Номер 344, страница 165 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) $x^4 + 4x^3 - 18x^2 - 12x + 9 = 0$

Преобразуем левую часть уравнения, представив её как разность квадратов. Для этого выделим полный квадрат. Заметим, что выражение $(x^2+2x-3)^2$ равно $x^4+4x^2+9+4x^3-6x^2-12x = x^4+4x^3-2x^2-12x+9$.

Тогда исходное уравнение можно переписать в виде: $(x^4+4x^3-2x^2-12x+9) - 16x^2 = 0$, что эквивалентно $(x^2+2x-3)^2 - (4x)^2 = 0$.

Применив формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, получим: $(x^2+2x-3-4x)(x^2+2x-3+4x) = 0$, или $(x^2-2x-3)(x^2+6x-3) = 0$.

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Решим два полученных квадратных уравнения:

а) $x^2-2x-3=0$. По теореме Виета находим корни: $x_1=3$, $x_2=-1$.

б) $x^2+6x-3=0$. Находим корни через дискриминант: $D = b^2-4ac = 6^2-4 \cdot 1 \cdot (-3) = 36+12=48$. Корни $x = \frac{-6 \pm \sqrt{48}}{2} = \frac{-6 \pm \sqrt{16 \cdot 3}}{2} = \frac{-6 \pm 4\sqrt{3}}{2} = -3 \pm 2\sqrt{3}$.

Таким образом, получаем четыре корня: $x_1=-1$, $x_2=3$, $x_3=-3+2\sqrt{3}$ и $x_4=-3-2\sqrt{3}$.

Ответ: $-1; 3; -3 - 2\sqrt{3}; -3 + 2\sqrt{3}$.

2) $32x^4 - 48x^3 - 10x^2 + 21x + 5 = 0$

Для решения этого уравнения воспользуемся теоремой о рациональных корнях многочлена. Будем искать корни среди чисел вида $\frac{p}{q}$, где $p$ — делитель свободного члена ($5$), а $q$ — делитель старшего коэффициента ($32$).

Подстановкой убеждаемся, что $x=1$ является корнем: $32(1)^4 - 48(1)^3 - 10(1)^2 + 21(1) + 5 = 32 - 48 - 10 + 21 + 5 = 0$.

Также проверим $x=-\frac{1}{2}$: $32(-\frac{1}{2})^4 - 48(-\frac{1}{2})^3 - 10(-\frac{1}{2})^2 + 21(-\frac{1}{2}) + 5 = 32(\frac{1}{16}) - 48(-\frac{1}{8}) - 10(\frac{1}{4}) - \frac{21}{2} + 5 = 2 + 6 - \frac{5}{2} - \frac{21}{2} + 5 = 13 - \frac{26}{2} = 13 - 13 = 0$. Следовательно, $x=-\frac{1}{2}$ также является корнем.

Это означает, что многочлен в левой части делится на $(x-1)$ и $(x+\frac{1}{2})$, а значит, и на их произведение $(x-1)(2x+1) = 2x^2-x-1$.

Выполнив деление многочлена $32x^4 - 48x^3 - 10x^2 + 21x + 5$ на $2x^2-x-1$, получим в частном $16x^2 - 16x - 5$.

Таким образом, исходное уравнение равносильно уравнению $(2x^2 - x - 1)(16x^2 - 16x - 5) = 0$.

Корни первого множителя мы уже нашли: $x_1=1$, $x_2=-\frac{1}{2}$.

Решим второе уравнение: $16x^2-16x-5=0$. Дискриминант $D = (-16)^2-4 \cdot 16 \cdot (-5) = 256+320=576=24^2$.

Корни: $x = \frac{16 \pm \sqrt{576}}{2 \cdot 16} = \frac{16 \pm 24}{32}$.

Отсюда $x_3 = \frac{16+24}{32} = \frac{40}{32} = \frac{5}{4}$ и $x_4 = \frac{16-24}{32} = \frac{-8}{32} = -\frac{1}{4}$.

Ответ: $1; -\frac{1}{2}; \frac{5}{4}; -\frac{1}{4}$.