Страница 166 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} 2\log_4^2 x - \log_4 x \cdot \log_4 y - 6\log_4^2 y = 0, \\ \log_4 x - 2 = -\log_{0,5} y; \end{cases} $
Область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$ и $y > 0$.
Преобразуем второе уравнение системы. Используем формулу перехода к новому основанию для логарифма: $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$.
$\log_{0,5} y = \log_{1/2} y = \log_{4^{-1/2}} y = \frac{1}{-1/2} \log_4 y = -2\log_4 y$.
Подставим это выражение во второе уравнение:
$\log_4 x - 2 = -(-2\log_4 y)$
$\log_4 x - 2 = 2\log_4 y$
$\log_4 x - 2\log_4 y = 2$.
Введем замену переменных: пусть $a = \log_4 x$ и $b = \log_4 y$.
Система примет вид:
$ \begin{cases} 2a^2 - ab - 6b^2 = 0, \\ a - 2b = 2. \end{cases} $
Первое уравнение является однородным. Разложим его на множители. Представим $-ab$ как $3ab - 4ab$:
$2a^2 + 3ab - 4ab - 6b^2 = 0$
$a(2a + 3b) - 2b(2a + 3b) = 0$
$(a - 2b)(2a + 3b) = 0$.
Из этого уравнения следует, что либо $a - 2b = 0$, либо $2a + 3b = 0$.
Рассмотрим оба случая, учитывая второе уравнение системы $a - 2b = 2$.
Случай 1: $ \begin{cases} a - 2b = 0, \\ a - 2b = 2. \end{cases} $
Эта система несовместна, так как $0 \ne 2$. Решений в этом случае нет.
Случай 2: $ \begin{cases} 2a + 3b = 0, \\ a - 2b = 2. \end{cases} $
Из второго уравнения выразим $a$: $a = 2b + 2$.
Подставим в первое уравнение:
$2(2b + 2) + 3b = 0$
$4b + 4 + 3b = 0$
$7b = -4 \implies b = -\frac{4}{7}$.
Найдем $a$: $a = 2(-\frac{4}{7}) + 2 = -\frac{8}{7} + \frac{14}{7} = \frac{6}{7}$.
Выполним обратную замену:
$\log_4 x = a = \frac{6}{7} \implies x = 4^{6/7}$.
$\log_4 y = b = -\frac{4}{7} \implies y = 4^{-4/7}$.
Найденные значения удовлетворяют ОДЗ ($x>0, y>0$).
Ответ: $(4^{6/7}, 4^{-4/7})$.

2) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} x \cdot 3^y + 3^{x+1} = 3^{y+1} + x \cdot 3^x, \\ y - (x+2)^{0,5} = 0. \end{cases} $
Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Из второго уравнения $y = (x+2)^{0,5} = \sqrt{x+2}$.
Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x+2 \ge 0 \implies x \ge -2$.
Так как значение арифметического квадратного корня неотрицательно, то $y \ge 0$.
Преобразуем первое уравнение системы:
$x \cdot 3^y + 3 \cdot 3^x = 3 \cdot 3^y + x \cdot 3^x$
Сгруппируем слагаемые:
$x \cdot 3^y - 3 \cdot 3^y = x \cdot 3^x - 3 \cdot 3^x$
$3^y(x - 3) = 3^x(x - 3)$
$3^y(x - 3) - 3^x(x - 3) = 0$
$(x - 3)(3^y - 3^x) = 0$.
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.
Случай 1: $x - 3 = 0 \implies x = 3$.
Подставим это значение во второе уравнение системы $y = \sqrt{x+2}$:
$y = \sqrt{3+2} = \sqrt{5}$.
Проверим найденное решение $(3, \sqrt{5})$ на соответствие ОДЗ: $x=3 \ge -2$ и $y=\sqrt{5} \ge 0$. Условия выполняются. Это первое решение.
Случай 2: $3^y - 3^x = 0 \implies 3^y = 3^x \implies y = x$.
Подставим $y=x$ во второе уравнение системы $y = \sqrt{x+2}$:
$x = \sqrt{x+2}$.
Для решения этого уравнения возведем обе части в квадрат. При этом необходимо учесть, что $x \ge 0$, так как $x$ равен значению арифметического корня.
$x^2 = x+2$
$x^2 - x - 2 = 0$.
По теореме Виета находим корни: $x_1 = 2$, $x_2 = -1$.
Корень $x_2 = -1$ не удовлетворяет условию $x \ge 0$, поэтому он является посторонним.
Остается корень $x_1 = 2$. Тогда $y = x = 2$.
Проверим найденное решение $(2, 2)$ на соответствие ОДЗ: $x=2 \ge -2$ и $y=2 \ge 0$. Условия выполняются. Это второе решение.
Ответ: $(2, 2), (3, \sqrt{5})$.

1)Рассмотрим систему уравнений:
$ \begin{cases} (x + y) \cdot 3^{y-x} = \frac{5}{27} \\ 3 \log_5(x+y) = x - y \end{cases} $
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием существования логарифма: $x+y > 0$.
Преобразуем второе уравнение системы. По определению логарифма:
$\log_5(x+y) = \frac{x-y}{3} \implies x+y = 5^{\frac{x-y}{3}}$.
Преобразуем первое уравнение, используя свойство степеней $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:
$(x+y) \cdot 3^{-(x-y)} = \frac{5}{27} \implies x+y = \frac{5}{27} \cdot 3^{x-y}$.
Введем замены: пусть $u = x+y$ и $v = x-y$. Тогда система примет вид:
$ \begin{cases} u = 5^{v/3} \\ u = \frac{5}{27} \cdot 3^v \end{cases} $
Приравняем правые части уравнений:
$5^{v/3} = \frac{5}{27} \cdot 3^v$.
Преобразуем уравнение, чтобы сгруппировать степени с одинаковым основанием:
$5^{v/3} \cdot 3^{-v} = 5 \cdot 3^{-3}$.
Чтобы привести степени к одному показателю $v/3$, представим $3^{-v}$ как $(3^3)^{-v/3} = 27^{-v/3}$:
$5^{v/3} \cdot 27^{-v/3} = 5 \cdot 3^{-3}$
$(\frac{5}{27})^{v/3} = \frac{5}{27}$
$(\frac{5}{27})^{v/3} = (\frac{5}{27})^1$.
Отсюда следует, что показатели степеней равны:
$\frac{v}{3} = 1 \implies v = 3$.
Теперь найдем $u$:
$u = 5^{v/3} = 5^{3/3} = 5^1 = 5$.
Возвращаемся к исходным переменным:
$ \begin{cases} x+y = u = 5 \\ x-y = v = 3 \end{cases} $
Сложим уравнения: $(x+y) + (x-y) = 5+3 \implies 2x = 8 \implies x=4$.
Найдем $y$: $y = 5-x = 5-4=1$.
Проверим, удовлетворяет ли решение $(4; 1)$ ОДЗ: $x+y = 4+1 = 5 > 0$. Условие выполнено.

Ответ: $(4; 1)$.

2)Рассмотрим систему уравнений:
$ \begin{cases} \frac{x^2}{y} + \frac{y^2}{x} = 12 \\ 2^{-\log_2 x} + 5^{\log_5 \frac{1}{y}} = \frac{1}{3} \end{cases} $
ОДЗ: из-за наличия дробей $x \neq 0, y \neq 0$. Из-за логарифмов $x > 0$ и $\frac{1}{y} > 0$, что означает $y > 0$. Таким образом, ОДЗ: $x>0, y>0$.
Упростим второе уравнение, используя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$ и его следствие $a^{-\log_a b} = a^{\log_a b^{-1}} = b^{-1} = \frac{1}{b}$:
$2^{-\log_2 x} = \frac{1}{x}$
$5^{\log_5 \frac{1}{y}} = \frac{1}{y}$
Второе уравнение принимает вид: $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{3}$.
Приведем левую часть к общему знаменателю: $\frac{x+y}{xy} = \frac{1}{3} \implies xy = 3(x+y)$.
Теперь преобразуем первое уравнение системы, приведя к общему знаменателю:
$\frac{x^3+y^3}{xy} = 12 \implies x^3+y^3 = 12xy$.
Сделаем замену переменных. Пусть $S=x+y$ и $P=xy$.
Система уравнений в новых переменных:
$ \begin{cases} P = 3S \\ x^3+y^3 = 12P \end{cases} $
Выразим $x^3+y^3$ через $S$ и $P$: $x^3+y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2) = (x+y)((x+y)^2-3xy) = S(S^2-3P)$.
Уравнение $x^3+y^3 = 12P$ превращается в $S(S^2-3P) = 12P$.
Подставим $P=3S$ в это уравнение:
$S(S^2-3(3S)) = 12(3S)$
$S(S^2-9S) = 36S$.
$S^3 - 9S^2 - 36S = 0$
$S(S^2 - 9S - 36) = 0$.
Так как по ОДЗ $x>0, y>0$, то их сумма $S = x+y > 0$. Поэтому $S \neq 0$, и мы можем разделить уравнение на $S$:
$S^2 - 9S - 36 = 0$.
Решим квадратное уравнение относительно $S$ через дискриминант:
$D = (-9)^2 - 4(1)(-36) = 81 + 144 = 225 = 15^2$.
$S_1 = \frac{9-15}{2} = -3$. Этот корень не подходит, так как $S>0$.
$S_2 = \frac{9+15}{2} = 12$. Этот корень подходит.
Итак, $S = 12$. Тогда $P = 3S = 3 \cdot 12 = 36$.
Возвращаемся к переменным $x$ и $y$: $x+y=12$ и $xy=36$.
Согласно обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - St + P = 0$:
$t^2 - 12t + 36 = 0$.
Это полный квадрат: $(t-6)^2 = 0$.
Уравнение имеет один корень $t=6$.
Следовательно, $x=6$ и $y=6$.
Решение удовлетворяет ОДЗ ($x>0, y>0$).

Ответ: $(6; 6)$.