Страница 147 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) $ \log_{2x+3} \frac{1}{4} + 2 = 0 $

Первым шагом перенесем 2 в правую часть уравнения:
$ \log_{2x+3} \frac{1}{4} = -2 $
Теперь воспользуемся определением логарифма $ \log_a b = c \Leftrightarrow a^c = b $:
$ (2x+3)^{-2} = \frac{1}{4} $
Преобразуем левую часть уравнения:
$ \frac{1}{(2x+3)^2} = \frac{1}{4} $
Отсюда следует, что знаменатели равны:
$ (2x+3)^2 = 4 $
Извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения, получая два возможных случая:
1) $ 2x+3 = 2 \Rightarrow 2x = -1 \Rightarrow x = -0.5 $
2) $ 2x+3 = -2 \Rightarrow 2x = -5 \Rightarrow x = -2.5 $
Теперь необходимо проверить найденные корни на соответствие области допустимых значений (ОДЗ) для логарифма. Основание логарифма должно быть больше нуля и не равно единице:
$ 2x+3 > 0 \Rightarrow 2x > -3 \Rightarrow x > -1.5 $
$ 2x+3 \neq 1 \Rightarrow 2x \neq -2 \Rightarrow x \neq -1 $
Проверяем корни:
$ x_1 = -0.5 $. Этот корень удовлетворяет условиям $ -0.5 > -1.5 $ и $ -0.5 \neq -1 $.
$ x_2 = -2.5 $. Этот корень не удовлетворяет условию $ x > -1.5 $, так как $ -2.5 < -1.5 $. Следовательно, это посторонний корень.
Таким образом, решением уравнения является только $ x = -0.5 $.
Ответ: -0.5

2) $ \log_{\frac{2x-1}{x+2}} 3 - 1 = 0 $

Перенесем 1 в правую часть уравнения:
$ \log_{\frac{2x-1}{x+2}} 3 = 1 $
По определению логарифма, если $ \log_a b = 1 $, то $ a = b $ (при условии, что $ a > 0 $ и $ a \neq 1 $).
$ \frac{2x-1}{x+2} = 3 $
Найдем ОДЗ. Основание логарифма должно быть больше нуля и не равно единице:
$ \frac{2x-1}{x+2} > 0 $ и $ \frac{2x-1}{x+2} \neq 1 $.
Так как мы приравняли основание к 3, оба условия ($ 3 > 0 $ и $ 3 \neq 1 $) выполняются автоматически. Остается решить уравнение, убедившись, что знаменатель не равен нулю.
$ 2x-1 = 3(x+2) $, при $ x+2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -2 $.
$ 2x-1 = 3x+6 $
$ 2x-3x = 6+1 $
$ -x = 7 $
$ x = -7 $
Проверим, не обращается ли знаменатель в ноль при $ x=-7 $: $ -7+2 = -5 \neq 0 $.
Проверим значение основания при $ x=-7 $:
$ \frac{2(-7)-1}{-7+2} = \frac{-14-1}{-5} = \frac{-15}{-5} = 3 $.
Основание равно 3, что удовлетворяет условиям ОДЗ ($ 3 > 0 $ и $ 3 \neq 1 $).

Ответ: -7

3) $ \log_{\sqrt{6-x}} 3 - 2 = 0 $

Перенесем 2 в правую часть:
$ \log_{\sqrt{6-x}} 3 = 2 $
По определению логарифма:
$ (\sqrt{6-x})^2 = 3 $
$ 6-x = 3 $
$ x = 6 - 3 $
$ x = 3 $
Проверим ОДЗ. Основание логарифма $ \sqrt{6-x} $ должно быть больше нуля и не равно единице.
1) $ \sqrt{6-x} > 0 \Rightarrow 6-x > 0 \Rightarrow x < 6 $
2) $ \sqrt{6-x} \neq 1 \Rightarrow 6-x \neq 1 \Rightarrow x \neq 5 $
Найденный корень $ x = 3 $ удовлетворяет обоим условиям ($ 3 < 6 $ и $ 3 \neq 5 $).

Ответ: 3

4) $ \log_{\frac{1}{\sqrt{x+2}}} 5 + 2 = 0 $

Переносим 2 в правую часть уравнения:
$ \log_{\frac{1}{\sqrt{x+2}}} 5 = -2 $
По определению логарифма:
$ \left(\frac{1}{\sqrt{x+2}}\right)^{-2} = 5 $
Преобразуем левую часть:
$ (\sqrt{x+2})^2 = 5 $
$ x+2 = 5 $
$ x = 5-2 $
$ x = 3 $
Проверим ОДЗ. Основание логарифма $ \frac{1}{\sqrt{x+2}} $ должно быть больше нуля и не равно единице.
1) $ \frac{1}{\sqrt{x+2}} > 0 $. Это условие выполняется, если подкоренное выражение строго больше нуля: $ x+2 > 0 \Rightarrow x > -2 $.
2) $ \frac{1}{\sqrt{x+2}} \neq 1 \Rightarrow \sqrt{x+2} \neq 1 \Rightarrow x+2 \neq 1 \Rightarrow x \neq -1 $
Найденный корень $ x=3 $ удовлетворяет обоим условиям ОДЗ ($ 3 > -2 $ и $ 3 \neq -1 $).

Ответ: 3

1) Исходное уравнение: $4^{\log_8(2x-2)} \cdot 0.5^{\log_8(2x-2)} = \sqrt[3]{16}$.
Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля: $2x - 2 > 0$, откуда $2x > 2$, и $x > 1$.
Преобразуем левую часть уравнения, используя свойство степеней $a^c \cdot b^c = (ab)^c$: $(4 \cdot 0.5)^{\log_8(2x-2)} = 2^{\log_8(2x-2)}$.
Преобразуем правую часть уравнения: $\sqrt[3]{16} = \sqrt[3]{2^4} = 2^{4/3}$.
Получаем уравнение: $2^{\log_8(2x-2)} = 2^{4/3}$.
Так как основания степеней равны, приравниваем показатели: $\log_8(2x-2) = \frac{4}{3}$.
По определению логарифма: $2x-2 = 8^{4/3}$.
Вычисляем правую часть: $8^{4/3} = (\sqrt[3]{8})^4 = 2^4 = 16$.
Решаем линейное уравнение: $2x - 2 = 16$, $2x = 18$, $x = 9$.
Корень $x=9$ удовлетворяет ОДЗ ($9 > 1$).
Ответ: $9$.

2) Исходное уравнение: $\log_x \sqrt{5} + \log_x (5x) - \frac{9}{4} = (\log_x \sqrt{5})^2$.
ОДЗ: основание логарифма $x > 0$ и $x \ne 1$.
Преобразуем уравнение, используя свойства логарифмов $\log_a b^c = c \log_a b$ и $\log_a (bc) = \log_a b + \log_a c$: $\log_x 5^{1/2} + (\log_x 5 + \log_x x) - \frac{9}{4} = (\log_x 5^{1/2})^2$.
$\frac{1}{2}\log_x 5 + \log_x 5 + 1 - \frac{9}{4} = (\frac{1}{2}\log_x 5)^2$.
Введем замену $t = \log_x 5$. Уравнение примет вид: $\frac{1}{2}t + t + 1 - \frac{9}{4} = (\frac{1}{2}t)^2$.
$\frac{3}{2}t - \frac{5}{4} = \frac{1}{4}t^2$.
Умножим обе части на 4, чтобы избавиться от дробей: $6t - 5 = t^2$.
$t^2 - 6t + 5 = 0$.
Решаем квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $t_1 = 1$ и $t_2 = 5$.
Выполним обратную замену: 1. Если $t=1$, то $\log_x 5 = 1$, откуда $x^1 = 5$, $x=5$. 2. Если $t=5$, то $\log_x 5 = 5$, откуда $x^5 = 5$, $x=\sqrt[5]{5}$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$ и $x \ne 1$).
Ответ: $5; \sqrt[5]{5}$.

3) Исходное уравнение: $\log_{x+4}(x^4 + x^2 + 2x)\log_{x+1}(x+4) = 2$.
ОДЗ: 1. Основания логарифмов больше 0 и не равны 1: $x+4 > 0 \implies x > -4$; $x+4 \ne 1 \implies x \ne -3$; $x+1 > 0 \implies x > -1$; $x+1 \ne 1 \implies x \ne 0$. 2. Аргументы логарифмов больше 0: $x^4 + x^2 + 2x > 0 \implies x(x^3+x+2) > 0$. Разложив $x^3+x+2$ на множители, получим $x(x+1)(x^2-x+2) > 0$. Так как $x^2-x+2 > 0$ для всех $x$, то $x(x+1)>0$, что верно при $x \in (-\infty, -1) \cup (0, \infty)$. Объединяя все условия, получаем ОДЗ: $x > 0$.
Используем формулу перехода к новому основанию $\log_a b = \frac{1}{\log_b a}$: $\log_{x+1}(x+4) = \frac{1}{\log_{x+4}(x+1)}$.
Подставим в уравнение: $\log_{x+4}(x^4 + x^2 + 2x) \cdot \frac{1}{\log_{x+4}(x+1)} = 2$.
$\frac{\log_{x+4}(x^4 + x^2 + 2x)}{\log_{x+4}(x+1)} = 2$.
По формуле $\frac{\log_c a}{\log_c b} = \log_b a$, получаем: $\log_{x+1}(x^4 + x^2 + 2x) = 2$.
По определению логарифма: $x^4 + x^2 + 2x = (x+1)^2$.
$x^4 + x^2 + 2x = x^2 + 2x + 1$.
$x^4 = 1$.
$x^4 - 1 = 0$.
$(x^2-1)(x^2+1)=0$.
$(x-1)(x+1)(x^2+1)=0$.
Действительные корни: $x=1$ и $x=-1$.
Проверяем по ОДЗ ($x>0$). Корень $x=1$ подходит, а $x=-1$ - нет.
Ответ: $1$.

4) Исходное уравнение: $(x+1)^{\log_3(x-2)} + 2(x-2)^{\log_3(x+1)} = 3x^2+6x+3$.
ОДЗ: 1. Аргументы логарифмов больше 0: $x-2 > 0 \implies x > 2$; $x+1 > 0 \implies x > -1$. 2. Основания степеней с иррациональными показателями должны быть положительны: $x+1 > 0$ и $x-2 > 0$. Общее ОДЗ: $x > 2$.
Используем свойство $a^{\log_b c} = c^{\log_b a}$: $(x+1)^{\log_3(x-2)} = (x-2)^{\log_3(x+1)}$.
Подставим это в уравнение: $(x-2)^{\log_3(x+1)} + 2(x-2)^{\log_3(x+1)} = 3x^2+6x+3$.
$3(x-2)^{\log_3(x+1)} = 3(x^2+2x+1)$.
$3(x-2)^{\log_3(x+1)} = 3(x+1)^2$.
Разделим обе части на 3: $(x-2)^{\log_3(x+1)} = (x+1)^2$.
Прологарифмируем обе части по основанию 3: $\log_3\left((x-2)^{\log_3(x+1)}\right) = \log_3\left((x+1)^2\right)$.
Используя свойство логарифма $\log_b (a^c) = c \log_b a$: $\log_3(x+1) \cdot \log_3(x-2) = 2\log_3(x+1)$.
Перенесем все в одну часть и вынесем общий множитель: $\log_3(x+1) \cdot \log_3(x-2) - 2\log_3(x+1) = 0$.
$\log_3(x+1)(\log_3(x-2) - 2) = 0$.
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю: 1. $\log_3(x+1) = 0 \implies x+1 = 3^0 \implies x+1=1 \implies x=0$. 2. $\log_3(x-2) - 2 = 0 \implies \log_3(x-2) = 2 \implies x-2 = 3^2 \implies x-2=9 \implies x=11$.
Проверяем корни по ОДЗ ($x > 2$). Корень $x=0$ не подходит. Корень $x=11$ подходит.
Ответ: $11$.

1)

Решим систему уравнений:

$\begin{cases}\log_8(x+y) + \log_8(7-y) = 1 + \log_8 5, \\2^{\log_2(x-y)} = 4.\end{cases}$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ), при которых выражения в уравнениях имеют смысл. Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

$\begin{cases}x+y > 0, \\7-y > 0 \implies y < 7, \\x-y > 0 \implies x > y.\end{cases}$

Рассмотрим второе уравнение системы. Используя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$, получаем:

$2^{\log_2(x-y)} = 4 \implies x-y = 4$.

Теперь преобразуем первое уравнение. Представим $1$ как $\log_8 8$ и воспользуемся свойством суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a(bc)$:

$\log_8(x+y) + \log_8(7-y) = \log_8 8 + \log_8 5$

$\log_8((x+y)(7-y)) = \log_8(8 \cdot 5)$

$\log_8((x+y)(7-y)) = \log_8(40)$

Так как основания логарифмов одинаковы, мы можем приравнять их аргументы:

$(x+y)(7-y) = 40$.

Теперь мы имеем более простую систему для решения:

$\begin{cases}x-y = 4, \\(x+y)(7-y) = 40.\end{cases}$

Из первого уравнения выразим $x$: $x = 4+y$.

Подставим это выражение для $x$ во второе уравнение:

$((4+y)+y)(7-y) = 40$

$(4+2y)(7-y) = 40$

Раскроем скобки: $28 - 4y + 14y - 2y^2 = 40$

Приведем подобные члены: $-2y^2 + 10y + 28 = 40$

Перенесем все в левую часть: $-2y^2 + 10y - 12 = 0$

Разделим все уравнение на $-2$ для упрощения: $y^2 - 5y + 6 = 0$.

Это приведенное квадратное уравнение. Его корни легко найти, например, по теореме Виета: $y_1 = 2$ и $y_2 = 3$.

Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого значения $y$:

1. Если $y_1 = 2$, то $x_1 = 4+2 = 6$. Получаем решение $(6, 2)$.

2. Если $y_2 = 3$, то $x_2 = 4+3 = 7$. Получаем решение $(7, 3)$.

Проверим оба решения на соответствие ОДЗ:

Для пары $(6, 2)$: $x+y = 6+2 = 8 > 0$ (верно), $y = 2 < 7$ (верно), $x > y \implies 6 > 2$ (верно). Решение подходит.

Для пары $(7, 3)$: $x+y = 7+3 = 10 > 0$ (верно), $y = 3 < 7$ (верно), $x > y \implies 7 > 3$ (верно). Решение также подходит.

Ответ: $(6, 2), (7, 3)$.

2)

Решим систему уравнений:

$\begin{cases}3^{\log_3(3y-x+24)} = 27, \\\log_2(2x-2y) - \log_2(5-y^2) = 1.\end{cases}$

Определим ОДЗ:

$\begin{cases}3y-x+24 > 0, \\2x-2y > 0 \implies x-y > 0 \implies x > y, \\5-y^2 > 0 \implies y^2 < 5 \implies -\sqrt{5} < y < \sqrt{5}.\end{cases}$

Упростим первое уравнение, используя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$:

$3^{\log_3(3y-x+24)} = 27 \implies 3y-x+24 = 27$

$3y-x = 3$.

Упростим второе уравнение, используя свойство разности логарифмов $\log_a b - \log_a c = \log_a(b/c)$:

$\log_2\left(\frac{2x-2y}{5-y^2}\right) = 1$.

По определению логарифма, это эквивалентно:

$\frac{2x-2y}{5-y^2} = 2^1$

$\frac{2(x-y)}{5-y^2} = 2$.

Так как из ОДЗ следует, что $x-y \neq 0$, мы можем разделить обе части на 2:

$\frac{x-y}{5-y^2} = 1 \implies x-y = 5-y^2$.

Мы получили систему из двух уравнений:

$\begin{cases}3y-x = 3, \\x-y = 5-y^2.\end{cases}$

Из первого уравнения выразим $x$: $x = 3y-3$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$(3y-3) - y = 5-y^2$

$2y-3 = 5-y^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$y^2 + 2y - 8 = 0$.

Решим это уравнение. По теореме Виета, корни $y_1 = -4$ и $y_2 = 2$.

Найдем соответствующие значения $x$:

1. Если $y_1 = -4$, то $x_1 = 3(-4)-3 = -12-3 = -15$. Получаем пару $(-15, -4)$.

2. Если $y_2 = 2$, то $x_2 = 3(2)-3 = 6-3 = 3$. Получаем пару $(3, 2)$.

Проверим найденные решения на соответствие ОДЗ:

Для пары $(-15, -4)$: проверяем условие $-\sqrt{5} < y < \sqrt{5}$. Так как $\sqrt{5} \approx 2.236$, это означает $-2.236 < y < 2.236$. Значение $y = -4$ не входит в этот интервал. Следовательно, это посторонний корень.

Для пары $(3, 2)$: проверяем условия. $x > y \implies 3 > 2$ (верно). $-\sqrt{5} < y < \sqrt{5} \implies -2.236 < 2 < 2.236$ (верно). $3y-x+24 = 3(2)-3+24 = 6-3+24 = 27 > 0$ (верно). Все условия выполнены.

Таким образом, система имеет единственное решение.

Ответ: $(3, 2)$.

1)Решим систему уравнений. (Примечание: в первом уравнении исходного задания, вероятно, допущена опечатка. Решение приведено для наиболее вероятного корректного вида уравнения, так как в исходном виде задача не решается стандартными методами.)
$\begin{cases} \log_2^2 y + \log_2 x \log_2 y - 2 \log_2^2 x = 0, \\ 9x^2y - xy^2 = 64; \end{cases}$
Область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$ и $y > 0$.
Рассмотрим первое уравнение. Это однородное уравнение относительно $\log_2 x$ и $\log_2 y$.
Пусть $a = \log_2 y$ и $b = \log_2 x$. Уравнение принимает вид:
$a^2 + ab - 2b^2 = 0$
Разложим левую часть на множители:
$a^2 + 2ab - ab - 2b^2 = 0$
$a(a+2b) - b(a+2b) = 0$
$(a-b)(a+2b) = 0$
Отсюда получаем два случая:
Случай 1: $a - b = 0 \implies a = b$.
Возвращаясь к исходным переменным:
$\log_2 y = \log_2 x \implies y = x$.
Подставим это соотношение во второе уравнение системы:
$9x^2(x) - x(x^2) = 64$
$9x^3 - x^3 = 64$
$8x^3 = 64$
$x^3 = 8$
$x = 2$.
Поскольку $y=x$, то $y=2$.
Получили решение $(2, 2)$. Проверим, удовлетворяет ли оно ОДЗ: $x=2>0, y=2>0$. Удовлетворяет.
Случай 2: $a + 2b = 0 \implies a = -2b$.
Возвращаясь к исходным переменным:
$\log_2 y = -2\log_2 x \implies \log_2 y = \log_2(x^{-2}) \implies y = \frac{1}{x^2}$.
Подставим это соотношение во второе уравнение системы:
$9x^2\left(\frac{1}{x^2}\right) - x\left(\frac{1}{x^2}\right)^2 = 64$
$9 - x\left(\frac{1}{x^4}\right) = 64$
$9 - \frac{1}{x^3} = 64$
$-\frac{1}{x^3} = 55$
$x^3 = -\frac{1}{55}$.
Так как $x$ должен быть положительным ($x>0$ по ОДЗ), то в этом случае действительных решений, удовлетворяющих ОДЗ, нет.
Таким образом, система имеет единственное решение.
Ответ: $(2, 2)$.

2)Решим систему уравнений:
$\begin{cases} 2 \log_3^2 x + \log_3 x \cdot \log_3 y - \log_3^2 y = 0, \\xy + \frac{x^2}{y} = 28.\end{cases}$
Область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$ и $y > 0$.
Рассмотрим первое уравнение. Это однородное уравнение относительно $\log_3 x$ и $\log_3 y$.
Пусть $a = \log_3 x$ и $b = \log_3 y$. Уравнение принимает вид:
$2a^2 + ab - b^2 = 0$
Разложим левую часть на множители:
$2a^2 + 2ab - ab - b^2 = 0$
$2a(a+b) - b(a+b) = 0$
$(2a-b)(a+b) = 0$
Отсюда получаем два случая:
Случай 1: $2a - b = 0 \implies b = 2a$.
Возвращаясь к исходным переменным:
$\log_3 y = 2\log_3 x \implies \log_3 y = \log_3(x^2) \implies y = x^2$.
Подставим это соотношение во второе уравнение системы:
$x(x^2) + \frac{x^2}{x^2} = 28$
$x^3 + 1 = 28$
$x^3 = 27$
$x = 3$.
Тогда $y = x^2 = 3^2 = 9$.
Получили решение $(3, 9)$. Проверим, удовлетворяет ли оно ОДЗ: $x=3>0, y=9>0$. Удовлетворяет.
Случай 2: $a + b = 0 \implies b = -a$.
Возвращаясь к исходным переменным:
$\log_3 y = -\log_3 x \implies \log_3 y = \log_3(x^{-1}) \implies y = \frac{1}{x}$.
Подставим это соотношение во второе уравнение системы:
$x\left(\frac{1}{x}\right) + \frac{x^2}{\frac{1}{x}} = 28$
$1 + x^3 = 28$
$x^3 = 27$
$x=3$.
Тогда $y = \frac{1}{x} = \frac{1}{3}$.
Получили решение $(3, 1/3)$. Проверим, удовлетворяет ли оно ОДЗ: $x=3>0, y=1/3>0$. Удовлетворяет.
Таким образом, система имеет два решения.
Ответ: $(3, 9), (3, 1/3)$.

1)

Дана система уравнений: $\begin{cases} \log_2 x + \log_4 y = 4, \\ \log_4 x + \log_2 y = 5 \end{cases}$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$, $y > 0$.

Приведем логарифмы к одному основанию, к основанию 2. Используем формулу перехода к новому основанию: $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$.

$\log_4 y = \frac{\log_2 y}{\log_2 4} = \frac{\log_2 y}{2} = \frac{1}{2}\log_2 y$.

$\log_4 x = \frac{\log_2 x}{\log_2 4} = \frac{\log_2 x}{2} = \frac{1}{2}\log_2 x$.

Подставим эти выражения в исходную систему:

$\begin{cases} \log_2 x + \frac{1}{2}\log_2 y = 4, \\ \frac{1}{2}\log_2 x + \log_2 y = 5 \end{cases}$

Сделаем замену переменных. Пусть $a = \log_2 x$ и $b = \log_2 y$. Система примет вид:

$\begin{cases} a + \frac{1}{2}b = 4, \\ \frac{1}{2}a + b = 5 \end{cases}$

Умножим оба уравнения на 2, чтобы избавиться от дробей:

$\begin{cases} 2a + b = 8, \\ a + 2b = 10 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $b$: $b = 8 - 2a$. Подставим во второе уравнение:

$a + 2(8 - 2a) = 10$

$a + 16 - 4a = 10$

$-3a = -6$

$a = 2$

Теперь найдем $b$: $b = 8 - 2a = 8 - 2(2) = 4$.

Вернемся к исходным переменным:

$a = \log_2 x = 2 \implies x = 2^2 = 4$.

$b = \log_2 y = 4 \implies y = 2^4 = 16$.

Найденные значения $x=4$ и $y=16$ удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $(4, 16)$.

2)

Дана система уравнений: $\begin{cases} \log_3 x + \log_9 y = 5, \\ 2\log_9 x - \log_3 y = -1 \end{cases}$

ОДЗ: $x > 0$, $y > 0$.

Приведем логарифмы к основанию 3:

$\log_9 y = \frac{\log_3 y}{\log_3 9} = \frac{\log_3 y}{2}$.

$\log_9 x = \frac{\log_3 x}{\log_3 9} = \frac{\log_3 x}{2}$.

Подставим в систему:

$\begin{cases} \log_3 x + \frac{1}{2}\log_3 y = 5, \\ 2\left(\frac{1}{2}\log_3 x\right) - \log_3 y = -1 \end{cases}$

$\begin{cases} \log_3 x + \frac{1}{2}\log_3 y = 5, \\ \log_3 x - \log_3 y = -1 \end{cases}$

Сделаем замену: $a = \log_3 x$, $b = \log_3 y$.

$\begin{cases} a + \frac{1}{2}b = 5, \\ a - b = -1 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $a$: $a = b - 1$. Подставим в первое уравнение:

$(b - 1) + \frac{1}{2}b = 5$

$\frac{3}{2}b = 6$

$b = 6 \cdot \frac{2}{3} = 4$

Найдем $a$: $a = b - 1 = 4 - 1 = 3$.

Вернемся к $x$ и $y$:

$a = \log_3 x = 3 \implies x = 3^3 = 27$.

$b = \log_3 y = 4 \implies y = 3^4 = 81$.

Значения $x=27$ и $y=81$ удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $(27, 81)$.

3)

Дана система уравнений: $\begin{cases} \log_4 x = y - 1, \\ x^{\frac{y}{6}} = 4 \end{cases}$

ОДЗ: $x > 0$.

Из первого уравнения по определению логарифма выразим $x$ через $y$:

$x = 4^{y-1}$

Подставим это выражение для $x$ во второе уравнение системы:

$(4^{y-1})^{\frac{y}{6}} = 4$

По свойству степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем:

$4^{(y-1)\frac{y}{6}} = 4^1$

Так как основания степеней равны, приравняем их показатели:

$(y-1)\frac{y}{6} = 1$

$y(y-1) = 6$

$y^2 - y - 6 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Корни уравнения $y_1 = 3$ и $y_2 = -2$.

Найдем соответствующие значения $x$ для каждого корня $y$.

1. Если $y = 3$, то $x = 4^{3-1} = 4^2 = 16$. Получили пару $(16, 3)$.

2. Если $y = -2$, то $x = 4^{-2-1} = 4^{-3} = \frac{1}{4^3} = \frac{1}{64}$. Получили пару $(\frac{1}{64}, -2)$.

Обе пары удовлетворяют исходной системе.

Ответ: $(16, 3)$, $(\frac{1}{64}, -2)$.

4)

Дана система уравнений: $\begin{cases} y^{\frac{1}{x}} = 10, \\ \lg y = \frac{1}{x} \end{cases}$

ОДЗ: $y > 0$, $x \neq 0$. (lg - это десятичный логарифм, $\log_{10}$)

Из второго уравнения по определению логарифма выразим $y$:

$\lg y = \frac{1}{x} \iff y = 10^{\frac{1}{x}}$

Подставим это выражение для $y$ в первое уравнение системы:

$(10^{\frac{1}{x}})^{\frac{1}{x}} = 10$

Используя свойство степени, получим:

$10^{\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}} = 10^1$

$10^{\frac{1}{x^2}} = 10^1$

Приравняем показатели степеней:

$\frac{1}{x^2} = 1$

$x^2 = 1$

Отсюда $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.

Найдем соответствующие значения $y$ для каждого $x$.

1. Если $x = 1$, то из второго уравнения $\lg y = \frac{1}{1} = 1$, откуда $y = 10^1 = 10$. Получили пару $(1, 10)$.

2. Если $x = -1$, то из второго уравнения $\lg y = \frac{1}{-1} = -1$, откуда $y = 10^{-1} = \frac{1}{10}$. Получили пару $(-1, \frac{1}{10})$.

Обе пары удовлетворяют исходной системе.

Ответ: $(1, 10)$, $(-1, \frac{1}{10})$.