Номер 315, страница 151 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

315. Қай теңсіздікте алмастыру дұрыс орындалмағанын көрсетіңдер:

1) $log_{0.5}(x - 2) > 1$ болса, онда $x - 2 < 0.5;$

2) $log_{0.2}(x - 2) > log_{0.2}3$ болса, онда $x - 2 < 3;$

3) $ln(x + 5) > ln5$ болса, онда $x + 5 > 5;$

4) $ln^2(x - 3) < 4$ болса, онда $-2 < ln(x - 3) < 2.$

Бұл есепте берілген логарифмдік теңсіздіктердің қайсысында алмастырудың дұрыс орындалмағанын, яғни қателік жіберілгенін анықтау қажет. Әрбір нұсқаны талдап көрейік.

1) $\log_{0,5} (x - 2) > 1$ болса, онда $x - 2 < 0,5$

Берілген логарифмдік теңсіздікті шешейік. Логарифм негізі $a = 0,5$, бұл $0 < a < 1$ аралығында жатыр. Логарифмдік функцияның бұл жағдайда кемімелі болатынын ескере отырып, теңсіздік белгісін қарама-қарсыға өзгертеміз. Сонымен қатар, логарифмнің анықталу облысы бойынша, логарифм астындағы өрнек оң болуы керек: $x - 2 > 0$.

Осылайша, теңсіздік келесі жүйеге мәндес болады:

$\begin{cases} x - 2 > 0 \\ x - 2 < (0,5)^1 \end{cases}$

Бұл жүйені ықшамдасақ:

$\begin{cases} x - 2 > 0 \\ x - 2 < 0,5 \end{cases}$

Яғни, $0 < x - 2 < 0,5$.

Есептің шартында берілген алмастыру $x - 2 < 0,5$ түрінде жазылған. Бұл алмастыру толық емес, себебі ол логарифмнің анықталу облысын ($x - 2 > 0$ шартын) ескермейді. Мәндес (эквивалентті) түрлендіру болмағандықтан, бұл алмастыру қате болып саналады, себебі ол бастапқы теңсіздіктің шешімдер жиынын сақтамайды (мысалы, $x=1$ болғанда $x-2 = -1 < 0,5$ шарты орындалады, бірақ $\log_{0,5}(-1)$ анықталмаған).

Ответ: Бұл алмастыру дұрыс орындалмаған.

2) $\log_{0,2} (x - 2) > \log_{0,2} 3$ болса, онда $x - 2 < 3$

Мұнда да логарифм негізі $a = 0,2$, яғни $0 < a < 1$. Сондықтан, логарифмдерді алып тастағанда теңсіздік белгісі керісінше өзгереді:

$x - 2 < 3$.

Бұл түрлендіру дұрыс қадам болып көрінгенімен, бірінші нұсқадағы сияқты, анықталу облысы ($x - 2 > 0$) ескерілмегендіктен, толық емес. Дегенмен, логарифмдік теңсіздіктің аргументтерін салыстыру ережесі дұрыс қолданылған. Егер "дұрыс алмастыру" деп тек аргументтерді салыстыру қадамын есептесек, бұл қадам дұрыс.

Ответ: Алмастырудың негізгі қадамы дұрыс орындалған, бірақ толық шешім үшін анықталу облысын ескеру қажет.

3) $\ln(x + 5) > \ln 5$ болса, онда $x + 5 > 5$

Натурал логарифмнің негізі $e \approx 2,718$, яғни $e > 1$. Бұл жағдайда логарифмдік функция өспелі болады, сондықтан теңсіздік белгісі сақталады:

$x + 5 > 5$.

Бұл түрлендіруден $x > 0$ шығады. Логарифмнің анықталу облысы $x + 5 > 0$ шартын талап етеді. $x + 5 > 5$ шарты орындалса, $x + 5 > 0$ шарты автоматты түрде орындалады. Сондықтан, бұл алмастыру толық және дұрыс.

Ответ: Бұл алмастыру дұрыс орындалған.

4) $\ln^2(x - 3) < 4$ болса, онда $-2 < \ln(x - 3) < 2$

$y = \ln(x - 3)$ деп белгілейік. Теңсіздік $y^2 < 4$ түріне келеді. Бұл теңсіздіктің шешімі $|y| < 2$, яғни $-2 < y < 2$.

$y$ орнына $\ln(x - 3)$ өрнегін қайта қойсақ:

$-2 < \ln(x - 3) < 2$.

Бұл алмастыру дұрыс. Сонымен қатар, бұл мәндес түрлендіру болып табылады. $-2 < \ln(x - 3) < 2$ теңсіздігінен $e^{-2} < x - 3 < e^2$ шығады. $e^{-2} > 0$ болғандықтан, $x - 3 > 0$ шарты (анықталу облысы) автоматты түрде орындалады. Сондықтан, бұл алмастыру толық және дұрыс.

Ответ: Бұл алмастыру дұрыс орындалған.

Қорытындылай келе, 1-нұсқадағы алмастыру теңсіздікті шешудің толық процесін көрсетпейді және анықталу облысын ескермегендіктен қате болып табылады. Дұрыс түрлендіру бастапқы теңсіздікке мәндес болуы тиіс.

Жалпы жауап: 1-нұсқадағы алмастыру дұрыс орындалмаған.