Номер 345, страница 165 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Решим уравнение $ \sqrt{1 + \cos x} = \sin x $.

Данное уравнение равносильно системе:
$ \begin{cases} \sin x \ge 0 \\ 1 + \cos x = \sin^2 x \end{cases} $

Первое условие $ \sin x \ge 0 $ определяет область допустимых значений (ОДЗ). Это означает, что решения могут находиться только в I и II координатных четвертях, включая границы. То есть $ x \in [2\pi n, \pi + 2\pi n] $ для $ n \in \mathbb{Z} $.

Решим второе уравнение системы, используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 x = 1 - \cos^2 x $:
$ 1 + \cos x = 1 - \cos^2 x $
$ \cos^2 x + \cos x = 0 $

Вынесем $ \cos x $ за скобки:
$ \cos x (\cos x + 1) = 0 $

Это уравнение распадается на два случая:
а) $ \cos x = 0 $. Отсюда $ x = \frac{\pi}{2} + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
б) $ \cos x + 1 = 0 $, то есть $ \cos x = -1 $. Отсюда $ x = \pi + 2\pi m $, где $ m \in \mathbb{Z} $.

Теперь проверим найденные серии решений на соответствие условию $ \sin x \ge 0 $.
Для серии $ x = \frac{\pi}{2} + \pi k $:
- если $ k $ четное, т.е. $ k = 2n $, то $ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n $. В этих точках $ \sin(\frac{\pi}{2} + 2\pi n) = 1 $, что удовлетворяет условию $ 1 \ge 0 $. Эта серия решений подходит.
- если $ k $ нечетное, т.е. $ k = 2n + 1 $, то $ x = \frac{\pi}{2} + (2n+1)\pi = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n $. В этих точках $ \sin(\frac{3\pi}{2} + 2\pi n) = -1 $, что не удовлетворяет условию $ -1 \ge 0 $. Эта серия является посторонней.

Для серии $ x = \pi + 2\pi m $:
В этих точках $ \sin(\pi + 2\pi m) = 0 $, что удовлетворяет условию $ 0 \ge 0 $. Эта серия решений также подходит.

Таким образом, решениями исходного уравнения являются две серии корней.
Ответ: $ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}; \quad x = \pi + 2\pi m, m \in \mathbb{Z} $.

2) Решим уравнение $ \sqrt{2 \sin 2x} + 2 \sin x = 0 $.

Перенесем $ 2 \sin x $ в правую часть:
$ \sqrt{2 \sin 2x} = -2 \sin x $

Данное уравнение равносильно системе:
$ \begin{cases} -2 \sin x \ge 0 \\ 2 \sin 2x = (-2 \sin x)^2 \end{cases} $

Из первого неравенства $ -2 \sin x \ge 0 $ следует $ \sin x \le 0 $. Это означает, что решения могут находиться только в III и IV координатных четвертях, включая границы. То есть $ x \in [\pi + 2\pi n, 2\pi + 2\pi n] $ для $ n \in \mathbb{Z} $. Также из подкоренного выражения следует $ 2 \sin 2x \ge 0 $, или $ \sin 2x \ge 0 $.

Решим второе уравнение системы, используя формулу синуса двойного угла $ \sin 2x = 2 \sin x \cos x $:
$ 2 (2 \sin x \cos x) = 4 \sin^2 x $
$ 4 \sin x \cos x = 4 \sin^2 x $
$ 4 \sin^2 x - 4 \sin x \cos x = 0 $

Вынесем $ 4 \sin x $ за скобки:
$ 4 \sin x (\sin x - \cos x) = 0 $

Это уравнение распадается на два случая:
а) $ \sin x = 0 $. Отсюда $ x = \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
б) $ \sin x - \cos x = 0 $, то есть $ \sin x = \cos x $. Если $ \cos x \ne 0 $, то можно разделить обе части на $ \cos x $, получив $ \tan x = 1 $. Отсюда $ x = \frac{\pi}{4} + \pi m $, где $ m \in \mathbb{Z} $. (Если $ \cos x = 0 $, то и $ \sin x $ должен быть равен 0, что невозможно).

Теперь проверим найденные серии решений на соответствие условию $ \sin x \le 0 $.
Для серии $ x = \pi k $:
В этих точках $ \sin(\pi k) = 0 $, что удовлетворяет условию $ 0 \le 0 $. Проверим второе условие ОДЗ: $ \sin(2\pi k) = 0 \ge 0 $. Эта серия решений подходит.

Для серии $ x = \frac{\pi}{4} + \pi m $:
- если $ m $ четное, т.е. $ m = 2n $, то $ x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n $. Это точки в I четверти, где $ \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} > 0 $. Эта серия не подходит.
- если $ m $ нечетное, т.е. $ m = 2n + 1 $, то $ x = \frac{\pi}{4} + (2n+1)\pi = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n $. Это точки в III четверти, где $ \sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2} < 0 $. Эта серия удовлетворяет условию $ \sin x \le 0 $. Проверим второе условие ОДЗ: $ \sin(2x) = \sin(2(\frac{5\pi}{4} + 2\pi n)) = \sin(\frac{5\pi}{2} + 4\pi n) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1 \ge 0 $. Эта серия решений подходит.

Таким образом, решениями исходного уравнения являются две серии корней.
Ответ: $ x = \pi k, k \in \mathbb{Z}; \quad x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.