Номер 359, страница 170 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Решим иррациональное неравенство $\sqrt{4 - \sqrt{1 - x}} > \sqrt{2 - x}$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Для этого должны выполняться три условия:

1. Выражение под внутренним корнем должно быть неотрицательным: $1 - x \ge 0 \implies x \le 1$.

2. Выражение под корнем в правой части должно быть неотрицательным: $2 - x \ge 0 \implies x \le 2$.

3. Выражение под внешним корнем в левой части должно быть неотрицательным: $4 - \sqrt{1 - x} \ge 0 \implies 4 \ge \sqrt{1 - x}$. Поскольку обе части неотрицательны, можем возвести их в квадрат: $16 \ge 1 - x \implies x \ge -15$.

Объединяя все условия ($x \le 1$, $x \le 2$ и $x \ge -15$), получаем ОДЗ: $x \in [-15, 1]$.

Теперь решим само неравенство. В области допустимых значений обе части неравенства неотрицательны, поэтому мы можем возвести их в квадрат, сохранив знак неравенства:

$(\sqrt{4 - \sqrt{1 - x}})^2 > (\sqrt{2 - x})^2$

$4 - \sqrt{1 - x} > 2 - x$

Перенесем слагаемые, чтобы изолировать корень:

$4 - (2 - x) > \sqrt{1 - x}$

$2 + x > \sqrt{1 - x}$

Получили новое иррациональное неравенство. Рассмотрим два случая в зависимости от знака левой части $2+x$.

Случай 1: $2 + x < 0$, то есть $x < -2$.
В этом случае левая часть неравенства отрицательна, а правая часть (квадратный корень) неотрицательна. Отрицательное число не может быть больше неотрицательного, поэтому в этом случае решений нет.

Случай 2: $2 + x \ge 0$, то есть $x \ge -2$.
В этом случае обе части неравенства неотрицательны. Мы можем снова возвести их в квадрат:

$(2 + x)^2 > (\sqrt{1 - x})^2$

$4 + 4x + x^2 > 1 - x$

$x^2 + 5x + 3 > 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 + 5x + 3 = 0$ через дискриминант:

$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 25 - 12 = 13$

$x_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{13}}{2}$

Парабола $y = x^2 + 5x + 3$ ветвями вверх, поэтому неравенство $x^2 + 5x + 3 > 0$ выполняется при $x < \frac{-5 - \sqrt{13}}{2}$ или $x > \frac{-5 + \sqrt{13}}{2}$.

Теперь объединим полученное решение с условиями для этого случая ($x \ge -2$) и с ОДЗ ($x \in [-15, 1]$). Область, которую мы рассматриваем, это пересечение $x \ge -2$ и $x \in [-15, 1]$, что дает $x \in [-2, 1]$.

Найдем пересечение множества решений $(-\infty, \frac{-5 - \sqrt{13}}{2}) \cup (\frac{-5 + \sqrt{13}}{2}, \infty)$ с отрезком $[-2, 1]$.

Оценим значения корней: $3 < \sqrt{13} < 4$.
$\frac{-5 - \sqrt{13}}{2} \approx \frac{-5 - 3.6}{2} = -4.3$. Этот корень меньше $-2$, поэтому интервал $(-\infty, \frac{-5 - \sqrt{13}}{2})$ не пересекается с $[-2, 1]$.
$\frac{-5 + \sqrt{13}}{2} \approx \frac{-5 + 3.6}{2} = -0.7$. Это значение находится внутри отрезка $[-2, 1]$.

Таким образом, решением является пересечение $(\frac{-5 + \sqrt{13}}{2}, \infty)$ и $[-2, 1]$, что дает интервал $(\frac{-5 + \sqrt{13}}{2}, 1]$.

Ответ: $x \in (\frac{-5 + \sqrt{13}}{2}, 1]$.

2) Решим неравенство $\frac{1 - \sqrt{1 - 4x^2}}{x} < 3$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ).

1. Знаменатель не должен быть равен нулю: $x \ne 0$.

2. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $1 - 4x^2 \ge 0 \implies 4x^2 \le 1 \implies x^2 \le \frac{1}{4} \implies -\frac{1}{2} \le x \le \frac{1}{2}$.

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \in [-\frac{1}{2}, 0) \cup (0, \frac{1}{2}]$.

Чтобы избавиться от иррациональности в числителе, умножим числитель и знаменатель дроби на сопряженное выражение $1 + \sqrt{1 - 4x^2}$ (оно всегда положительно в ОДЗ).

$\frac{(1 - \sqrt{1 - 4x^2})(1 + \sqrt{1 - 4x^2})}{x(1 + \sqrt{1 - 4x^2})} < 3$

$\frac{1 - (1 - 4x^2)}{x(1 + \sqrt{1 - 4x^2})} < 3$

$\frac{4x^2}{x(1 + \sqrt{1 - 4x^2})} < 3$

Так как $x \ne 0$, мы можем сократить дробь на $x$:

$\frac{4x}{1 + \sqrt{1 - 4x^2}} < 3$

Рассмотрим два случая в зависимости от знака $x$.

Случай 1: $x > 0$. В ОДЗ это соответствует интервалу $x \in (0, \frac{1}{2}]$.
В этом случае знаменатель $1 + \sqrt{1 - 4x^2}$ положителен. Умножим обе части на него, не меняя знака неравенства:

$4x < 3(1 + \sqrt{1 - 4x^2})$

$4x - 3 < 3\sqrt{1 - 4x^2}$

Левая часть $4x-3$ на интервале $(0, \frac{1}{2}]$ отрицательна, так как $4x \le 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$, и $4x-3 \le 2-3=-1$. Правая часть $3\sqrt{1 - 4x^2}$ всегда неотрицательна. Неравенство "отрицательное число < неотрицательное число" всегда истинно. Следовательно, все $x$ из рассматриваемого интервала $(0, \frac{1}{2}]$ являются решениями.

Случай 2: $x < 0$. В ОДЗ это соответствует интервалу $x \in [-\frac{1}{2}, 0)$.
Рассмотрим неравенство $\frac{4x}{1 + \sqrt{1 - 4x^2}} < 3$.
При $x < 0$ числитель $4x$ отрицателен. Знаменатель $1 + \sqrt{1 - 4x^2}$ всегда положителен. Значит, вся дробь в левой части отрицательна. Неравенство "отрицательное число < 3" всегда истинно. Следовательно, все $x$ из рассматриваемого интервала $[-\frac{1}{2}, 0)$ являются решениями.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем, что неравенство выполняется для всех $x$ из области допустимых значений.

Ответ: $x \in [-\frac{1}{2}, 0) \cup (0, \frac{1}{2}]$.