Номер 346, страница 165 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) $ \log_3(4^x + 15 \cdot 2^x + 27) = 2\log_3(4 \cdot 2^x - 3) $

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

1. $ 4^x + 15 \cdot 2^x + 27 > 0 $. Так как $ 4^x > 0 $ и $ 2^x > 0 $ для любого действительного $ x $, это неравенство выполняется всегда.

2. $ 4 \cdot 2^x - 3 > 0 \implies 4 \cdot 2^x > 3 \implies 2^x > \frac{3}{4} \implies x > \log_2(\frac{3}{4}) $.

Таким образом, ОДЗ: $ x > \log_2(\frac{3}{4}) $.

Преобразуем правую часть уравнения, используя свойство $ n \log_a b = \log_a b^n $:

$ \log_3(4^x + 15 \cdot 2^x + 27) = \log_3((4 \cdot 2^x - 3)^2) $

Поскольку основания логарифмов одинаковы, мы можем приравнять их аргументы:

$ 4^x + 15 \cdot 2^x + 27 = (4 \cdot 2^x - 3)^2 $

Заметим, что $ 4^x = (2^2)^x = (2^x)^2 $. Сделаем замену $ t = 2^x $. Учитывая ОДЗ, $ t > \frac{3}{4} $.

$ t^2 + 15t + 27 = (4t - 3)^2 $

$ t^2 + 15t + 27 = 16t^2 - 24t + 9 $

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$ 15t^2 - 39t - 18 = 0 $

Разделим уравнение на 3 для упрощения:

$ 5t^2 - 13t - 6 = 0 $

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта $ D = b^2 - 4ac $:

$ D = (-13)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-6) = 169 + 120 = 289 = 17^2 $

$ t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 \pm 17}{10} $

Получаем два корня для $ t $:

$ t_1 = \frac{13 + 17}{10} = \frac{30}{10} = 3 $

$ t_2 = \frac{13 - 17}{10} = \frac{-4}{10} = -0.4 $

Теперь выполним обратную замену $ t = 2^x $ и проверим соответствие ОДЗ ($ t > \frac{3}{4} $).

1. $ t_1 = 3 $. Корень $ 3 > \frac{3}{4} $, значит, он подходит. $ 2^x = 3 \implies x = \log_2 3 $. Этот корень удовлетворяет ОДЗ $ x > \log_2(\frac{3}{4}) $, так как $ 3 > \frac{3}{4} $.

2. $ t_2 = -0.4 $. Корень $ -0.4 < \frac{3}{4} $, он не удовлетворяет условию. Кроме того, уравнение $ 2^x = -0.4 $ не имеет действительных решений, так как показательная функция всегда положительна.

Единственное решение — $ x = \log_2 3 $.

Ответ: $ \log_2 3 $

2) $ \log_{\sqrt{10}} \sqrt{x^3} \cdot \lg(100x) = 3\lg x $

ОДЗ: $ x > 0 $, чтобы все логарифмы и корень были определены.

Преобразуем левую часть уравнения, используя свойства логарифмов. Напомним, что $ \lg x = \log_{10} x $.

Первый множитель: $ \log_{\sqrt{10}} \sqrt{x^3} = \log_{10^{1/2}} x^{3/2} $. Используя свойство $ \log_{a^n} b^m = \frac{m}{n} \log_a b $:

$ \log_{10^{1/2}} x^{3/2} = \frac{3/2}{1/2} \log_{10} x = 3 \log_{10} x = 3 \lg x $

Второй множитель: $ \lg(100x) = \lg(100) + \lg x = \lg(10^2) + \lg x = 2 + \lg x $.

Подставим преобразованные выражения в исходное уравнение:

$ (3 \lg x) \cdot (2 + \lg x) = 3 \lg x $

Перенесем все в левую часть и вынесем общий множитель $ 3 \lg x $ за скобки:

$ (3 \lg x)(2 + \lg x) - 3 \lg x = 0 $

$ 3 \lg x \cdot ((2 + \lg x) - 1) = 0 $

$ 3 \lg x \cdot (1 + \lg x) = 0 $

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

1. $ 3 \lg x = 0 \implies \lg x = 0 \implies x = 10^0 \implies x = 1 $

2. $ 1 + \lg x = 0 \implies \lg x = -1 \implies x = 10^{-1} \implies x = 0.1 $

Оба корня ($ 1 $ и $ 0.1 $) положительны, следовательно, удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $ 1; 0.1 $

3) $ \sqrt{x^{\log_2 \sqrt{x}}} = 2 $

ОДЗ: $ x > 0 $.

Представим уравнение в виде степеней:

$ \left(x^{\log_2(x^{1/2})}\right)^{1/2} = 2 $

Упростим показатель степени у $ x $: $ \log_2(x^{1/2}) = \frac{1}{2}\log_2 x $.

$ \left(x^{\frac{1}{2}\log_2 x}\right)^{1/2} = 2 $

Используем свойство степени $ (a^m)^n = a^{mn} $:

$ x^{\frac{1}{2}\log_2 x \cdot \frac{1}{2}} = 2 $

$ x^{\frac{1}{4}(\log_2 x)} = 2 $

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 2:

$ \log_2\left(x^{\frac{1}{4}\log_2 x}\right) = \log_2 2 $

Используем свойство $ \log_a(b^c) = c \log_a b $:

$ \frac{1}{4}\log_2 x \cdot \log_2 x = 1 $

$ \frac{1}{4}(\log_2 x)^2 = 1 $

$ (\log_2 x)^2 = 4 $

Извлечем квадратный корень:

$ \log_2 x = \pm 2 $

Получаем два случая:

1. $ \log_2 x = 2 \implies x = 2^2 \implies x = 4 $

2. $ \log_2 x = -2 \implies x = 2^{-2} \implies x = \frac{1}{4} $

Оба корня ($ 4 $ и $ 1/4 $) положительны и удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $ 4; \frac{1}{4} $

4) $ \log_4(4x) = \sqrt{\log_x(4x^3)} $

ОДЗ:

1. Аргумент логарифма: $ 4x > 0 \implies x > 0 $.

2. Основание логарифма: $ x > 0 $ и $ x \neq 1 $.

3. Подрадикальное выражение: $ \log_x(4x^3) \ge 0 $.

Разберем неравенство $ \log_x(4x^3) \ge 0 $:

- Если $ x > 1 $, то $ 4x^3 \ge x^0 \implies 4x^3 \ge 1 \implies x^3 \ge \frac{1}{4} \implies x \ge \frac{1}{\sqrt[3]{4}} $. Это условие выполняется для всех $ x > 1 $, так как $ \frac{1}{\sqrt[3]{4}} < 1 $.

- Если $ 0 < x < 1 $, то $ 4x^3 \le x^0 \implies 4x^3 \le 1 \implies x^3 \le \frac{1}{4} \implies x \le \frac{1}{\sqrt[3]{4}} $.

4. Из левой части $ \log_4(4x) $ и знака корня следует $ \log_4(4x) \ge 0 \implies 4x \ge 4^0 \implies 4x \ge 1 \implies x \ge \frac{1}{4} $.

Объединяя все условия, получаем ОДЗ: $ x \in [\frac{1}{4}, \frac{1}{\sqrt[3]{4}}] \cup (1, +\infty) $.

Преобразуем уравнение. Пусть $ t = \log_4 x $. Тогда $ x = 4^t $.

Левая часть: $ \log_4(4x) = \log_4 4 + \log_4 x = 1 + t $.

Правая часть: $ \log_x(4x^3) = \log_x 4 + \log_x(x^3) = \frac{\log_4 4}{\log_4 x} + 3 = \frac{1}{t} + 3 $.

Подставляем в исходное уравнение:

$ 1 + t = \sqrt{\frac{1}{t} + 3} $

Возведем обе части в квадрат (учитывая, что $ 1+t \ge 0 \implies t \ge -1 $, что согласуется с ОДЗ $ x \ge 1/4 $):

$ (1 + t)^2 = \frac{1}{t} + 3 $

$ t^2 + 2t + 1 = \frac{1+3t}{t} $

Умножим на $ t $ (из ОДЗ $ x \neq 1 $ следует $ t \neq 0 $):

$ t^3 + 2t^2 + t = 1 + 3t $

$ t^3 + 2t^2 - 2t - 1 = 0 $

Найдем корни этого кубического уравнения. Пробуем делители свободного члена (±1).

При $ t=1 $: $ 1+2-2-1 = 0 $. Значит, $ t=1 $ является корнем. Разделим многочлен на $ (t-1) $:

$ (t^3 + 2t^2 - 2t - 1) : (t-1) = t^2 + 3t + 1 $.

Получаем уравнение $ (t-1)(t^2+3t+1) = 0 $.

Корни:

1. $ t-1=0 \implies t_1 = 1 $

2. $ t^2+3t+1=0 $. Решаем через дискриминант $ D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 5 $.

$ t_2 = \frac{-3 + \sqrt{5}}{2} \approx \frac{-3+2.236}{2} \approx -0.382 $

$ t_3 = \frac{-3 - \sqrt{5}}{2} \approx \frac{-3-2.236}{2} \approx -2.618 $

Проверим корни $t$ на соответствие ОДЗ для $ x $, то есть $ t \in [-1, \log_4(\frac{1}{\sqrt[3]{4}})] \cup (0, +\infty) $, что эквивалентно $ t \in [-1, -1/3] \cup (0, +\infty) $.

- $ t_1 = 1 $. Входит в интервал $ (0, +\infty) $. Подходит.

- $ t_2 = \frac{-3 + \sqrt{5}}{2} \approx -0.382 $. Так как $ -1 < -0.382 < -1/3 $, этот корень входит в интервал $ [-1, -1/3] $. Подходит.

- $ t_3 = \frac{-3 - \sqrt{5}}{2} \approx -2.618 $. Не входит в область определения для $t$. Не подходит.

Выполним обратную замену $ x = 4^t $:

1. $ t=1 \implies x = 4^1 = 4 $.

2. $ t = \frac{-3 + \sqrt{5}}{2} \implies x = 4^{\frac{-3 + \sqrt{5}}{2}} $.

Ответ: $ 4; 4^{\frac{\sqrt{5}-3}{2}} $