Номер 362, страница 171 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Берілген функцияның анықталу облысын табу үшін логарифм астындағы өрнектің оң болу шартын қарастырамыз. Функция $y = \log_2 \frac{\sin x - \cos x + 3\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ түрінде берілген.

Анықталу облысының шарты:

$\frac{\sin x - \cos x + 3\sqrt{2}}{\sqrt{2}} > 0$

Бөлшектің бөлімі $\sqrt{2}$ оң сан болғандықтан, теңсіздіктің екі жағын $\sqrt{2}$-ге көбейтіп, оны келесі түрге келтіруге болады:

$\sin x - \cos x + 3\sqrt{2} > 0$

$\sin x - \cos x$ өрнегін түрлендіру үшін қосымша аргумент енгізу әдісін қолданамыз. Бұл өрнекті $R\sin(x-\alpha)$ түріне келтіруге болады, мұнда $R = \sqrt{a^2+b^2}$. Біздің жағдайда $a=1, b=1$, сондықтан $R = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$.

$\sin x - \cos x = \sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x - \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x\right)$

$\cos\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ және $\sin\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ екенін біле отырып, айырманың синусы формуласын қолданамыз:

$\sqrt{2}\left(\sin x \cos\frac{\pi}{4} - \cos x \sin\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$

Енді бұл өрнекті бастапқы теңсіздікке қоямыз:

$\sqrt{2}\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) + 3\sqrt{2} > 0$

$\sqrt{2}$ ортақ көбейткішін жақшаның сыртына шығарамыз:

$\sqrt{2}\left(\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) + 3\right) > 0$

$\sqrt{2}$ оң сан болғандықтан, теңсіздіктің екі жағын $\sqrt{2}$-ге бөлеміз:

$\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) + 3 > 0$

$\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) > -3$

Синус функциясының мәндер жиыны $[-1, 1]$ аралығы болып табылады. Яғни, кез келген $x$ үшін $-1 \le \sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) \le 1$ теңсіздігі орындалады.

$\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$ өрнегінің ең кіші мәні $-1$-ге тең. $-1$ саны $-3$-тен үлкен болғандықтан ($-1 > -3$), $\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) > -3$ теңсіздігі $x$-тің кез келген нақты мәнінде әрқашан орындалады.

Демек, берілген функцияның анықталу облысы – барлық нақты сандар жиыны.

Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$