6) Исходное неравенство: $x \cdot \log_5 x < \frac{5-x}{\log_x 5}$.
ОДЗ: $x > 0$ и $x \neq 1$.
Используем свойство $\frac{1}{\log_x 5} = \log_5 x$.
Неравенство преобразуется к виду:
$x \log_5 x < (5-x)\log_5 x$.
Перенесем все члены в левую часть:
$x \log_5 x - (5-x)\log_5 x < 0$.
Вынесем $\log_5 x$ за скобки:
$(x - (5 - x))\log_5 x < 0$
$(x - 5 + x)\log_5 x < 0$
$(2x - 5)\log_5 x < 0$.
Решим это неравенство методом интервалов. Точки смены знака множителей:
$2x - 5 = 0 \Rightarrow x = 2,5$.
$\log_5 x = 0 \Rightarrow x = 1$.
Эти точки разбивают ОДЗ на интервалы $(0, 1)$, $(1; 2,5)$, $(2,5; \infty)$.
Рассмотрим знаки на интервалах:
При $x \in (2,5; \infty)$: $2x-5 > 0$ и $\log_5 x > 0$, произведение положительно.
При $x \in (1; 2,5)$: $2x-5 < 0$ и $\log_5 x > 0$, произведение отрицательно. Этот интервал является решением.
При $x \in (0, 1)$: $2x-5 < 0$ и $\log_5 x < 0$, произведение положительно.
Ответ: $x \in (1; 2,5)$.

1) Найдем область определения функции $f(x) = \lg(4 - x^2) + \sqrt{\frac{1 + \lg^2 x}{\lg x^2} - 1}$.

Область определения функции есть пересечение областей определения ее слагаемых. Для того чтобы функция была определена, должны одновременно выполняться следующие условия:

1. Аргумент логарифма $\lg(4 - x^2)$ должен быть строго положительным:
$4 - x^2 > 0$
$x^2 < 4$
$-2 < x < 2$, то есть $x \in (-2, 2)$.

2. Аргументы логарифмов в другом слагаемом также должны быть положительны, а знаменатель не должен быть равен нулю:
Из $\lg x$ следует, что $x > 0$.
Из знаменателя $\lg x^2$ следует, что $x^2 \neq 1$, то есть $x \neq \pm 1$. С учетом $x > 0$, получаем $x \neq 1$.

3. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:
$\frac{1 + \lg^2 x}{\lg x^2} - 1 \ge 0$
Используя свойство логарифма $\lg x^2 = 2 \lg x$, преобразуем неравенство:
$\frac{1 + \lg^2 x}{2 \lg x} - 1 \ge 0$
Приведем к общему знаменателю:
$\frac{1 + \lg^2 x - 2 \lg x}{2 \lg x} \ge 0$
$\frac{(\lg x - 1)^2}{2 \lg x} \ge 0$
Числитель $(\lg x - 1)^2$ всегда неотрицателен. Так как знаменатель не может быть равен нулю, то $\lg x \neq 0$, что означает $x \neq 1$. Для того чтобы дробь была неотрицательной, необходимо, чтобы знаменатель был положительным (так как числитель неотрицателен).
$2 \lg x > 0$
$\lg x > 0$
$x > 10^0$
$x > 1$.

Теперь найдем пересечение всех полученных условий:

• $x \in (-2, 2)$
• $x > 0$
• $x \neq 1$
• $x > 1$

Ответ: $x \in (1, 2)$.

2) Найдем область определения функции $f(x) = \sqrt{\log_{\frac{1}{3}} \log_3 (x - 3)} + \sqrt{x^2 - 25}$.

Область определения функции есть пересечение областей определения двух слагаемых, содержащих квадратные корни. Для этого необходимо, чтобы подкоренные выражения были неотрицательны. Запишем систему неравенств:

$\begin{cases} \log_{\frac{1}{3}} (\log_3 (x - 3)) \ge 0, \\ x^2 - 25 \ge 0. \end{cases}$

Решим второе неравенство:
$x^2 - 25 \ge 0$
$(x - 5)(x + 5) \ge 0$
$x \in (-\infty, -5] \cup [5, +\infty)$.

Теперь решим первое неравенство. Оно, в свою очередь, накладывает дополнительные ограничения на аргументы логарифмов.
а) Аргумент внутреннего логарифма должен быть положителен:
$x - 3 > 0 \implies x > 3$.
б) Аргумент внешнего логарифма также должен быть положителен:
$\log_3(x - 3) > 0$
$\log_3(x - 3) > \log_3(1)$
Так как основание $3 > 1$, знак неравенства сохраняется:
$x - 3 > 1 \implies x > 4$.
в) Решим само неравенство:
$\log_{\frac{1}{3}} (\log_3 (x - 3)) \ge 0$
Представим 0 как логарифм с тем же основанием: $0 = \log_{\frac{1}{3}}(1)$.
$\log_{\frac{1}{3}} (\log_3 (x - 3)) \ge \log_{\frac{1}{3}}(1)$
Так как основание логарифма $\frac{1}{3} < 1$, знак неравенства меняется на противоположный:
$\log_3(x - 3) \le 1$
Представим 1 как логарифм: $1 = \log_3(3)$.
$\log_3(x - 3) \le \log_3(3)$
Так как основание $3 > 1$, знак неравенства сохраняется:
$x - 3 \le 3 \implies x \le 6$.

Теперь найдем пересечение всех полученных условий:

• $x \in (-\infty, -5] \cup [5, +\infty)$
• $x > 4$
• $x \le 6$

Таким образом, область определения функции: $x \in [5, 6]$.

Ответ: $x \in [5, 6]$.

1)

Найдем область определения функции $f(x) = \frac{15+x^2}{\sqrt{\log_{\frac{1}{4}}(5x - x^2) - 1}}$.

Область определения функции (ОДЗ) находится из условий, что:

1. Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $5x - x^2 > 0$.

2. Выражение под знаком квадратного корня, находящегося в знаменателе, должно быть строго положительным: $\log_{\frac{1}{4}}(5x - x^2) - 1 > 0$.

Объединим эти условия в систему:

$\begin{cases} 5x - x^2 > 0 \\ \log_{\frac{1}{4}}(5x - x^2) - 1 > 0 \end{cases}$

Заметим, что если выполнено второе неравенство, то первое также будет выполнено, так как если $\log_{\frac{1}{4}}(A) > 1$, то $A$ должно быть положительным. Однако, для полноты решения решим оба неравенства.

Решим первое неравенство: $5x - x^2 > 0 \iff x(5-x) > 0$.

Корнями уравнения $x(5-x)=0$ являются $x_1=0$ и $x_2=5$. Графиком функции $y=5x-x^2$ является парабола с ветвями вниз, поэтому неравенство $>0$ выполняется на интервале между корнями: $x \in (0, 5)$.

Решим второе неравенство: $\log_{\frac{1}{4}}(5x - x^2) > 1$.

Представим правую часть в виде логарифма с тем же основанием: $1 = \log_{\frac{1}{4}}(\frac{1}{4})$.

Получаем неравенство: $\log_{\frac{1}{4}}(5x - x^2) > \log_{\frac{1}{4}}(\frac{1}{4})$.

Так как основание логарифма $a = \frac{1}{4}$ находится в интервале $(0, 1)$, логарифмическая функция является убывающей. Поэтому при переходе к сравнению аргументов знак неравенства необходимо изменить на противоположный:

$5x - x^2 < \frac{1}{4}$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное неравенство: $x^2 - 5x + \frac{1}{4} > 0$.

Для удобства умножим обе части на 4: $4x^2 - 20x + 1 > 0$.

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $4x^2 - 20x + 1 = 0$ через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-20)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 400 - 16 = 384$.

$\sqrt{D} = \sqrt{384} = \sqrt{64 \cdot 6} = 8\sqrt{6}$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{20 \pm 8\sqrt{6}}{8} = \frac{5 \pm 2\sqrt{6}}{2}$.

Так как графиком функции $y=4x^2 - 20x + 1$ является парабола с ветвями вверх, неравенство $>0$ выполняется за пределами корней:

$x \in (-\infty, \frac{5 - 2\sqrt{6}}{2}) \cup (\frac{5 + 2\sqrt{6}}{2}, +\infty)$.

Теперь найдем пересечение решений двух неравенств: $x \in (0, 5)$ и $x \in (-\infty, \frac{5 - 2\sqrt{6}}{2}) \cup (\frac{5 + 2\sqrt{6}}{2}, +\infty)$.

Оценим положение корней на числовой оси. Так как $2.4 < \sqrt{6} < 2.5$, то $4.8 < 2\sqrt{6} < 5$.

$x_1 = \frac{5 - 2\sqrt{6}}{2}$: $0 < 5 - 2\sqrt{6} < 0.2$, следовательно $0 < x_1 < 0.1$.

$x_2 = \frac{5 + 2\sqrt{6}}{2}$: $9.8 < 5 + 2\sqrt{6} < 10$, следовательно $4.9 < x_2 < 5$.

Оба корня лежат внутри интервала $(0, 5)$.

Таким образом, пересечение множеств дает нам область определения:

$(0, \frac{5 - 2\sqrt{6}}{2}) \cup (\frac{5 + 2\sqrt{6}}{2}, 5)$.

Ответ: $x \in (0, \frac{5 - 2\sqrt{6}}{2}) \cup (\frac{5 + 2\sqrt{6}}{2}, 5)$.

2)

Найдем область определения функции $f(x) = \frac{\sqrt{17 - 15x - 2x^2}}{\log_x(x+3)}$.

Область определения функции (ОДЗ) определяется следующей системой условий:

1. Подкоренное выражение должно быть неотрицательно: $17 - 15x - 2x^2 \ge 0$.

2. Знаменатель не должен быть равен нулю: $\log_x(x+3) \neq 0$.

3. Аргумент логарифма должен быть строго положителен: $x+3 > 0$.

4. Основание логарифма должно быть положительным и не равным единице: $x > 0$ и $x \neq 1$.

Запишем это в виде системы:

$\begin{cases} 17 - 15x - 2x^2 \ge 0 \\ \log_x(x+3) \neq 0 \\ x+3 > 0 \\ x > 0 \\ x \neq 1 \end{cases}$

Решим каждое условие по отдельности.

1. Решим неравенство $17 - 15x - 2x^2 \ge 0$. Умножим его на -1, изменив знак неравенства: $2x^2 + 15x - 17 \le 0$.

Найдем корни квадратного уравнения $2x^2 + 15x - 17 = 0$. Так как сумма коэффициентов $2+15-17=0$, то один из корней $x_1 = 1$. Второй корень, согласно теореме Виета, равен $x_2 = c/a = -17/2 = -8.5$.

Графиком функции $y = 2x^2 + 15x - 17$ является парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство $\le 0$ выполняется на отрезке между корнями: $x \in [-8.5, 1]$.

2. Решим условие $\log_x(x+3) \neq 0$. Это эквивалентно тому, что $x+3 \neq x^0$, то есть $x+3 \neq 1$, откуда получаем $x \neq -2$.

3. Решим неравенство $x+3 > 0$, откуда следует $x > -3$.

4. Условие на основание логарифма: $x > 0$ и $x \neq 1$.

Теперь объединим все условия и найдем их пересечение. Условия $x > -3$, $x > 0$ и $x \neq 1$ можно объединить в одно: $x \in (0, 1) \cup (1, \infty)$.

Условие $x \neq -2$ выполняется автоматически для $x > 0$.

Остается найти пересечение множеств $x \in (0, 1) \cup (1, \infty)$ и $x \in [-8.5, 1]$.

Пересечение множества $(0, 1) \cup (1, \infty)$ с отрезком $[-8.5, 1]$ дает в результате интервал $(0, 1)$.

Таким образом, область определения исходной функции - это интервал $(0, 1)$.

Ответ: $x \in (0, 1)$.