Номер 306, страница 147 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) $ \log_{2x+3} \frac{1}{4} + 2 = 0 $

Первым шагом перенесем 2 в правую часть уравнения:
$ \log_{2x+3} \frac{1}{4} = -2 $
Теперь воспользуемся определением логарифма $ \log_a b = c \Leftrightarrow a^c = b $:
$ (2x+3)^{-2} = \frac{1}{4} $
Преобразуем левую часть уравнения:
$ \frac{1}{(2x+3)^2} = \frac{1}{4} $
Отсюда следует, что знаменатели равны:
$ (2x+3)^2 = 4 $
Извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения, получая два возможных случая:
1) $ 2x+3 = 2 \Rightarrow 2x = -1 \Rightarrow x = -0.5 $
2) $ 2x+3 = -2 \Rightarrow 2x = -5 \Rightarrow x = -2.5 $
Теперь необходимо проверить найденные корни на соответствие области допустимых значений (ОДЗ) для логарифма. Основание логарифма должно быть больше нуля и не равно единице:
$ 2x+3 > 0 \Rightarrow 2x > -3 \Rightarrow x > -1.5 $
$ 2x+3 \neq 1 \Rightarrow 2x \neq -2 \Rightarrow x \neq -1 $
Проверяем корни:
$ x_1 = -0.5 $. Этот корень удовлетворяет условиям $ -0.5 > -1.5 $ и $ -0.5 \neq -1 $.
$ x_2 = -2.5 $. Этот корень не удовлетворяет условию $ x > -1.5 $, так как $ -2.5 < -1.5 $. Следовательно, это посторонний корень.
Таким образом, решением уравнения является только $ x = -0.5 $.
Ответ: -0.5

2) $ \log_{\frac{2x-1}{x+2}} 3 - 1 = 0 $

Перенесем 1 в правую часть уравнения:
$ \log_{\frac{2x-1}{x+2}} 3 = 1 $
По определению логарифма, если $ \log_a b = 1 $, то $ a = b $ (при условии, что $ a > 0 $ и $ a \neq 1 $).
$ \frac{2x-1}{x+2} = 3 $
Найдем ОДЗ. Основание логарифма должно быть больше нуля и не равно единице:
$ \frac{2x-1}{x+2} > 0 $ и $ \frac{2x-1}{x+2} \neq 1 $.
Так как мы приравняли основание к 3, оба условия ($ 3 > 0 $ и $ 3 \neq 1 $) выполняются автоматически. Остается решить уравнение, убедившись, что знаменатель не равен нулю.
$ 2x-1 = 3(x+2) $, при $ x+2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -2 $.
$ 2x-1 = 3x+6 $
$ 2x-3x = 6+1 $
$ -x = 7 $
$ x = -7 $
Проверим, не обращается ли знаменатель в ноль при $ x=-7 $: $ -7+2 = -5 \neq 0 $.
Проверим значение основания при $ x=-7 $:
$ \frac{2(-7)-1}{-7+2} = \frac{-14-1}{-5} = \frac{-15}{-5} = 3 $.
Основание равно 3, что удовлетворяет условиям ОДЗ ($ 3 > 0 $ и $ 3 \neq 1 $).

Ответ: -7

3) $ \log_{\sqrt{6-x}} 3 - 2 = 0 $

Перенесем 2 в правую часть:
$ \log_{\sqrt{6-x}} 3 = 2 $
По определению логарифма:
$ (\sqrt{6-x})^2 = 3 $
$ 6-x = 3 $
$ x = 6 - 3 $
$ x = 3 $
Проверим ОДЗ. Основание логарифма $ \sqrt{6-x} $ должно быть больше нуля и не равно единице.
1) $ \sqrt{6-x} > 0 \Rightarrow 6-x > 0 \Rightarrow x < 6 $
2) $ \sqrt{6-x} \neq 1 \Rightarrow 6-x \neq 1 \Rightarrow x \neq 5 $
Найденный корень $ x = 3 $ удовлетворяет обоим условиям ($ 3 < 6 $ и $ 3 \neq 5 $).

Ответ: 3

4) $ \log_{\frac{1}{\sqrt{x+2}}} 5 + 2 = 0 $

Переносим 2 в правую часть уравнения:
$ \log_{\frac{1}{\sqrt{x+2}}} 5 = -2 $
По определению логарифма:
$ \left(\frac{1}{\sqrt{x+2}}\right)^{-2} = 5 $
Преобразуем левую часть:
$ (\sqrt{x+2})^2 = 5 $
$ x+2 = 5 $
$ x = 5-2 $
$ x = 3 $
Проверим ОДЗ. Основание логарифма $ \frac{1}{\sqrt{x+2}} $ должно быть больше нуля и не равно единице.
1) $ \frac{1}{\sqrt{x+2}} > 0 $. Это условие выполняется, если подкоренное выражение строго больше нуля: $ x+2 > 0 \Rightarrow x > -2 $.
2) $ \frac{1}{\sqrt{x+2}} \neq 1 \Rightarrow \sqrt{x+2} \neq 1 \Rightarrow x+2 \neq 1 \Rightarrow x \neq -1 $
Найденный корень $ x=3 $ удовлетворяет обоим условиям ОДЗ ($ 3 > -2 $ и $ 3 \neq -1 $).

Ответ: 3