Страница 151 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1. При решении логарифмических неравенств основное внимание следует уделять двум ключевым аспектам:

Во-первых, это область допустимых значений (ОДЗ) логарифмической функции. Выражение под знаком логарифма всегда должно быть строго положительным. То есть для логарифма вида $\log_a{f(x)}$, необходимо выполнение условия $f(x) > 0$. Также основание логарифма $a$ должно быть положительным и не равным единице ($a > 0, a \neq 1$).

Во-вторых, это основание логарифма $a$. От величины основания зависит, является ли логарифмическая функция возрастающей или убывающей, что напрямую влияет на знак неравенства при переходе от логарифмов к их аргументам (потенцировании):

• Если основание $a > 1$, то логарифмическая функция $y = \log_a{x}$ является возрастающей. Это означает, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Поэтому при переходе от неравенства логарифмов к неравенству их аргументов знак неравенства сохраняется. Например, $\log_a{f(x)} > \log_a{g(x)} \Leftrightarrow f(x) > g(x)$.

• Если основание $0 < a < 1$, то логарифмическая функция $y = \log_a{x}$ является убывающей. Это означает, что большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Поэтому при переходе от неравенства логарифмов к неравенству их аргументов знак неравенства меняется на противоположный. Например, $\log_a{f(x)} > \log_a{g(x)} \Leftrightarrow f(x) < g(x)$.

Игнорирование любого из этих аспектов, особенно ОДЗ, является частой причиной ошибок.

Ответ: При решении логарифмических неравенств главное внимание уделяется области допустимых значений (выражение под логарифмом должно быть положительным) и величине основания логарифма, от которой зависит, сохраняется или изменяется знак неравенства при переходе к выражениям под логарифмами.

2. Решение логарифмического неравенства часто сводится к рассмотрению системы неравенств, потому что для нахождения правильного решения необходимо одновременное выполнение нескольких условий.

Эти условия включают в себя:

1.Условие, вытекающее из самого неравенства. После преобразования исходного логарифмического неравенства мы переходим к неравенству для выражений, стоящих под знаком логарифма. Как было упомянуто в предыдущем пункте, знак этого нового неравенства зависит от основания логарифма.

2.Условия, определяющие область допустимых значений (ОДЗ). Каждое выражение под знаком логарифма в исходном неравенстве должно быть строго больше нуля. Это порождает одно или несколько дополнительных неравенств.

Поскольку все эти условия должны выполняться одновременно, их объединяют в систему неравенств. Решением исходного логарифмического неравенства будет пересечение решений всех неравенств, входящих в систему.

Например, решение неравенства $\log_a{f(x)} > \log_a{g(x)}$ равносильно решению одной из двух систем, в зависимости от основания $a$:

При $a > 1$:

$$\begin{cases}f(x) > g(x) \\g(x) > 0\end{cases}$$

(Условие $f(x) > 0$ здесь выполняется автоматически, так как из $f(x) > g(x)$ и $g(x) > 0$ следует $f(x) > 0$).

При $0 < a < 1$:

$$\begin{cases}f(x) < g(x) \\f(x) > 0\end{cases}$$

(Условие $g(x) > 0$ здесь выполняется автоматически, так как из $f(x) < g(x)$ и $f(x) > 0$ следует $g(x) > 0$).

Таким образом, необходимость учёта ОДЗ наряду с основным неравенством и приводит к необходимости решать систему неравенств.

Ответ: Решение логарифмического неравенства приводит к системе неравенств, так как необходимо одновременно удовлетворить как условию, полученному из сравнения аргументов логарифмов (с учётом монотонности функции), так и условиям области допустимых значений (аргументы всех логарифмов должны быть положительными).

1) $\log_5(3 + 8x) > 0$

Для решения логарифмического неравенства необходимо учесть область допустимых значений (ОДЗ) и решить само неравенство.

1. Найдем ОДЗ. Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$3 + 8x > 0$

$8x > -3$

$x > - \frac{3}{8}$

2. Решим само неравенство. Представим правую часть в виде логарифма с основанием 5:

$0 = \log_5(1)$

Неравенство принимает вид:

$\log_5(3 + 8x) > \log_5(1)$

Так как основание логарифма $5 > 1$, функция является возрастающей, поэтому при переходе к неравенству для аргументов знак неравенства сохраняется:

$3 + 8x > 1$

$8x > 1 - 3$

$8x > -2$

$x > - \frac{2}{8}$

$x > - \frac{1}{4}$

3. Найдем пересечение решения неравенства с ОДЗ. Мы имеем систему:

$\begin{cases} x > - \frac{3}{8} \\ x > - \frac{1}{4} \end{cases}$

Так как $- \frac{1}{4} > - \frac{3}{8}$ (поскольку $-0.25 > -0.375$), решением системы является $x > - \frac{1}{4}$.

Ответ: $(- \frac{1}{4}; +\infty)$.

2) $\log_{\frac{1}{3}}(7 - x) > -2$

1. Найдем ОДЗ:

$7 - x > 0$

$x < 7$

2. Решим неравенство. Представим правую часть в виде логарифма с основанием $\frac{1}{3}$:

$-2 = \log_{\frac{1}{3}}((\frac{1}{3})^{-2}) = \log_{\frac{1}{3}}(3^2) = \log_{\frac{1}{3}}(9)$

Неравенство принимает вид:

$\log_{\frac{1}{3}}(7 - x) > \log_{\frac{1}{3}}(9)$

Так как основание логарифма $0 < \frac{1}{3} < 1$, функция является убывающей, поэтому при переходе к неравенству для аргументов знак неравенства меняется на противоположный:

$7 - x < 9$

$-x < 9 - 7$

$-x < 2$

$x > -2$

3. Найдем пересечение решения с ОДЗ:

$\begin{cases} x < 7 \\ x > -2 \end{cases}$

Решением системы является интервал $-2 < x < 7$.

Ответ: $(-2; 7)$.

3) $\log_2(x - 3) \le 3$

1. Найдем ОДЗ:

$x - 3 > 0$

$x > 3$

2. Решим неравенство. Представим правую часть в виде логарифма с основанием 2:

$3 = \log_2(2^3) = \log_2(8)$

Неравенство принимает вид:

$\log_2(x - 3) \le \log_2(8)$

Так как основание логарифма $2 > 1$, функция является возрастающей, поэтому знак неравенства сохраняется:

$x - 3 \le 8$

$x \le 8 + 3$

$x \le 11$

3. Найдем пересечение решения с ОДЗ:

$\begin{cases} x > 3 \\ x \le 11 \end{cases}$

Решением системы является полуинтервал $3 < x \le 11$.

Ответ: $(3; 11]$.

4) $\lg(4x - 1) \le 1$

Здесь $\lg$ обозначает десятичный логарифм (логарифм по основанию 10).

1. Найдем ОДЗ:

$4x - 1 > 0$

$4x > 1$

$x > \frac{1}{4}$

2. Решим неравенство. Представим правую часть в виде десятичного логарифма:

$1 = \lg(10)$

Неравенство принимает вид:

$\lg(4x - 1) \le \lg(10)$

Так как основание логарифма $10 > 1$, функция является возрастающей, поэтому знак неравенства сохраняется:

$4x - 1 \le 10$

$4x \le 11$

$x \le \frac{11}{4}$

3. Найдем пересечение решения с ОДЗ:

$\begin{cases} x > \frac{1}{4} \\ x \le \frac{11}{4} \end{cases}$

Решением системы является полуинтервал $\frac{1}{4} < x \le \frac{11}{4}$.

Ответ: $(\frac{1}{4}; \frac{11}{4}]$.

1) Дано логарифмическое неравенство $\log_2(2x+5) > \log_2(x-7)$.

Для решения этого неравенства необходимо учесть два условия:

1. Область допустимых значений (ОДЗ): аргументы логарифмов должны быть строго положительными.

$\begin{cases} 2x + 5 > 0 \\ x - 7 > 0 \end{cases}$

Решаем эту систему:

$2x > -5 \implies x > -2.5$

$x > 7$

Пересечением этих двух условий является $x > 7$.

2. Так как основание логарифма $a=2 > 1$, логарифмическая функция $y = \log_2(t)$ является возрастающей. Это значит, что большему значению функции соответствует большее значение аргумента. Поэтому знак неравенства сохраняется:

$2x + 5 > x - 7$

$2x - x > -7 - 5$

$x > -12$

Теперь найдем пересечение решения неравенства ($x > -12$) и ОДЗ ($x > 7$). Общим решением является $x > 7$.

Ответ: $(7, +\infty)$.

2) Дано логарифмическое неравенство $\log_5(3x-2) > \log_5(x+6)$.

Так как основание логарифма $a=5 > 1$, функция является возрастающей, и знак неравенства сохраняется. Неравенство равносильно системе, включающей ОДЗ:

$\begin{cases} 3x - 2 > x + 6 \\ 3x - 2 > 0 \\ x + 6 > 0 \end{cases}$

Решим каждое неравенство в системе:

1. $3x - x > 6 + 2 \implies 2x > 8 \implies x > 4$.

2. $3x > 2 \implies x > \frac{2}{3}$.

3. $x > -6$.

Найдем пересечение всех трех решений: $x > 4$, $x > \frac{2}{3}$ и $x > -6$. Наиболее сильным условием является $x > 4$.

Ответ: $(4, +\infty)$.

3) Дано логарифмическое неравенство $\log_3(3x-1) < \log_3(2x+3)$.

Основание логарифма $a=3 > 1$, поэтому функция возрастающая, и знак неравенства при переходе к аргументам сохраняется. Составим систему с учетом ОДЗ:

$\begin{cases} 3x - 1 < 2x + 3 \\ 3x - 1 > 0 \\ 2x + 3 > 0 \end{cases}$

Решаем систему:

1. $3x - 2x < 3 + 1 \implies x < 4$.

2. $3x > 1 \implies x > \frac{1}{3}$.

3. $2x > -3 \implies x > -1.5$.

Объединяя все условия, получаем двойное неравенство: $\frac{1}{3} < x < 4$.

Ответ: $(\frac{1}{3}, 4)$.

4) Дано логарифмическое неравенство $\log_{\frac{1}{9}}(4x-3) \ge \log_{\frac{1}{9}}(x+3)$.

Основание логарифма $a = \frac{1}{9}$, и так как $0 < a < 1$, логарифмическая функция $y = \log_{\frac{1}{9}}(t)$ является убывающей. Это означает, что при переходе к неравенству для аргументов знак неравенства необходимо изменить на противоположный. Составим систему с учетом ОДЗ:

$\begin{cases} 4x - 3 \le x + 3 \\ 4x - 3 > 0 \\ x + 3 > 0 \end{cases}$

Решаем каждое неравенство системы:

1. $4x - x \le 3 + 3 \implies 3x \le 6 \implies x \le 2$.

2. $4x > 3 \implies x > \frac{3}{4}$.

3. $x > -3$.

Найдем пересечение полученных решений: $x \le 2$, $x > \frac{3}{4}$ и $x > -3$. Общим решением является интервал $\frac{3}{4} < x \le 2$.

Ответ: $(\frac{3}{4}, 2]$.

1) Решим неравенство $log_2(2x - 1) > log_2(x + 1)$.
Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть положительными:
$\begin{cases} 2x - 1 > 0 \\ x + 1 > 0 \end{cases}$
$\begin{cases} 2x > 1 \\ x > -1 \end{cases}$
$\begin{cases} x > \frac{1}{2} \\ x > -1 \end{cases}$
Из системы следует, что ОДЗ: $x > \frac{1}{2}$.
Теперь решим само неравенство. Так как основание логарифма $2 > 1$, то функция $y = log_2(t)$ является возрастающей. Поэтому при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства сохраняется:
$2x - 1 > x + 1$
$2x - x > 1 + 1$
$x > 2$
Совместим полученное решение с ОДЗ:
$\begin{cases} x > 2 \\ x > \frac{1}{2} \end{cases}$
Пересечением этих условий является $x > 2$.
Ответ: $(2; +\infty)$

2) Решим неравенство $log_5(3x + 1) > log_5(x - 2)$.
Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} 3x + 1 > 0 \\ x - 2 > 0 \end{cases}$
$\begin{cases} 3x > -1 \\ x > 2 \end{cases}$
$\begin{cases} x > -\frac{1}{3} \\ x > 2 \end{cases}$
ОДЗ: $x > 2$.
Основание логарифма $5 > 1$, поэтому знак неравенства сохраняется:
$3x + 1 > x - 2$
$3x - x > -2 - 1$
$2x > -3$
$x > -\frac{3}{2}$
Совместим решение с ОДЗ:
$\begin{cases} x > 2 \\ x > -\frac{3}{2} \end{cases}$
Пересечением является $x > 2$.
Ответ: $(2; +\infty)$

3) Решим неравенство $log_{\frac{1}{7}}(12 - x) \ge -2$.
Найдем ОДЗ:
$12 - x > 0$
$x < 12$
Представим правую часть неравенства в виде логарифма с основанием $\frac{1}{7}$:
$-2 = -2 \cdot log_{\frac{1}{7}}(\frac{1}{7}) = log_{\frac{1}{7}}((\frac{1}{7})^{-2}) = log_{\frac{1}{7}}(7^2) = log_{\frac{1}{7}}(49)$.
Неравенство принимает вид:
$log_{\frac{1}{7}}(12 - x) \ge log_{\frac{1}{7}}(49)$
Так как основание логарифма $0 < \frac{1}{7} < 1$, то функция $y = log_{\frac{1}{7}}(t)$ является убывающей. Поэтому при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства меняется на противоположный:
$12 - x \le 49$
$-x \le 49 - 12$
$-x \le 37$
$x \ge -37$
Совместим полученное решение с ОДЗ:
$\begin{cases} x \ge -37 \\ x < 12 \end{cases}$
Получаем интервал $-37 \le x < 12$.
Ответ: $[-37; 12)$

4) Решим неравенство $log_{0,2}(x - 2) > log_{0,2}(3 - x)$.
Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} x - 2 > 0 \\ 3 - x > 0 \end{cases}$
$\begin{cases} x > 2 \\ x < 3 \end{cases}$
ОДЗ: $2 < x < 3$.
Основание логарифма $0,2$ находится в интервале $(0; 1)$, поэтому функция является убывающей, и знак неравенства меняется на противоположный:
$x - 2 < 3 - x$
$x + x < 3 + 2$
$2x < 5$
$x < 2,5$
Совместим решение с ОДЗ:
$\begin{cases} 2 < x < 3 \\ x < 2,5 \end{cases}$
Пересечением является $2 < x < 2,5$.
Ответ: $(2; 2,5)$

1) $\log_2^2 x + \log_2 x - 2 \le 0$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным, поэтому $x > 0$.

Это неравенство является квадратным относительно $\log_2 x$. Сделаем замену переменной. Пусть $t = \log_2 x$. Неравенство принимает вид:

$t^2 + t - 2 \le 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $t^2 + t - 2 = 0$. Используя теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения, получаем:

$t_1 = -2$, $t_2 = 1$

Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство $t^2 + t - 2 \le 0$ выполняется между корнями, включая сами корни. Таким образом:

$-2 \le t \le 1$

Теперь выполним обратную замену:

$-2 \le \log_2 x \le 1$

Это двойное неравенство эквивалентно системе:

$\begin{cases} \log_2 x \ge -2 \\ \log_2 x \le 1 \end{cases}$

Так как основание логарифма $2 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Поэтому при потенцировании знак неравенства сохраняется:

$\begin{cases} x \ge 2^{-2} \\ x \le 2^1 \end{cases}$

$\begin{cases} x \ge \frac{1}{4} \\ x \le 2 \end{cases}$

Объединяя полученное решение с ОДЗ ($x > 0$), получаем окончательный интервал.

Ответ: $[\frac{1}{4}; 2]$

2) $\log_{0.2}^2 x - 5\log_{0.2} x < -6$

Перенесем все члены в левую часть:

$\log_{0.2}^2 x - 5\log_{0.2} x + 6 < 0$

ОДЗ: $x > 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \log_{0.2} x$. Неравенство примет вид:

$t^2 - 5t + 6 < 0$

Найдем корни уравнения $t^2 - 5t + 6 = 0$:

$t_1 = 2$, $t_2 = 3$

Парабола $y = t^2 - 5t + 6$ имеет ветви вверх, поэтому неравенство $y < 0$ выполняется строго между корнями:

$2 < t < 3$

Выполним обратную замену:

$2 < \log_{0.2} x < 3$

Основание логарифма $0.2 < 1$, поэтому логарифмическая функция является убывающей. При потенцировании знаки неравенства меняются на противоположные:

$0.2^3 < x < 0.2^2$

$0.008 < x < 0.04$

Это решение удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $(0.008; 0.04)$

3) $\log_{0.1}^2 x + 3\log_{0.1} x > 4$

Перенесем все члены в левую часть:

$\log_{0.1}^2 x + 3\log_{0.1} x - 4 > 0$

ОДЗ: $x > 0$.

Пусть $t = \log_{0.1} x$. Неравенство становится:

$t^2 + 3t - 4 > 0$

Найдем корни уравнения $t^2 + 3t - 4 = 0$:

$t_1 = -4$, $t_2 = 1$

Парабола $y = t^2 + 3t - 4$ имеет ветви вверх, поэтому неравенство $y > 0$ выполняется за пределами корней:

$t < -4$ или $t > 1$

Это соответствует совокупности двух неравенств. Выполним обратную замену:

$\log_{0.1} x < -4$ или $\log_{0.1} x > 1$

Основание логарифма $0.1 < 1$, поэтому логарифмическая функция убывающая. При потенцировании знаки неравенств меняются:

Из $\log_{0.1} x < -4$ следует $x > 0.1^{-4}$, то есть $x > (10^{-1})^{-4}$, что дает $x > 10000$.

Из $\log_{0.1} x > 1$ следует $x < 0.1^1$, то есть $x < 0.1$.

Учитывая ОДЗ ($x > 0$), получаем два интервала: $x > 10000$ и $0 < x < 0.1$.

Ответ: $(0; 0.1) \cup (10000; +\infty)$

4) $2 - \lg^2 x \ge \lg x$

Перепишем неравенство в стандартном виде (перенеся все в правую часть):

$0 \ge \lg^2 x + \lg x - 2$

Что эквивалентно:

$\lg^2 x + \lg x - 2 \le 0$

ОДЗ: $x > 0$ (так как $\lg x = \log_{10} x$).

Сделаем замену $t = \lg x$:

$t^2 + t - 2 \le 0$

Это то же самое квадратное неравенство, что и в пункте 1. Его решение:

$-2 \le t \le 1$

Выполним обратную замену:

$-2 \le \lg x \le 1$

Основание десятичного логарифма $10 > 1$, функция возрастающая, поэтому знаки неравенств сохраняются при потенцировании:

$10^{-2} \le x \le 10^1$

$0.01 \le x \le 10$

Решение удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $[0.01; 10]$

Бұл есепте берілген логарифмдік теңсіздіктердің қайсысында алмастырудың дұрыс орындалмағанын, яғни қателік жіберілгенін анықтау қажет. Әрбір нұсқаны талдап көрейік.

1) $\log_{0,5} (x - 2) > 1$ болса, онда $x - 2 < 0,5$

Берілген логарифмдік теңсіздікті шешейік. Логарифм негізі $a = 0,5$, бұл $0 < a < 1$ аралығында жатыр. Логарифмдік функцияның бұл жағдайда кемімелі болатынын ескере отырып, теңсіздік белгісін қарама-қарсыға өзгертеміз. Сонымен қатар, логарифмнің анықталу облысы бойынша, логарифм астындағы өрнек оң болуы керек: $x - 2 > 0$.

Осылайша, теңсіздік келесі жүйеге мәндес болады:

$\begin{cases} x - 2 > 0 \\ x - 2 < (0,5)^1 \end{cases}$

Бұл жүйені ықшамдасақ:

$\begin{cases} x - 2 > 0 \\ x - 2 < 0,5 \end{cases}$

Яғни, $0 < x - 2 < 0,5$.

Есептің шартында берілген алмастыру $x - 2 < 0,5$ түрінде жазылған. Бұл алмастыру толық емес, себебі ол логарифмнің анықталу облысын ($x - 2 > 0$ шартын) ескермейді. Мәндес (эквивалентті) түрлендіру болмағандықтан, бұл алмастыру қате болып саналады, себебі ол бастапқы теңсіздіктің шешімдер жиынын сақтамайды (мысалы, $x=1$ болғанда $x-2 = -1 < 0,5$ шарты орындалады, бірақ $\log_{0,5}(-1)$ анықталмаған).

Ответ: Бұл алмастыру дұрыс орындалмаған.

2) $\log_{0,2} (x - 2) > \log_{0,2} 3$ болса, онда $x - 2 < 3$

Мұнда да логарифм негізі $a = 0,2$, яғни $0 < a < 1$. Сондықтан, логарифмдерді алып тастағанда теңсіздік белгісі керісінше өзгереді:

$x - 2 < 3$.

Бұл түрлендіру дұрыс қадам болып көрінгенімен, бірінші нұсқадағы сияқты, анықталу облысы ($x - 2 > 0$) ескерілмегендіктен, толық емес. Дегенмен, логарифмдік теңсіздіктің аргументтерін салыстыру ережесі дұрыс қолданылған. Егер "дұрыс алмастыру" деп тек аргументтерді салыстыру қадамын есептесек, бұл қадам дұрыс.

Ответ: Алмастырудың негізгі қадамы дұрыс орындалған, бірақ толық шешім үшін анықталу облысын ескеру қажет.

3) $\ln(x + 5) > \ln 5$ болса, онда $x + 5 > 5$

Натурал логарифмнің негізі $e \approx 2,718$, яғни $e > 1$. Бұл жағдайда логарифмдік функция өспелі болады, сондықтан теңсіздік белгісі сақталады:

$x + 5 > 5$.

Бұл түрлендіруден $x > 0$ шығады. Логарифмнің анықталу облысы $x + 5 > 0$ шартын талап етеді. $x + 5 > 5$ шарты орындалса, $x + 5 > 0$ шарты автоматты түрде орындалады. Сондықтан, бұл алмастыру толық және дұрыс.

Ответ: Бұл алмастыру дұрыс орындалған.

4) $\ln^2(x - 3) < 4$ болса, онда $-2 < \ln(x - 3) < 2$

$y = \ln(x - 3)$ деп белгілейік. Теңсіздік $y^2 < 4$ түріне келеді. Бұл теңсіздіктің шешімі $|y| < 2$, яғни $-2 < y < 2$.

$y$ орнына $\ln(x - 3)$ өрнегін қайта қойсақ:

$-2 < \ln(x - 3) < 2$.

Бұл алмастыру дұрыс. Сонымен қатар, бұл мәндес түрлендіру болып табылады. $-2 < \ln(x - 3) < 2$ теңсіздігінен $e^{-2} < x - 3 < e^2$ шығады. $e^{-2} > 0$ болғандықтан, $x - 3 > 0$ шарты (анықталу облысы) автоматты түрде орындалады. Сондықтан, бұл алмастыру толық және дұрыс.

Ответ: Бұл алмастыру дұрыс орындалған.

Қорытындылай келе, 1-нұсқадағы алмастыру теңсіздікті шешудің толық процесін көрсетпейді және анықталу облысын ескермегендіктен қате болып табылады. Дұрыс түрлендіру бастапқы теңсіздікке мәндес болуы тиіс.

Жалпы жауап: 1-нұсқадағы алмастыру дұрыс орындалмаған.