Номер 350, страница 170 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1)

Дано иррациональное неравенство $\sqrt{x^2 + x + 1} < 1$.

Решение такого неравенства вида $\sqrt{f(x)} < g(x)$ равносильно системе неравенств: $$ \begin{cases} f(x) \ge 0 \\ g(x) > 0 \\ f(x) < (g(x))^2 \end{cases} $$ В нашем случае $f(x) = x^2 + x + 1$ и $g(x) = 1$.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x^2 + x + 1 \ge 0$. Найдем дискриминант квадратного трехчлена $x^2 + x + 1$: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$. Поскольку дискриминант $D < 0$ и старший коэффициент $a = 1 > 0$, парабола $y = x^2 + x + 1$ полностью лежит выше оси Ox. Это означает, что выражение $x^2 + x + 1$ положительно при любых значениях $x$. Следовательно, ОДЗ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

2. Так как правая часть неравенства $1 > 0$, мы можем возвести обе части исходного неравенства в квадрат, не меняя знака неравенства: $(\sqrt{x^2 + x + 1})^2 < 1^2$ $x^2 + x + 1 < 1$

3. Решим полученное квадратное неравенство: $x^2 + x < 0$ Вынесем $x$ за скобки: $x(x + 1) < 0$ Найдем корни соответствующего уравнения $x(x + 1) = 0$. Корни: $x_1 = 0$ и $x_2 = -1$. Нанесем эти точки на числовую прямую и определим знаки выражения $x(x+1)$ в полученных интервалах.

Методом интервалов находим, что неравенство $x(x + 1) < 0$ выполняется при $x \in (-1; 0)$.

4. Поскольку ОДЗ - все действительные числа, решение неравенства совпадает с решением, полученным в пункте 3.

Ответ: $x \in (-1; 0)$.

2)

Дано иррациональное неравенство $\sqrt[4]{x - 5} < 3$.

Это неравенство вида $\sqrt[2n]{f(x)} < c$, где $c>0$. Его решение равносильно системе: $$ \begin{cases} f(x) \ge 0 \\ f(x) < c^{2n} \end{cases} $$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Так как корень четной степени, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x - 5 \ge 0$ $x \ge 5$ ОДЗ: $x \in [5; +\infty)$.

2. Возведем обе части неравенства в четвертую степень. Так как обе части неотрицательны, знак неравенства сохранится: $(\sqrt[4]{x - 5})^4 < 3^4$ $x - 5 < 81$

3. Решим полученное линейное неравенство: $x < 81 + 5$ $x < 86$

4. Найдем пересечение полученного решения $x < 86$ с областью допустимых значений $x \ge 5$. Получаем систему: $$ \begin{cases} x \ge 5 \\ x < 86 \end{cases} $$ Решением системы является интервал $5 \le x < 86$.

Ответ: $x \in [5; 86)$.