Номер 341, страница 165 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 2\sqrt{3y+x} - \sqrt{6y-x} = x, \\ \sqrt{3y+x} + \sqrt{6y-x} = 3y \end{cases}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под знаком квадратного корня должны быть неотрицательными:

$3y+x \ge 0$

$6y-x \ge 0$

Из второго уравнения системы, $\sqrt{3y+x} + \sqrt{6y-x} = 3y$, следует, что правая часть $3y$ должна быть неотрицательной, так как левая часть является суммой двух неотрицательных значений. Следовательно, $3y \ge 0$, откуда $y \ge 0$.

Сложим оба уравнения системы:

$(2\sqrt{3y+x} - \sqrt{6y-x}) + (\sqrt{3y+x} + \sqrt{6y-x}) = x + 3y$

$3\sqrt{3y+x} = 3y+x$

Пусть $A = 3y+x$. Тогда уравнение принимает вид $3\sqrt{A} = A$.

Для решения этого уравнения рассмотрим два случая:

1. $A=0$. В этом случае равенство $3\sqrt{0}=0$ является верным.

2. $A>0$. В этом случае можно разделить обе части на $\sqrt{A}$, получим $3 = \sqrt{A}$, откуда, возведя в квадрат, найдем $A=9$.

Таким образом, мы должны рассмотреть два независимых случая.

Случай 1: $3y+x = 0$.

Из этого соотношения выразим $x = -3y$. Подставим это выражение во второе уравнение исходной системы:

$\sqrt{3y+(-3y)} + \sqrt{6y-(-3y)} = 3y$

$\sqrt{0} + \sqrt{9y} = 3y$

$3\sqrt{y} = 3y$

$\sqrt{y} = y$

Возведем обе части в квадрат: $y = y^2$. Перенеся все в одну сторону, получим $y^2 - y = 0$, или $y(y-1)=0$.

Отсюда получаем два возможных значения для $y$: $y=0$ или $y=1$.

Если $y=0$, то $x = -3(0) = 0$. Получаем решение $(0, 0)$.

Если $y=1$, то $x = -3(1) = -3$. Получаем решение $(-3, 1)$.

Оба решения удовлетворяют условиям ОДЗ.

Случай 2: $3y+x = 9$.

Из этого соотношения следует, что $\sqrt{3y+x} = \sqrt{9} = 3$. Подставим это значение во второе уравнение исходной системы:

$3 + \sqrt{6y-x} = 3y$

$\sqrt{6y-x} = 3y-3$

Из $3y+x=9$ выразим $x = 9-3y$ и подставим в полученное уравнение:

$\sqrt{6y-(9-3y)} = 3y-3$

$\sqrt{9y-9} = 3y-3$

$\sqrt{9(y-1)} = 3(y-1)$

$3\sqrt{y-1} = 3(y-1)$

$\sqrt{y-1} = y-1$

Пусть $B = y-1$. Уравнение $\sqrt{B}=B$ имеет решения $B=0$ и $B=1$.

Если $y-1=0$, то $y=1$. Тогда $x=9-3(1)=6$. Получаем решение $(6, 1)$.

Если $y-1=1$, то $y=2$. Тогда $x=9-3(2)=3$. Получаем решение $(3, 2)$.

Эти решения также удовлетворяют ОДЗ.

Проверка подстановкой всех четырех пар в исходную систему подтверждает, что они являются решениями.

Ответ: $(0, 0), (-3, 1), (6, 1), (3, 2)$.

2)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 2^{\sqrt{x}+\sqrt{y}} = 512, \\ \lg\sqrt{xy} = \frac{1}{2}\lg{400} \end{cases}$

Найдем ОДЗ. Для существования квадратных корней необходимо, чтобы $x \ge 0$ и $y \ge 0$. Для существования десятичного логарифма необходимо, чтобы выражение под ним было строго положительным: $\sqrt{xy} > 0$, что эквивалентно $xy > 0$. Объединяя эти условия, получаем $x > 0$ и $y > 0$.

Рассмотрим и преобразуем каждое уравнение системы.

Первое уравнение:

$2^{\sqrt{x}+\sqrt{y}} = 512$

Так как $512$ это $2^9$, уравнение можно переписать в виде:

$2^{\sqrt{x}+\sqrt{y}} = 2^9$

Поскольку основания степеней равны, то и их показатели должны быть равны:

$\sqrt{x}+\sqrt{y} = 9$

Второе уравнение:

$\lg\sqrt{xy} = \frac{1}{2}\lg{400}$

Используя свойство логарифма $n\log_a b = \log_a b^n$, преобразуем правую часть:

$\lg\sqrt{xy} = \lg(400^{1/2})$

$\lg\sqrt{xy} = \lg\sqrt{400}$

$\lg\sqrt{xy} = \lg 20$

Поскольку основания логарифмов равны, то и выражения под логарифмами должны быть равны:

$\sqrt{xy} = 20$

Теперь мы имеем эквивалентную систему уравнений:

$\begin{cases} \sqrt{x}+\sqrt{y} = 9, \\ \sqrt{xy} = 20 \end{cases}$

Для упрощения решения введем новые переменные. Пусть $a = \sqrt{x}$ и $b = \sqrt{y}$. Учитывая ОДЗ ($x > 0, y > 0$), имеем $a > 0$ и $b > 0$.

Система для новых переменных $a$ и $b$ выглядит так:

$\begin{cases} a+b = 9, \\ ab = 20 \end{cases}$

Согласно обратной теореме Виета, $a$ и $b$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (a+b)t + ab = 0$, то есть:

$t^2 - 9t + 20 = 0$

Решим это уравнение. Можно найти корни подбором (4 и 5) или через дискриминант:

$D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20 = 81 - 80 = 1$

$t_{1,2} = \frac{9 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{9 \pm 1}{2}$

$t_1 = \frac{10}{2} = 5$, $t_2 = \frac{8}{2} = 4$.

Следовательно, пара $(a,b)$ может принимать значения $(4,5)$ или $(5,4)$.

Вернемся к исходным переменным $x$ и $y$.

Случай 1: $a=4, b=5$.

$\sqrt{x}=4 \Rightarrow x=16$

$\sqrt{y}=5 \Rightarrow y=25$

Получаем решение $(16, 25)$.

Случай 2: $a=5, b=4$.

$\sqrt{x}=5 \Rightarrow x=25$

$\sqrt{y}=4 \Rightarrow y=16$

Получаем решение $(25, 16)$.

Обе пары решений удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $(16, 25), (25, 16)$.