Номер 356, страница 170 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1)

Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} 2^{x^2 - 14x + 46} \ge \frac{1}{4} \\ 1 + \log_3(x - 4) < \log_3(x + 2) \end{cases} $

Решим первое неравенство: $2^{x^2 - 14x + 46} \ge \frac{1}{4}$.

Представим правую часть в виде степени с основанием 2: $\frac{1}{4} = 2^{-2}$.

Неравенство принимает вид: $2^{x^2 - 14x + 46} \ge 2^{-2}$.

Так как основание степени $2 > 1$, знак неравенства для показателей сохраняется:

$x^2 - 14x + 46 \ge -2$

$x^2 - 14x + 48 \ge 0$

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 14x + 48 = 0$. По теореме Виета, $x_1 + x_2 = 14$ и $x_1 \cdot x_2 = 48$. Корни равны $x_1 = 6$ и $x_2 = 8$.

Парабола $y = x^2 - 14x + 48$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется при $x \in (-\infty, 6] \cup [8, +\infty)$.

Решим второе неравенство: $1 + \log_3(x - 4) < \log_3(x + 2)$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$x - 4 > 0 \implies x > 4$

$x + 2 > 0 \implies x > -2$

Пересечением этих условий является $x > 4$. Таким образом, ОДЗ: $x \in (4, +\infty)$.

Преобразуем неравенство. Представим 1 как логарифм с основанием 3: $1 = \log_3(3)$.

$\log_3(3) + \log_3(x - 4) < \log_3(x + 2)$

$\log_3(3(x - 4)) < \log_3(x + 2)$

$\log_3(3x - 12) < \log_3(x + 2)$

Так как основание логарифма $3 > 1$, знак неравенства для аргументов сохраняется:

$3x - 12 < x + 2$

$2x < 14$

$x < 7$

С учетом ОДЗ ($x > 4$), получаем решение второго неравенства: $x \in (4, 7)$.

Найдем пересечение решений обоих неравенств: $(-\infty, 6] \cup [8, +\infty)$ и $(4, 7)$.

Пересечением является интервал $(4, 6]$.

Ответ: $x \in (4, 6]$.

2)

Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} (0,7)^{x^2 - 8x + 13} < \frac{100}{49} \\ \log_{0,5}(x + 16) < \log_{0,5}(x + 2) - 1 \end{cases} $

Решим первое неравенство: $(0,7)^{x^2 - 8x + 13} < \frac{100}{49}$.

Представим правую часть в виде степени с основанием 0,7: $\frac{100}{49} = (\frac{10}{7})^2 = (\frac{7}{10})^{-2} = (0,7)^{-2}$.

Неравенство принимает вид: $(0,7)^{x^2 - 8x + 13} < (0,7)^{-2}$.

Так как основание степени $0,7 < 1$, знак неравенства для показателей меняется на противоположный:

$x^2 - 8x + 13 > -2$

$x^2 - 8x + 15 > 0$

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 8x + 15 = 0$. По теореме Виета, $x_1 + x_2 = 8$ и $x_1 \cdot x_2 = 15$. Корни равны $x_1 = 3$ и $x_2 = 5$.

Парабола $y = x^2 - 8x + 15$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется при $x \in (-\infty, 3) \cup (5, +\infty)$.

Решим второе неравенство: $\log_{0,5}(x + 16) < \log_{0,5}(x + 2) - 1$.

Найдем ОДЗ:

$x + 16 > 0 \implies x > -16$

$x + 2 > 0 \implies x > -2$

Пересечением является $x > -2$. ОДЗ: $x \in (-2, +\infty)$.

Преобразуем неравенство. Представим -1 как логарифм с основанием 0,5: $-1 = \log_{0,5}((0,5)^{-1}) = \log_{0,5}(2)$.

$\log_{0,5}(x + 16) < \log_{0,5}(x + 2) + \log_{0,5}(2)$

$\log_{0,5}(x + 16) < \log_{0,5}(2(x + 2))$

$\log_{0,5}(x + 16) < \log_{0,5}(2x + 4)$

Так как основание логарифма $0,5 < 1$, знак неравенства для аргументов меняется на противоположный:

$x + 16 > 2x + 4$

$12 > x$

$x < 12$

С учетом ОДЗ ($x > -2$), получаем решение второго неравенства: $x \in (-2, 12)$.

Найдем пересечение решений обоих неравенств: $(-\infty, 3) \cup (5, +\infty)$ и $(-2, 12)$.

Пересечение $(-\infty, 3)$ и $(-2, 12)$ дает интервал $(-2, 3)$.

Пересечение $(5, +\infty)$ и $(-2, 12)$ дает интервал $(5, 12)$.

Объединяя эти интервалы, получаем окончательное решение.

Ответ: $x \in (-2, 3) \cup (5, 12)$.