Страница 170 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1)

Дано иррациональное неравенство $\sqrt{x^2 + x + 1} < 1$.

Решение такого неравенства вида $\sqrt{f(x)} < g(x)$ равносильно системе неравенств: $$ \begin{cases} f(x) \ge 0 \\ g(x) > 0 \\ f(x) < (g(x))^2 \end{cases} $$ В нашем случае $f(x) = x^2 + x + 1$ и $g(x) = 1$.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x^2 + x + 1 \ge 0$. Найдем дискриминант квадратного трехчлена $x^2 + x + 1$: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$. Поскольку дискриминант $D < 0$ и старший коэффициент $a = 1 > 0$, парабола $y = x^2 + x + 1$ полностью лежит выше оси Ox. Это означает, что выражение $x^2 + x + 1$ положительно при любых значениях $x$. Следовательно, ОДЗ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

2. Так как правая часть неравенства $1 > 0$, мы можем возвести обе части исходного неравенства в квадрат, не меняя знака неравенства: $(\sqrt{x^2 + x + 1})^2 < 1^2$ $x^2 + x + 1 < 1$

3. Решим полученное квадратное неравенство: $x^2 + x < 0$ Вынесем $x$ за скобки: $x(x + 1) < 0$ Найдем корни соответствующего уравнения $x(x + 1) = 0$. Корни: $x_1 = 0$ и $x_2 = -1$. Нанесем эти точки на числовую прямую и определим знаки выражения $x(x+1)$ в полученных интервалах.

Методом интервалов находим, что неравенство $x(x + 1) < 0$ выполняется при $x \in (-1; 0)$.

4. Поскольку ОДЗ - все действительные числа, решение неравенства совпадает с решением, полученным в пункте 3.

Ответ: $x \in (-1; 0)$.

2)

Дано иррациональное неравенство $\sqrt[4]{x - 5} < 3$.

Это неравенство вида $\sqrt[2n]{f(x)} < c$, где $c>0$. Его решение равносильно системе: $$ \begin{cases} f(x) \ge 0 \\ f(x) < c^{2n} \end{cases} $$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Так как корень четной степени, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x - 5 \ge 0$ $x \ge 5$ ОДЗ: $x \in [5; +\infty)$.

2. Возведем обе части неравенства в четвертую степень. Так как обе части неотрицательны, знак неравенства сохранится: $(\sqrt[4]{x - 5})^4 < 3^4$ $x - 5 < 81$

3. Решим полученное линейное неравенство: $x < 81 + 5$ $x < 86$

4. Найдем пересечение полученного решения $x < 86$ с областью допустимых значений $x \ge 5$. Получаем систему: $$ \begin{cases} x \ge 5 \\ x < 86 \end{cases} $$ Решением системы является интервал $5 \le x < 86$.

Ответ: $x \in [5; 86)$.

1) $4^{x+1} - 3 \cdot 2^x - 1 > 0$

Преобразуем неравенство, используя свойства степеней: $4^{x+1} = 4 \cdot 4^x = 4 \cdot (2^2)^x = 4 \cdot (2^x)^2$.

Неравенство принимает вид: $4 \cdot (2^x)^2 - 3 \cdot 2^x - 1 > 0$.

Это квадратное неравенство относительно $2^x$. Сделаем замену переменной: пусть $t = 2^x$. Так как показательная функция всегда положительна, то $t > 0$.

Получаем неравенство для $t$: $4t^2 - 3t - 1 > 0$.

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $4t^2 - 3t - 1 = 0$ с помощью дискриминанта. $D = (-3)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1) = 9 + 16 = 25 = 5^2$.

Корни уравнения: $t_1 = \frac{3 - 5}{8} = -\frac{1}{4}$ и $t_2 = \frac{3 + 5}{8} = 1$.

Поскольку старший коэффициент $4 > 0$, ветви параболы $y=4t^2-3t-1$ направлены вверх. Решением неравенства $4t^2 - 3t - 1 > 0$ является объединение промежутков $t < -1/4$ и $t > 1$.

Учитывая условие замены $t > 0$, решением для $t$ является $t > 1$.

Выполним обратную замену: $2^x > 1$.

Так как $1 = 2^0$, имеем $2^x > 2^0$.

Основание степени $2 > 1$, поэтому показательная функция является возрастающей. Следовательно, при переходе к показателям знак неравенства сохраняется: $x > 0$.

Ответ: $(0; +\infty)$.

2) $\log_{\sqrt{2}}(x^2 - 3x) \le 4$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ): выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным. $x^2 - 3x > 0$, что равносильно $x(x-3) > 0$.

Решением этого неравенства методом интервалов является объединение $x \in (-\infty; 0) \cup (3; +\infty)$.

Теперь решим основное неравенство. Основание логарифма $\sqrt{2} > 1$, поэтому логарифмическая функция является возрастающей. При потенцировании (избавлении от логарифма) знак неравенства сохраняется.

$x^2 - 3x \le (\sqrt{2})^4$.

Упростим правую часть: $(\sqrt{2})^4 = ((\sqrt{2})^2)^2 = 2^2 = 4$.

Получаем квадратное неравенство: $x^2 - 3x \le 4$, или $x^2 - 3x - 4 \le 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - 3x - 4 = 0$. По теореме Виета (или через дискриминант), корни равны $x_1 = -1$ и $x_2 = 4$.

Ветви параболы $y=x^2-3x-4$ направлены вверх, поэтому неравенство $x^2 - 3x - 4 \le 0$ выполняется на отрезке между корнями: $-1 \le x \le 4$, то есть $x \in [-1; 4]$.

Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ: $x \in [-1; 4] \cap ((-\infty; 0) \cup (3; +\infty))$.

Это соответствует объединению промежутков $x \in [-1; 0)$ и $x \in (3; 4]$.

Ответ: $[-1; 0) \cup (3; 4]$.

1)

Исходное неравенство:

$\frac{(x + 3)^2}{5} + 1 - \frac{(3x - 1)^2}{5} < \frac{x(2x - 3)}{2}$

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель, который для 5 и 2 равен 10.

$10 \cdot \left( \frac{(x + 3)^2}{5} + 1 - \frac{(3x - 1)^2}{5} \right) < 10 \cdot \frac{x(2x - 3)}{2}$

$2(x + 3)^2 + 10 - 2(3x - 1)^2 < 5x(2x - 3)$

Раскроем скобки, используя формулы сокращенного умножения $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ и $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.

$2(x^2 + 6x + 9) + 10 - 2(9x^2 - 6x + 1) < 10x^2 - 15x$

$2x^2 + 12x + 18 + 10 - 18x^2 + 12x - 2 < 10x^2 - 15x$

Приведем подобные слагаемые в левой части неравенства.

$(2x^2 - 18x^2) + (12x + 12x) + (18 + 10 - 2) < 10x^2 - 15x$

$-16x^2 + 24x + 26 < 10x^2 - 15x$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить квадратное неравенство с положительным коэффициентом при $x^2$.

$0 < 10x^2 - 15x + 16x^2 - 24x - 26$

$0 < 26x^2 - 39x - 26$

Для удобства разделим обе части на 13 (так как 13 > 0, знак неравенства не меняется).

$0 < 2x^2 - 3x - 2$ или $2x^2 - 3x - 2 > 0$.

Теперь решим соответствующее квадратное уравнение $2x^2 - 3x - 2 = 0$, чтобы найти его корни.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3 + 5}{4} = \frac{8}{4} = 2$.

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3 - 5}{4} = \frac{-2}{4} = -0.5$.

Мы решаем неравенство $2x^2 - 3x - 2 > 0$. Графиком функции $y=2x^2 - 3x - 2$ является парабола, ветви которой направлены вверх (так как коэффициент при $x^2$ равен 2, что больше 0). Парабола пересекает ось абсцисс в точках -0.5 и 2. Значения функции положительны (график выше оси Ox) левее меньшего корня и правее большего корня.

Таким образом, решение неравенства: $x < -0.5$ или $x > 2$.

В виде интервала: $x \in (-\infty; -0.5) \cup (2; +\infty)$.

Ответ: $(-\infty; -0.5) \cup (2; +\infty)$.

2)

Исходное неравенство:

$x - 7 + \frac{(x - 6)^2}{3} > \frac{(x + 4)^2}{2} - \frac{(x + 2)(x + 6)}{4}$

Найдем наименьший общий знаменатель дробей (3, 2 и 4), он равен 12. Умножим обе части неравенства на 12.

$12 \cdot (x - 7) + 12 \cdot \frac{(x - 6)^2}{3} > 12 \cdot \frac{(x + 4)^2}{2} - 12 \cdot \frac{(x + 2)(x + 6)}{4}$

$12x - 84 + 4(x - 6)^2 > 6(x + 4)^2 - 3(x + 2)(x + 6)$

Раскроем скобки.

$12x - 84 + 4(x^2 - 12x + 36) > 6(x^2 + 8x + 16) - 3(x^2 + 6x + 2x + 12)$

$12x - 84 + 4x^2 - 48x + 144 > 6x^2 + 48x + 96 - 3(x^2 + 8x + 12)$

$12x - 84 + 4x^2 - 48x + 144 > 6x^2 + 48x + 96 - 3x^2 - 24x - 36$

Приведем подобные слагаемые в каждой части неравенства.

Левая часть: $4x^2 + (12x - 48x) + (-84 + 144) = 4x^2 - 36x + 60$.

Правая часть: $(6x^2 - 3x^2) + (48x - 24x) + (96 - 36) = 3x^2 + 24x + 60$.

Неравенство принимает вид:

$4x^2 - 36x + 60 > 3x^2 + 24x + 60$

Перенесем все члены в левую часть.

$4x^2 - 3x^2 - 36x - 24x + 60 - 60 > 0$

$x^2 - 60x > 0$

Разложим левую часть на множители.

$x(x - 60) > 0$

Найдем корни соответствующего уравнения $x(x - 60) = 0$. Корнями являются $x_1 = 0$ и $x_2 = 60$.

Графиком функции $y=x^2-60x$ является парабола с ветвями вверх. Неравенство $x(x - 60) > 0$ выполняется, когда $x$ находится вне интервала между корнями.

Следовательно, решение неравенства: $x < 0$ или $x > 60$.

В виде интервала: $x \in (-\infty; 0) \cup (60; +\infty)$.

Ответ: $(-\infty; 0) \cup (60; +\infty)$.

1) Решим неравенство $\frac{\sqrt{x-2}-2}{x} < 0$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным, а знаменатель не должен быть равен нулю.

$\begin{cases} x-2 \ge 0 \\ x \ne 0 \end{cases}$

Из первого неравенства получаем $x \ge 2$. Условие $x \ne 0$ выполняется автоматически. Таким образом, ОДЗ: $x \in [2, +\infty)$.

Для решения неравенства воспользуемся методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя.

Нуль числителя:

$\sqrt{x-2}-2 = 0$

$\sqrt{x-2} = 2$

Возведем обе части в квадрат:

$x-2 = 4$

$x = 6$

Это значение принадлежит ОДЗ.

Нуль знаменателя:

$x = 0$

Это значение не принадлежит ОДЗ.

Нанесем ОДЗ и нуль числителя на числовую ось и определим знаки выражения на получившихся интервалах.

Проверим знак на интервале $[2, 6)$. Возьмем $x=3$: $\frac{\sqrt{3-2}-2}{3} = \frac{1-2}{3} = -\frac{1}{3} < 0$. Этот интервал подходит.

Проверим знак на интервале $(6, +\infty)$. Возьмем $x=11$: $\frac{\sqrt{11-2}-2}{11} = \frac{3-2}{11} = \frac{1}{11} > 0$. Этот интервал не подходит.

Поскольку неравенство строгое ($<0$), точка $x=6$ не включается в решение. Точка $x=2$ включается, так как при $x=2$ выражение равно $\frac{\sqrt{2-2}-2}{2} = -1 < 0$.

Таким образом, решение неравенства: $x \in [2; 6)$.

Ответ: $x \in [2; 6)$.

2) Решим неравенство $\frac{\sqrt{2x-1}-1}{x} < 0$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ).

$\begin{cases} 2x-1 \ge 0 \\ x \ne 0 \end{cases}$

Из первого неравенства получаем $2x \ge 1$, то есть $x \ge \frac{1}{2}$. Условие $x \ne 0$ выполняется. Таким образом, ОДЗ: $x \in [\frac{1}{2}, +\infty)$.

На ОДЗ знаменатель $x$ всегда положителен ($x > 0$). Следовательно, знак дроби совпадает со знаком числителя. Неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} \sqrt{2x-1}-1 < 0 \\ x \ge \frac{1}{2} \end{cases}$

Решим первое неравенство:

$\sqrt{2x-1} < 1$

Так как обе части неравенства неотрицательны, можем возвести их в квадрат:

$2x-1 < 1$

$2x < 2$

$x < 1$

Теперь объединим полученное решение с ОДЗ:

$\begin{cases} x < 1 \\ x \ge \frac{1}{2} \end{cases}$

Пересечением является интервал $[\frac{1}{2}, 1)$. Проверим граничные точки. При $x=1/2$ имеем $\frac{\sqrt{2(1/2)-1}-1}{1/2} = \frac{0-1}{1/2} = -2 < 0$, значит $x=1/2$ входит в решение. При $x=1$ числитель равен 0, все выражение равно 0, что не удовлетворяет строгому неравенству, поэтому $x=1$ не входит в решение.

Решение: $x \in [\frac{1}{2}; 1)$.

Ответ: $x \in [\frac{1}{2}; 1)$.

1) Решим неравенство $\frac{0.2^x - 0.008}{x^2 - 10x + 25} \le 0$.
Данное неравенство равносильно системе:
$ \begin{cases} (0.2^x - 0.008)(x^2 - 10x + 25) \le 0 \\ x^2 - 10x + 25 \ne 0 \end{cases} $
Рассмотрим числитель и знаменатель по отдельности.
1. Найдем нули числителя:
$0.2^x - 0.008 = 0$
$0.2^x = 0.008$
Представим 0.2 как $\frac{1}{5}$ и 0.008 как $\frac{8}{1000} = \frac{1}{125} = (\frac{1}{5})^3$.
$(\frac{1}{5})^x = (\frac{1}{5})^3$
$x = 3$
2. Найдем нули знаменателя:
$x^2 - 10x + 25 = 0$
Это полный квадрат разности: $(x-5)^2 = 0$.
$x - 5 = 0$
$x = 5$
Знаменатель не должен быть равен нулю, поэтому $x \ne 5$.
Заметим, что знаменатель $(x-5)^2$ всегда положителен при $x \ne 5$.
Следовательно, знак дроби зависит только от знака числителя $0.2^x - 0.008$.
Неравенство $\frac{0.2^x - 0.008}{(x-5)^2} \le 0$ сводится к решению $0.2^x - 0.008 \le 0$ при условии $x \ne 5$.
$0.2^x \le 0.008$
$(\frac{1}{5})^x \le (\frac{1}{5})^3$
Так как основание степени $0.2$ меньше 1 ($0 < 0.2 < 1$), при переходе к сравнению показателей знак неравенства меняется на противоположный.
$x \ge 3$
Учитывая ограничение $x \ne 5$, получаем решение.
Изобразим решение на числовой прямой:

Решением является объединение интервалов $[3, 5)$ и $(5, \infty)$.
Ответ: $x \in [3; 5) \cup (5; \infty)$.

2) Решим неравенство $\frac{x^2 + 6x + 9}{2^x - 4} > 0$.
Преобразуем числитель: $x^2 + 6x + 9 = (x+3)^2$.
Неравенство принимает вид: $\frac{(x+3)^2}{2^x - 4} > 0$.
Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не равен нулю.
$2^x - 4 \ne 0 \Rightarrow 2^x \ne 4 \Rightarrow 2^x \ne 2^2 \Rightarrow x \ne 2$.
Числитель $(x+3)^2$ всегда неотрицателен. Он равен нулю при $x=-3$. Так как неравенство строгое ($>0$), то $x \ne -3$.
При $x \ne -3$, числитель $(x+3)^2$ всегда положителен.
Чтобы вся дробь была положительной, необходимо, чтобы знаменатель также был положителен.
Решим неравенство:
$2^x - 4 > 0$
$2^x > 4$
$2^x > 2^2$
Так как основание степени 2 больше 1, при переходе к сравнению показателей знак неравенства сохраняется.
$x > 2$
Это решение удовлетворяет условиям $x \ne 2$ и $x \ne -3$.
Используем метод интервалов для проверки.
Нули числителя: $x=-3$. Нули знаменателя: $x=2$.
Наносим точки на числовую прямую. Обе точки выколоты, так как неравенство строгое и $x=2$ не входит в ОДЗ.

Проверяем знаки в интервалах:
- Интервал $(-\infty; -3)$: пусть $x=-4$, $\frac{(-4+3)^2}{2^{-4}-4} = \frac{1}{1/16 - 4} < 0$.
- Интервал $(-3; 2)$: пусть $x=0$, $\frac{(0+3)^2}{2^0-4} = \frac{9}{1-4} = -3 < 0$.
- Интервал $(2; \infty)$: пусть $x=3$, $\frac{(3+3)^2}{2^3-4} = \frac{36}{8-4} = 9 > 0$.
Нам нужен интервал, где выражение больше нуля. Это $(2; \infty)$.
Ответ: $x \in (2; \infty)$.

1) Решим неравенство $ \frac{\log_{0,5}(5x + 3)}{11 + 19x} < 0 $.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ).

Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$ 5x + 3 > 0 \implies 5x > -3 \implies x > -0,6 $.

Знаменатель дроби не должен быть равен нулю:

$ 11 + 19x \neq 0 \implies 19x \neq -11 \implies x \neq -\frac{11}{19} $.

Таким образом, ОДЗ: $ x \in (-0,6; -\frac{11}{19}) \cup (-\frac{11}{19}; +\infty) $.

2. Решим неравенство на ОДЗ, используя метод рационализации.

Исходное неравенство можно представить в виде $ \frac{\log_{0,5}(5x + 3) - \log_{0,5}(1)}{11 + 19x} < 0 $.

На ОДЗ числитель $ \log_{0,5}(5x+3) $ имеет тот же знак, что и выражение $ (0,5-1)(5x+3-1) $, поскольку $ \log_{a}f(x) $ знакотождественно $ (a-1)(f(x)-1) $ при $ f(x)>0 $.

Выполним замену: $ (0,5-1)(5x+3-1) = -0,5(5x+2) $.

Неравенство принимает вид:

$ \frac{-0,5(5x+2)}{11+19x} < 0 $

Разделим обе части на отрицательное число $ -0,5 $ и изменим знак неравенства на противоположный:

$ \frac{5x+2}{11+19x} > 0 $

3. Решим полученное рациональное неравенство методом интервалов.

Найдем корни числителя и знаменателя:

$ 5x+2=0 \implies x = -2/5 = -0,4 $.

$ 11+19x=0 \implies x = -11/19 $.

Отметим точки на числовой прямой и определим знаки выражения на интервалах. Так как неравенство строгое, обе точки будут выколотыми.

Решением неравенства $ \frac{5x+2}{11+19x} > 0 $ является объединение интервалов $ x \in (-\infty; -\frac{11}{19}) \cup (-0,4; +\infty) $.

4. Пересечем полученное решение с ОДЗ: $ x \in (-0,6; -\frac{11}{19}) \cup (-\frac{11}{19}; +\infty) $.

Так как $ -0,6 < -11/19 \approx -0,579 $, то пересечение множеств дает:

$ x \in (-0,6; -\frac{11}{19}) \cup (-0,4; +\infty) $.

Ответ: $ x \in (-0,6; -\frac{11}{19}) \cup (-0,4; +\infty) $.

2) Решим неравенство $ \frac{13x+16}{\log_{0,8}(4x+5)} \ge 0 $.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$ 4x + 5 > 0 \implies 4x > -5 \implies x > -1,25 $.

Знаменатель дроби не должен быть равен нулю:

$ \log_{0,8}(4x+5) \neq 0 \implies 4x+5 \neq (0,8)^0 \implies 4x+5 \neq 1 \implies 4x \neq -4 \implies x \neq -1 $.

Таким образом, ОДЗ: $ x \in (-1,25; -1) \cup (-1; +\infty) $.

2. Решим неравенство на ОДЗ, используя метод рационализации.

На ОДЗ знаменатель $ \log_{0,8}(4x+5) $ имеет тот же знак, что и выражение $ (0,8-1)(4x+5-1) $, так как $ \log_{a}f(x) $ знакотождественно $ (a-1)(f(x)-1) $.

Выполним замену: $ (0,8-1)(4x+4) = -0,2(4x+4) $.

Неравенство принимает вид:

$ \frac{13x+16}{-0,2(4x+4)} \ge 0 $

Разделим обе части на $ -0,2 $, изменив знак неравенства на противоположный:

$ \frac{13x+16}{4x+4} \le 0 \implies \frac{13x+16}{x+1} \le 0 $

3. Решим полученное рациональное неравенство методом интервалов.

Найдем корни числителя и знаменателя:

$ 13x+16 = 0 \implies x = -16/13 $.

$ x+1 = 0 \implies x = -1 $.

Отметим точки на числовой прямой. Точка $ x = -16/13 $ закрашенная (неравенство нестрогое), точка $ x = -1 $ выколотая (знаменатель).

Решением неравенства $ \frac{13x+16}{x+1} \le 0 $ является промежуток $ x \in [-16/13; -1) $.

4. Учтем ОДЗ: $ x \in (-1,25; -1) \cup (-1; +\infty) $.

Сравним $ -1,25 $ и $ -16/13 $. $ -1,25 = -5/4 $. $ -16/13 \approx -1,2307 $. Так как $ -1,25 < -16/13 $, то полученный промежуток $ [-16/13; -1) $ полностью принадлежит ОДЗ.

Следовательно, это и есть окончательное решение.

Ответ: $ x \in [-\frac{16}{13}; -1) $.

1)

Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} 2^{x^2 - 14x + 46} \ge \frac{1}{4} \\ 1 + \log_3(x - 4) < \log_3(x + 2) \end{cases} $

Решим первое неравенство: $2^{x^2 - 14x + 46} \ge \frac{1}{4}$.

Представим правую часть в виде степени с основанием 2: $\frac{1}{4} = 2^{-2}$.

Неравенство принимает вид: $2^{x^2 - 14x + 46} \ge 2^{-2}$.

Так как основание степени $2 > 1$, знак неравенства для показателей сохраняется:

$x^2 - 14x + 46 \ge -2$

$x^2 - 14x + 48 \ge 0$

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 14x + 48 = 0$. По теореме Виета, $x_1 + x_2 = 14$ и $x_1 \cdot x_2 = 48$. Корни равны $x_1 = 6$ и $x_2 = 8$.

Парабола $y = x^2 - 14x + 48$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется при $x \in (-\infty, 6] \cup [8, +\infty)$.

Решим второе неравенство: $1 + \log_3(x - 4) < \log_3(x + 2)$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$x - 4 > 0 \implies x > 4$

$x + 2 > 0 \implies x > -2$

Пересечением этих условий является $x > 4$. Таким образом, ОДЗ: $x \in (4, +\infty)$.

Преобразуем неравенство. Представим 1 как логарифм с основанием 3: $1 = \log_3(3)$.

$\log_3(3) + \log_3(x - 4) < \log_3(x + 2)$

$\log_3(3(x - 4)) < \log_3(x + 2)$

$\log_3(3x - 12) < \log_3(x + 2)$

Так как основание логарифма $3 > 1$, знак неравенства для аргументов сохраняется:

$3x - 12 < x + 2$

$2x < 14$

$x < 7$

С учетом ОДЗ ($x > 4$), получаем решение второго неравенства: $x \in (4, 7)$.

Найдем пересечение решений обоих неравенств: $(-\infty, 6] \cup [8, +\infty)$ и $(4, 7)$.

Пересечением является интервал $(4, 6]$.

Ответ: $x \in (4, 6]$.

2)

Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} (0,7)^{x^2 - 8x + 13} < \frac{100}{49} \\ \log_{0,5}(x + 16) < \log_{0,5}(x + 2) - 1 \end{cases} $

Решим первое неравенство: $(0,7)^{x^2 - 8x + 13} < \frac{100}{49}$.

Представим правую часть в виде степени с основанием 0,7: $\frac{100}{49} = (\frac{10}{7})^2 = (\frac{7}{10})^{-2} = (0,7)^{-2}$.

Неравенство принимает вид: $(0,7)^{x^2 - 8x + 13} < (0,7)^{-2}$.

Так как основание степени $0,7 < 1$, знак неравенства для показателей меняется на противоположный:

$x^2 - 8x + 13 > -2$

$x^2 - 8x + 15 > 0$

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 8x + 15 = 0$. По теореме Виета, $x_1 + x_2 = 8$ и $x_1 \cdot x_2 = 15$. Корни равны $x_1 = 3$ и $x_2 = 5$.

Парабола $y = x^2 - 8x + 15$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется при $x \in (-\infty, 3) \cup (5, +\infty)$.

Решим второе неравенство: $\log_{0,5}(x + 16) < \log_{0,5}(x + 2) - 1$.

Найдем ОДЗ:

$x + 16 > 0 \implies x > -16$

$x + 2 > 0 \implies x > -2$

Пересечением является $x > -2$. ОДЗ: $x \in (-2, +\infty)$.

Преобразуем неравенство. Представим -1 как логарифм с основанием 0,5: $-1 = \log_{0,5}((0,5)^{-1}) = \log_{0,5}(2)$.

$\log_{0,5}(x + 16) < \log_{0,5}(x + 2) + \log_{0,5}(2)$

$\log_{0,5}(x + 16) < \log_{0,5}(2(x + 2))$

$\log_{0,5}(x + 16) < \log_{0,5}(2x + 4)$

Так как основание логарифма $0,5 < 1$, знак неравенства для аргументов меняется на противоположный:

$x + 16 > 2x + 4$

$12 > x$

$x < 12$

С учетом ОДЗ ($x > -2$), получаем решение второго неравенства: $x \in (-2, 12)$.

Найдем пересечение решений обоих неравенств: $(-\infty, 3) \cup (5, +\infty)$ и $(-2, 12)$.

Пересечение $(-\infty, 3)$ и $(-2, 12)$ дает интервал $(-2, 3)$.

Пересечение $(5, +\infty)$ и $(-2, 12)$ дает интервал $(5, 12)$.

Объединяя эти интервалы, получаем окончательное решение.

Ответ: $x \in (-2, 3) \cup (5, 12)$.

Логарифмическая функция $y = \log_a(f(x))$ определена, когда ее аргумент строго положителен, то есть $f(x) > 0$.

Следовательно, функция является неопределенной, когда аргумент логарифма меньше или равен нулю, то есть $f(x) \le 0$. Также следует учесть, что знаменатель дроби в аргументе не может быть равен нулю.

Для данной функции $y = \log_{0,5}\left(\frac{3x^2 - 11x - 4}{5x^2 - 7x + 2}\right)$ условие неопределенности выглядит следующим образом:

$\frac{3x^2 - 11x - 4}{5x^2 - 7x + 2} \le 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Для этого найдем корни числителя и знаменателя дроби.

1. Найдем корни числителя, решив уравнение $3x^2 - 11x - 4 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 121 + 48 = 169 = 13^2$

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 - 13}{2 \cdot 3} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 + 13}{2 \cdot 3} = \frac{24}{6} = 4$

2. Найдем корни знаменателя, решив уравнение $5x^2 - 7x + 2 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 2 = 49 - 40 = 9 = 3^2$

Корни уравнения:

$x_3 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 3}{2 \cdot 5} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$

$x_4 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 3}{2 \cdot 5} = \frac{10}{10} = 1$

Теперь перепишем исходное неравенство, разложив числитель и знаменатель на множители:

$\frac{3(x + \frac{1}{3})(x - 4)}{5(x - \frac{2}{5})(x - 1)} \le 0$

Отметим на числовой оси критические точки: $-\frac{1}{3}$, $\frac{2}{5}$, $1$, $4$. Корни знаменателя ($\frac{2}{5}$ и $1$) являются выколотыми точками (обозначены пустыми кружками), так как они не входят в область определения. Корни числителя ($-\frac{1}{3}$ и $4$) являются закрашенными точками (обозначены сплошными кружками), так как неравенство нестрогое ($\le$).

Определим знаки выражения на каждом из полученных интервалов:

Неравенство $\le 0$ выполняется на тех интервалах, где стоит знак «-». С учетом типов точек (закрашенные и выколотые), получаем решение.

Функция не определена при $x$, принадлежащих объединению интервалов: $[-\frac{1}{3}, \frac{2}{5})$ и $(1, 4]$.

Ответ: $x \in [-\frac{1}{3}, \frac{2}{5}) \cup (1, 4]$

1)

Исходное неравенство: $ \frac{2x^2 - 9x + 4}{3x^2} \ge -1 $.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не должен быть равен нулю:$ 3x^2 \ne 0 $, что означает $ x \ne 0 $.

Перенесем все члены неравенства в левую часть:$ \frac{2x^2 - 9x + 4}{3x^2} + 1 \ge 0 $

Приведем к общему знаменателю:$ \frac{2x^2 - 9x + 4 + 3x^2}{3x^2} \ge 0 $

Упростим числитель:$ \frac{5x^2 - 9x + 4}{3x^2} \ge 0 $

Знаменатель $ 3x^2 $ всегда положителен при любом $ x $ из ОДЗ ($ x \ne 0 $). Следовательно, знак дроби зависит только от знака числителя. Неравенство равносильно системе:$ \begin{cases} 5x^2 - 9x + 4 \ge 0 \\ x \ne 0 \end{cases} $

Решим квадратное неравенство $ 5x^2 - 9x + 4 \ge 0 $. Для этого найдем корни уравнения $ 5x^2 - 9x + 4 = 0 $.Вычислим дискриминант: $ D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 4 = 81 - 80 = 1 $.Найдем корни:$ x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 - 1}{2 \cdot 5} = \frac{8}{10} = 0,8 $$ x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 + 1}{2 \cdot 5} = \frac{10}{10} = 1 $

Так как коэффициент при $ x^2 $ положителен ($ a=5>0 $), ветви параболы $ y = 5x^2 - 9x + 4 $ направлены вверх. Значит, неравенство $ 5x^2 - 9x + 4 \ge 0 $ выполняется при $ x \in (-\infty; 0,8] \cup [1; +\infty) $.

Теперь учтем ОДЗ ($ x \ne 0 $). Точка $ x=0 $ входит в промежуток $ (-\infty; 0,8] $. Исключив ее, получим решение:$ x \in (-\infty; 0) \cup (0; 0,8] \cup [1; +\infty) $.

Ответ: $ (-\infty; 0) \cup (0; 0,8] \cup [1; +\infty) $.

2)

Исходное неравенство: $ \frac{\sqrt{4 - x^2} \cdot (3 - 5x)^2}{(x + 3)(x - 0,5)(2x + 3)} > 0 $.

Решим неравенство методом интервалов. Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ).

1. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:$ 4 - x^2 \ge 0 \Rightarrow x^2 \le 4 \Rightarrow -2 \le x \le 2 $.

2. Знаменатель не должен быть равен нулю:$ (x + 3)(x - 0,5)(2x + 3) \ne 0 $.Отсюда $ x \ne -3 $, $ x \ne 0,5 $, $ x \ne -1,5 $.

Объединяя эти условия, получаем ОДЗ: $ x \in [-2; -1,5) \cup (-1,5; 0,5) \cup (0,5; 2] $.

Так как неравенство строгое ($ > 0 $), то числитель не может быть равен нулю.$ \sqrt{4 - x^2} \cdot (3 - 5x)^2 \ne 0 $.Это означает, что $ \sqrt{4 - x^2} \ne 0 $ и $ (3 - 5x)^2 \ne 0 $.$ 4 - x^2 \ne 0 \Rightarrow x \ne \pm 2 $.$ 3 - 5x \ne 0 \Rightarrow x \ne \frac{3}{5} \Rightarrow x \ne 0,6 $.

С учетом этих ограничений, область, на которой мы ищем решение, сужается до:$ x \in (-2; -1,5) \cup (-1,5; 0,5) \cup (0,5; 0,6) \cup (0,6; 2) $.

На этой области множители в числителе $ \sqrt{4 - x^2} $ и $ (3 - 5x)^2 $ всегда строго положительны. Поэтому знак всей дроби определяется знаком знаменателя:$ (x + 3)(x - 0,5)(2x + 3) > 0 $.

Найдем корни выражения в знаменателе: $ x = -3 $, $ x = 0,5 $, $ x = -1,5 $.Нанесем эти точки на числовую ось и определим знаки на интервалах.

Решением неравенства $ (x + 3)(x - 0,5)(2x + 3) > 0 $ является объединение интервалов: $ x \in (-3; -1,5) \cup (0,5; +\infty) $.

Теперь найдем пересечение этого решения с найденной ранее областью $ x \in (-2; -1,5) \cup (-1,5; 0,5) \cup (0,5; 0,6) \cup (0,6; 2) $.

1. Пересечение $ (-3; -1,5) $ с нашей областью дает $ (-2; -1,5) $.

2. Пересечение $ (0,5; +\infty) $ с нашей областью дает $ (0,5; 0,6) \cup (0,6; 2) $.

Объединив полученные интервалы, получаем окончательное решение.

Ответ: $ (-2; -1,5) \cup (0,5; 0,6) \cup (0,6; 2) $.

1) Решим иррациональное неравенство $\sqrt{4 - \sqrt{1 - x}} > \sqrt{2 - x}$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Для этого должны выполняться три условия:

1. Выражение под внутренним корнем должно быть неотрицательным: $1 - x \ge 0 \implies x \le 1$.

2. Выражение под корнем в правой части должно быть неотрицательным: $2 - x \ge 0 \implies x \le 2$.

3. Выражение под внешним корнем в левой части должно быть неотрицательным: $4 - \sqrt{1 - x} \ge 0 \implies 4 \ge \sqrt{1 - x}$. Поскольку обе части неотрицательны, можем возвести их в квадрат: $16 \ge 1 - x \implies x \ge -15$.

Объединяя все условия ($x \le 1$, $x \le 2$ и $x \ge -15$), получаем ОДЗ: $x \in [-15, 1]$.

Теперь решим само неравенство. В области допустимых значений обе части неравенства неотрицательны, поэтому мы можем возвести их в квадрат, сохранив знак неравенства:

$(\sqrt{4 - \sqrt{1 - x}})^2 > (\sqrt{2 - x})^2$

$4 - \sqrt{1 - x} > 2 - x$

Перенесем слагаемые, чтобы изолировать корень:

$4 - (2 - x) > \sqrt{1 - x}$

$2 + x > \sqrt{1 - x}$

Получили новое иррациональное неравенство. Рассмотрим два случая в зависимости от знака левой части $2+x$.

Случай 1: $2 + x < 0$, то есть $x < -2$.
В этом случае левая часть неравенства отрицательна, а правая часть (квадратный корень) неотрицательна. Отрицательное число не может быть больше неотрицательного, поэтому в этом случае решений нет.

Случай 2: $2 + x \ge 0$, то есть $x \ge -2$.
В этом случае обе части неравенства неотрицательны. Мы можем снова возвести их в квадрат:

$(2 + x)^2 > (\sqrt{1 - x})^2$

$4 + 4x + x^2 > 1 - x$

$x^2 + 5x + 3 > 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 + 5x + 3 = 0$ через дискриминант:

$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 25 - 12 = 13$

$x_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{13}}{2}$

Парабола $y = x^2 + 5x + 3$ ветвями вверх, поэтому неравенство $x^2 + 5x + 3 > 0$ выполняется при $x < \frac{-5 - \sqrt{13}}{2}$ или $x > \frac{-5 + \sqrt{13}}{2}$.

Теперь объединим полученное решение с условиями для этого случая ($x \ge -2$) и с ОДЗ ($x \in [-15, 1]$). Область, которую мы рассматриваем, это пересечение $x \ge -2$ и $x \in [-15, 1]$, что дает $x \in [-2, 1]$.

Найдем пересечение множества решений $(-\infty, \frac{-5 - \sqrt{13}}{2}) \cup (\frac{-5 + \sqrt{13}}{2}, \infty)$ с отрезком $[-2, 1]$.

Оценим значения корней: $3 < \sqrt{13} < 4$.
$\frac{-5 - \sqrt{13}}{2} \approx \frac{-5 - 3.6}{2} = -4.3$. Этот корень меньше $-2$, поэтому интервал $(-\infty, \frac{-5 - \sqrt{13}}{2})$ не пересекается с $[-2, 1]$.
$\frac{-5 + \sqrt{13}}{2} \approx \frac{-5 + 3.6}{2} = -0.7$. Это значение находится внутри отрезка $[-2, 1]$.

Таким образом, решением является пересечение $(\frac{-5 + \sqrt{13}}{2}, \infty)$ и $[-2, 1]$, что дает интервал $(\frac{-5 + \sqrt{13}}{2}, 1]$.

Ответ: $x \in (\frac{-5 + \sqrt{13}}{2}, 1]$.

2) Решим неравенство $\frac{1 - \sqrt{1 - 4x^2}}{x} < 3$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ).

1. Знаменатель не должен быть равен нулю: $x \ne 0$.

2. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $1 - 4x^2 \ge 0 \implies 4x^2 \le 1 \implies x^2 \le \frac{1}{4} \implies -\frac{1}{2} \le x \le \frac{1}{2}$.

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \in [-\frac{1}{2}, 0) \cup (0, \frac{1}{2}]$.

Чтобы избавиться от иррациональности в числителе, умножим числитель и знаменатель дроби на сопряженное выражение $1 + \sqrt{1 - 4x^2}$ (оно всегда положительно в ОДЗ).

$\frac{(1 - \sqrt{1 - 4x^2})(1 + \sqrt{1 - 4x^2})}{x(1 + \sqrt{1 - 4x^2})} < 3$

$\frac{1 - (1 - 4x^2)}{x(1 + \sqrt{1 - 4x^2})} < 3$

$\frac{4x^2}{x(1 + \sqrt{1 - 4x^2})} < 3$

Так как $x \ne 0$, мы можем сократить дробь на $x$:

$\frac{4x}{1 + \sqrt{1 - 4x^2}} < 3$

Рассмотрим два случая в зависимости от знака $x$.

Случай 1: $x > 0$. В ОДЗ это соответствует интервалу $x \in (0, \frac{1}{2}]$.
В этом случае знаменатель $1 + \sqrt{1 - 4x^2}$ положителен. Умножим обе части на него, не меняя знака неравенства:

$4x < 3(1 + \sqrt{1 - 4x^2})$

$4x - 3 < 3\sqrt{1 - 4x^2}$

Левая часть $4x-3$ на интервале $(0, \frac{1}{2}]$ отрицательна, так как $4x \le 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$, и $4x-3 \le 2-3=-1$. Правая часть $3\sqrt{1 - 4x^2}$ всегда неотрицательна. Неравенство "отрицательное число < неотрицательное число" всегда истинно. Следовательно, все $x$ из рассматриваемого интервала $(0, \frac{1}{2}]$ являются решениями.

Случай 2: $x < 0$. В ОДЗ это соответствует интервалу $x \in [-\frac{1}{2}, 0)$.
Рассмотрим неравенство $\frac{4x}{1 + \sqrt{1 - 4x^2}} < 3$.
При $x < 0$ числитель $4x$ отрицателен. Знаменатель $1 + \sqrt{1 - 4x^2}$ всегда положителен. Значит, вся дробь в левой части отрицательна. Неравенство "отрицательное число < 3" всегда истинно. Следовательно, все $x$ из рассматриваемого интервала $[-\frac{1}{2}, 0)$ являются решениями.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем, что неравенство выполняется для всех $x$ из области допустимых значений.

Ответ: $x \in [-\frac{1}{2}, 0) \cup (0, \frac{1}{2}]$.