Страница 176 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1. Айнымалысы модуль таңбасының ішінде болатын теңдеулер мен теңсіздіктерді шешудің модульсіз теңдеулер мен теңсіздіктерді шешуден басты айырмашылығы — шешу әдісінің күрделілігі мен құрылымында. Модульсіз теңдеулерді шешкенде, біз әдетте бүкіл сандар осінде орындалатын бірыңғай алгебралық түрлендірулерді қолданамыз. Ал модуль таңбасының болуы есепті бірнеше жағдайға немесе аралықтарға бөліп қарастыруды талап етеді.

Негізгі айырмашылықтар:

1.Анықталу облысын аралықтарға бөлу. Модульдің анықтамасы бойынша, $|a| = \begin{cases} a, & \text{егер } a \ge 0 \\ -a, & \text{егер } a < 0 \end{cases}$. Сондықтан, модуль ішіндегі өрнектің таңбасына байланысты кем дегенде екі жағдайды қарастыру керек. Ол үшін алдымен модуль ішіндегі өрнекті нөлге теңестіретін "критикалық нүктелер" табылады. Бұл нүктелер айнымалының мүмкін мәндер жиынын (сандар осін) бірнеше аралықтарға бөледі.

2.Әр аралықта жеке теңдеу/теңсіздік шешу. Әрбір аралықта модуль ішіндегі өрнектің таңбасы тұрақты болады (оң немесе теріс). Осы таңбаға сәйкес модуль таңбасы ашылады да, бастапқы теңдеу әр аралық үшін модульсіз, жаңа, қарапайым теңдеуге (немесе теңсіздікке) айналады.

3.Шешімдерді тексеру және біріктіру. Әр аралықта табылған шешім міндетті түрде сол аралыққа тиісті болуы керек. Егер шешім аралықтан тыс болса, ол жарамсыз (бөгде) түбір болып саналады. Соңында барлық аралықтардан алынған жарамды шешімдер жиыны біріктіріледі.

Модульсіз теңдеулер мен теңсіздіктерде мұндай аралықтарға бөлу, әр аралықта жеке шешу және шешімдерді тексеріп біріктіру қадамдары қажет емес.

Ответ: Айнымалысы модуль ішіндегі теңдеулерді/теңсіздіктерді шешу айнымалының мүмкін мәндер жиынын аралықтарға бөлуді, әр аралықта модульді ашып, жеке теңдеу/теңсіздік шешуді және соңында табылған шешімдердің сол аралыққа тиістілігін тексеріп, оларды біріктіруді талап етеді. Модульсіз есептерде бұл қадамдар орындалмайды.

2. Айнымалысы модуль таңбасының ішінде болатын теңдеулерді (теңсіздіктерді) шешу барысында әрбір аралықта шығарылатын теңдеулердің (теңсіздіктердің) бастапқы есепке мәндес (эквивалентті) болуын былай түсінуге болады: бұл мәндестік абсолютті емес, шартты болып табылады.

Яғни, модульді ашқаннан кейін пайда болған жаңа теңдеу бастапқы модульдік теңдеуге тек біз қарастырып отырған нақты аралықтың ішінде ғана мәндес болады. Басқаша айтқанда, олардың шешімдер жиыны тек сол аралықта ғана бірдей болады.

Мысалы, $|f(x)| = g(x)$ теңдеуін шешу керек болсын.

1. $f(x) \ge 0$ болатын аралықты қарастырайық. Бұл аралықта модульдің анықтамасы бойынша $|f(x)| = f(x)$ болады. Демек, бастапқы теңдеу $f(x) = g(x)$ теңдеуіне айналады. Бұл $f(x) = g(x)$ теңдеуі бастапқы $|f(x)| = g(x)$ теңдеуіне тек $f(x) \ge 0$ шарты орындалғанда ғана мәндес. Яғни, біз келесі жүйені шешеміз: $ \begin{cases} f(x) = g(x), \\ f(x) \ge 0. \end{cases} $ Егер $f(x) = g(x)$ теңдеуінің шешімі $f(x) \ge 0$ шартын қанағаттандырмаса, ол бастапқы теңдеудің шешімі бола алмайды.

2. $f(x) < 0$ болатын аралықты қарастырайық. Бұл аралықта $|f(x)| = -f(x)$ болады. Сонда бастапқы теңдеу $-f(x) = g(x)$ теңдеуіне айналады. Бұл теңдеу бастапқы теңдеуге тек $f(x) < 0$ шарты орындалғанда ғана мәндес. Яғни, біз мына жүйені шешеміз: $ \begin{cases} -f(x) = g(x), \\ f(x) < 0. \end{cases} $

Осылайша, әрбір аралықтағы теңдеудің бастапқы теңдеуге мәндес болуы дегеніміз – модульді ашу үшін қойылған шартты (мысалы, $f(x) \ge 0$) ескере отырып, сол шарт аясында ғана шешімдердің сәйкес келуі. Егер табылған шешім сол шартты қанағаттандырмаса, ол бөгде түбір болып есептеледі, себебі ол модульді ашу ережесін бұзады.

Ответ: Әрбір аралықта шығарылатын теңдеудің бастапқы теңдеуге мәндес болуы – бұл шартты мәндестік. Яғни, жаңа теңдеу бастапқы теңдеумен тек сол аралықты анықтайтын шарт орындалғанда ғана бірдей шешімдерге ие болады. Сол шартты қанағаттандырмайтын кез келген шешім бөгде түбір болып табылады.

1) $|x - \frac{3}{7}| = \frac{2}{5}$

Уравнение с модулем вида $|A| = B$ (где $B \ge 0$) равносильно совокупности двух уравнений:

$x - \frac{3}{7} = \frac{2}{5}$ или $x - \frac{3}{7} = -\frac{2}{5}$

Решим первое уравнение:

$x = \frac{2}{5} + \frac{3}{7}$

Приведем дроби к общему знаменателю 35:

$x = \frac{2 \cdot 7}{35} + \frac{3 \cdot 5}{35} = \frac{14 + 15}{35} = \frac{29}{35}$

Решим второе уравнение:

$x = -\frac{2}{5} + \frac{3}{7}$

$x = -\frac{14}{35} + \frac{15}{35} = \frac{1}{35}$

Ответ: $\frac{1}{35}; \frac{29}{35}$.

2) $|2x - 3| = x + 1$

По определению модуля, правая часть уравнения должна быть неотрицательной, то есть $x+1 \ge 0$, откуда $x \ge -1$.

При этом условии уравнение распадается на два случая:

Первый случай: $2x - 3 = x + 1$

$2x - x = 1 + 3$

$x = 4$.

Этот корень удовлетворяет условию $x \ge -1$.

Второй случай: $2x - 3 = -(x + 1)$

$2x - 3 = -x - 1$

$2x + x = 3 - 1$

$3x = 2$

$x = \frac{2}{3}$.

Этот корень также удовлетворяет условию $x \ge -1$.

Оба найденных значения являются решениями.

Ответ: $\frac{2}{3}; 4$.

3) $2|x| - |x+1| = 2$

Для решения этого уравнения используем метод интервалов. Найдем точки, в которых выражения под знаком модуля обращаются в ноль:

$x = 0$ и $x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1$.

Эти точки разбивают числовую ось на три промежутка: $(-\infty; -1)$, $[-1; 0)$ и $[0; \infty)$.

Рассмотрим уравнение на каждом промежутке.

1. При $x \in (-\infty; -1)$:

Оба выражения под модулем отрицательны: $|x| = -x$ и $|x+1| = -(x+1)$.

$2(-x) - (-(x+1)) = 2$

$-2x + x + 1 = 2$

$-x = 1 \Rightarrow x = -1$.

Этот корень не входит в интервал $x < -1$, но является его границей. Проверим его подстановкой в исходное уравнение: $2|-1| - |-1+1| = 2(1) - 0 = 2$. Равенство верно, значит $x=-1$ является корнем.

2. При $x \in [-1; 0)$:

$|x| = -x$ и $|x+1| = x+1$.

$2(-x) - (x+1) = 2$

$-2x - x - 1 = 2$

$-3x = 3 \Rightarrow x = -1$.

Этот корень принадлежит рассматриваемому промежутку $[-1, 0)$.

3. При $x \in [0; \infty)$:

Оба выражения под модулем неотрицательны: $|x| = x$ и $|x+1| = x+1$.

$2(x) - (x+1) = 2$

$2x - x - 1 = 2$

$x - 1 = 2 \Rightarrow x = 3$.

Этот корень принадлежит рассматриваемому промежутку $x \ge 0$.

Объединяя решения, получаем два корня.

Ответ: $-1; 3$.

4) $|x-2| + |x-3| + |2x-8| = 9$

Воспользуемся методом интервалов. Найдем нули подмодульных выражений:

$x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$

$x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$

$2x - 8 = 0 \Rightarrow x = 4$

Точки 2, 3, 4 делят числовую ось на четыре промежутка.

1. При $x < 2$:

Все подмодульные выражения отрицательны.

$-(x-2) - (x-3) - (2x-8) = 9$

$-x + 2 - x + 3 - 2x + 8 = 9$

$-4x + 13 = 9$

$-4x = -4 \Rightarrow x = 1$.

Корень $x=1$ удовлетворяет условию $x < 2$.

2. При $2 \le x < 3$:

$|x-2| = x-2$, остальные отрицательны.

$(x-2) - (x-3) - (2x-8) = 9$

$x - 2 - x + 3 - 2x + 8 = 9$

$-2x + 9 = 9$

$-2x = 0 \Rightarrow x = 0$.

Корень $x=0$ не принадлежит промежутку $[2, 3)$.

3. При $3 \le x < 4$:

$|x-2| = x-2$, $|x-3| = x-3$, $|2x-8| = -(2x-8)$.

$(x-2) + (x-3) - (2x-8) = 9$

$x - 2 + x - 3 - 2x + 8 = 9$

$3 = 9$.

Это неверное равенство, значит на этом промежутке корней нет.

4. При $x \ge 4$:

Все подмодульные выражения неотрицательны.

$(x-2) + (x-3) + (2x-8) = 9$

$x - 2 + x - 3 + 2x - 8 = 9$

$4x - 13 = 9$

$4x = 22 \Rightarrow x = \frac{22}{4} = \frac{11}{2} = 5,5$.

Корень $x=5,5$ удовлетворяет условию $x \ge 4$.

Объединяем все найденные решения.

Ответ: $1; 5,5$.

1) $x^2 - 5|x| = 0$

Поскольку $x^2 = |x|^2$, мы можем переписать уравнение, заменив $x^2$ на $|x|^2$:
$|x|^2 - 5|x| = 0$
Сделаем замену переменной. Пусть $y = |x|$. Так как модуль числа не может быть отрицательным, $y \ge 0$.
$y^2 - 5y = 0$
Вынесем $y$ за скобки:
$y(y - 5) = 0$
Это уравнение имеет два корня: $y_1 = 0$ и $y_2 = 5$. Оба корня удовлетворяют условию $y \ge 0$.
Теперь выполним обратную замену:
1. Если $|x| = 0$, то $x = 0$.
2. Если $|x| = 5$, то $x = 5$ или $x = -5$.
Таким образом, уравнение имеет три решения.
Ответ: $-5; 0; 5$.

2) $2x^2 + |x| - 3x = 0$

Для решения этого уравнения необходимо раскрыть модуль, рассмотрев два случая.
Случай 1: $x \ge 0$. В этом случае $|x| = x$.
Уравнение принимает вид:
$2x^2 + x - 3x = 0$
$2x^2 - 2x = 0$
$2x(x - 1) = 0$
Отсюда получаем корни $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$. Оба корня удовлетворяют условию $x \ge 0$, поэтому являются решениями исходного уравнения.
Случай 2: $x < 0$. В этом случае $|x| = -x$.
Уравнение принимает вид:
$2x^2 - x - 3x = 0$
$2x^2 - 4x = 0$
$2x(x - 2) = 0$
Отсюда получаем корни $x_3 = 0$ и $x_4 = 2$. Ни один из этих корней не удовлетворяет условию $x < 0$, поэтому они не являются решениями исходного уравнения.
Объединяя результаты, полученные в первом случае, находим все решения.
Ответ: $0; 1$.

3) $x^2 + |x + 4| = 4$

Раскроем модуль, рассмотрев два случая в зависимости от знака выражения под модулем.
Случай 1: $x + 4 \ge 0$, то есть $x \ge -4$. Тогда $|x + 4| = x + 4$.
Уравнение принимает вид:
$x^2 + x + 4 = 4$
$x^2 + x = 0$
$x(x + 1) = 0$
Корни: $x_1 = 0$ и $x_2 = -1$. Оба корня удовлетворяют условию $x \ge -4$, следовательно, являются решениями.
Случай 2: $x + 4 < 0$, то есть $x < -4$. Тогда $|x + 4| = -(x + 4) = -x - 4$.
Уравнение принимает вид:
$x^2 - (x + 4) = 4$
$x^2 - x - 4 = 4$
$x^2 - x - 8 = 0$
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 1 + 32 = 33$.
Корни: $x = \frac{1 \pm \sqrt{33}}{2}$.
Рассмотрим корень $x_3 = \frac{1 + \sqrt{33}}{2}$. Поскольку $\sqrt{33} > \sqrt{25}=5$, то $x_3 > \frac{1+5}{2} = 3$. Этот корень не удовлетворяет условию $x < -4$.
Рассмотрим корень $x_4 = \frac{1 - \sqrt{33}}{2}$. Поскольку $5 < \sqrt{33} < 6$, то $-5 > -\sqrt{33} > -6$, значит $-4 > 1-\sqrt{33} > -5$, и $-2 > \frac{1-\sqrt{33}}{2} > -2.5$. Этот корень также не удовлетворяет условию $x < -4$.
Таким образом, во втором случае решений нет.
Ответ: $-1; 0$.

4) $x^2 - |x - 5| = 5$

Раскроем модуль, рассмотрев два случая.
Случай 1: $x - 5 \ge 0$, то есть $x \ge 5$. Тогда $|x - 5| = x - 5$.
Уравнение принимает вид:
$x^2 - (x - 5) = 5$
$x^2 - x + 5 = 5$
$x^2 - x = 0$
$x(x - 1) = 0$
Корни: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$. Ни один из них не удовлетворяет условию $x \ge 5$.
Случай 2: $x - 5 < 0$, то есть $x < 5$. Тогда $|x - 5| = -(x - 5) = 5 - x$.
Уравнение принимает вид:
$x^2 - (5 - x) = 5$
$x^2 + x - 5 = 5$
$x^2 + x - 10 = 0$
Решим квадратное уравнение:
$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 1 + 40 = 41$.
Корни: $x = \frac{-1 \pm \sqrt{41}}{2}$.
Рассмотрим корень $x_3 = \frac{-1 + \sqrt{41}}{2}$. Поскольку $6 < \sqrt{41} < 7$, то $5 < -1+\sqrt{41} < 6$, и $2.5 < \frac{-1+\sqrt{41}}{2} < 3$. Этот корень удовлетворяет условию $x < 5$.
Рассмотрим корень $x_4 = \frac{-1 - \sqrt{41}}{2}$. Он очевидно отрицателен, поэтому также удовлетворяет условию $x < 5$.
Таким образом, оба корня, полученные во втором случае, являются решениями.
Ответ: $\frac{-1 - \sqrt{41}}{2}; \frac{-1 + \sqrt{41}}{2}$.

1) $|3x + 1| < 4$

Неравенство вида $|f(x)| < a$ (где $a>0$) равносильно двойному неравенству $-a < f(x) < a$.

Применим это правило к нашему неравенству:

$-4 < 3x + 1 < 4$

Вычтем 1 из всех частей неравенства, чтобы выделить слагаемое с $x$:

$-4 - 1 < 3x < 4 - 1$

$-5 < 3x < 3$

Теперь разделим все части неравенства на 3:

$-\frac{5}{3} < x < 1$

Таким образом, решение неравенства представляет собой интервал от $-\frac{5}{3}$ до $1$.

Ответ: $(-\frac{5}{3}; 1)$

2) $|5 - 2x| > 1$

Неравенство вида $|f(x)| > a$ (где $a>0$) равносильно совокупности двух неравенств: $f(x) > a$ или $f(x) < -a$.

В данном случае получаем совокупность:

$5 - 2x > 1$ или $5 - 2x < -1$

Решим первое неравенство:

$5 - 2x > 1$

$-2x > 1 - 5$

$-2x > -4$

При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x < 2$

Решим второе неравенство:

$5 - 2x < -1$

$-2x < -1 - 5$

$-2x < -6$

$x > 3$

Объединяя решения, получаем, что $x$ должен быть меньше 2 или больше 3.

Ответ: $(-\infty; 2) \cup (3; \infty)$

3) $|2x - 5| \geq x - 1$

Для решения этого неравенства раскроем модуль, рассмотрев два случая в зависимости от знака подмодульного выражения.

Случай 1: Подмодульное выражение неотрицательно, то есть $2x - 5 \geq 0$, что эквивалентно $x \geq 2.5$.

В этом случае $|2x - 5| = 2x - 5$. Неравенство принимает вид:

$2x - 5 \geq x - 1$

$2x - x \geq 5 - 1$

$x \geq 4$

Решение $x \geq 4$ удовлетворяет условию $x \geq 2.5$. Следовательно, $x \in [4; \infty)$ является частью решения.

Случай 2: Подмодульное выражение отрицательно, то есть $2x - 5 < 0$, что эквивалентно $x < 2.5$.

В этом случае $|2x - 5| = -(2x - 5) = 5 - 2x$. Неравенство принимает вид:

$5 - 2x \geq x - 1$

$5 + 1 \geq x + 2x$

$6 \geq 3x$

$2 \geq x$, или $x \leq 2$.

Решение $x \leq 2$ удовлетворяет условию $x < 2.5$. Следовательно, $x \in (-\infty; 2]$ является второй частью решения.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем итоговый ответ.

Ответ: $(-\infty; 2] \cup [4; \infty)$

4) $|x| + |x + 3| < 5$

Для решения этого неравенства применим метод интервалов. Найдем точки, в которых выражения под модулями обращаются в ноль: $x=0$ и $x+3=0 \implies x=-3$.

Эти точки делят числовую ось на три интервала, на каждом из которых мы раскроем модули.

Интервал 1: $x < -3$.

На этом интервале $x < 0$ и $x+3 < 0$, поэтому $|x| = -x$ и $|x+3| = -(x+3) = -x-3$.

Неравенство принимает вид: $-x + (-x - 3) < 5$

$-2x - 3 < 5 \implies -2x < 8 \implies x > -4$.

С учетом условия $x < -3$, получаем решение для этого интервала: $-4 < x < -3$.

Интервал 2: $-3 \leq x < 0$.

На этом интервале $x < 0$ и $x+3 \geq 0$, поэтому $|x| = -x$ и $|x+3| = x+3$.

Неравенство принимает вид: $-x + (x + 3) < 5$

$3 < 5$.

Это верное числовое неравенство, значит, все значения $x$ из этого интервала $[-3; 0)$ являются решением.

Интервал 3: $x \geq 0$.

На этом интервале $x \geq 0$ и $x+3 > 0$, поэтому $|x| = x$ и $|x+3| = x+3$.

Неравенство принимает вид: $x + (x + 3) < 5$

$2x + 3 < 5 \implies 2x < 2 \implies x < 1$.

С учетом условия $x \geq 0$, получаем решение для этого интервала: $0 \leq x < 1$.

Объединим все найденные решения: $(-4; -3) \cup [-3; 0) \cup [0; 1)$. Это объединение дает один сплошной интервал.

Ответ: $(-4; 1)$

1) Решим уравнение $|x^2 - x - 8| = -x$.

Уравнение вида $|f(x)| = g(x)$ равносильно системе, в которой правая часть должна быть неотрицательной ($g(x) \ge 0$), а подмодульное выражение равно либо $g(x)$, либо $-g(x)$.

1. Найдём область допустимых значений (ОДЗ). Правая часть уравнения не может быть отрицательной:

$-x \ge 0$, что равносильно $x \le 0$.

2. Раскроем модуль. Это приводит к совокупности двух уравнений, которые нужно решить с учётом ОДЗ.

Случай а): $x^2 - x - 8 = -x$

$x^2 - 8 = 0$

$x^2 = 8$

$x_1 = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$, $x_2 = -\sqrt{8} = -2\sqrt{2}$.

Проверим корни на принадлежность ОДЗ ($x \le 0$):

Корень $x_1 = 2\sqrt{2}$ не удовлетворяет условию $x \le 0$.

Корень $x_2 = -2\sqrt{2}$ удовлетворяет условию $x \le 0$.

Случай б): $x^2 - x - 8 = -(-x)$

$x^2 - x - 8 = x$

$x^2 - 2x - 8 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна $2$, а их произведение равно $-8$. Следовательно, корни уравнения: $x_3 = 4$ и $x_4 = -2$.

Проверим эти корни на принадлежность ОДЗ ($x \le 0$):

Корень $x_3 = 4$ не удовлетворяет условию $x \le 0$.

Корень $x_4 = -2$ удовлетворяет условию $x \le 0$.

Объединяя подходящие корни из обоих случаев, получаем решения исходного уравнения.

Ответ: $-2\sqrt{2}; -2$.

2) Решим уравнение $|x^2 + 2x + 3| = 3x + 45$.

1. Исследуем выражение под знаком модуля: $x^2 + 2x + 3$. Это квадратичная функция. Найдём её дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8$.

Поскольку дискриминант $D < 0$ и старший коэффициент $a = 1 > 0$, парабола $y = x^2 + 2x + 3$ целиком расположена выше оси Ox. Это означает, что выражение $x^2 + 2x + 3$ всегда положительно при любом действительном значении $x$.

Следовательно, $|x^2 + 2x + 3| = x^2 + 2x + 3$, и уравнение можно переписать без знака модуля.

2. Учтём, что левая часть уравнения (модуль) всегда неотрицательна, поэтому и правая часть должна быть неотрицательной. Найдём область допустимых значений (ОДЗ):

$3x + 45 \ge 0$

$3x \ge -45$

$x \ge -15$

3. Решим получившееся уравнение с учётом ОДЗ:

$x^2 + 2x + 3 = 3x + 45$

$x^2 + 2x - 3x + 3 - 45 = 0$

$x^2 - x - 42 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна $1$, а их произведение равно $-42$. Следовательно, корни уравнения: $x_1 = 7$ и $x_2 = -6$.

4. Проверим найденные корни на принадлежность ОДЗ ($x \ge -15$):

Корень $x_1 = 7$ удовлетворяет условию $7 \ge -15$.

Корень $x_2 = -6$ удовлетворяет условию $-6 \ge -15$.

Оба корня являются решениями исходного уравнения.

Ответ: $-6; 7$.

1)

Исходное уравнение: $ \sqrt{4-x} = 3 - |x-1| $

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ).
1. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $ 4-x \ge 0 $, что означает $ x \le 4 $.
2. Правая часть уравнения также должна быть неотрицательной, так как она равна арифметическому квадратному корню: $ 3 - |x-1| \ge 0 $, что означает $ |x-1| \le 3 $.
Решим неравенство с модулем: $ -3 \le x-1 \le 3 $. Прибавив 1 ко всем частям, получим $ -2 \le x \le 4 $.
Объединяя оба условия ($ x \le 4 $ и $ -2 \le x \le 4 $), получаем итоговую ОДЗ: $ x \in [-2, 4] $.

Теперь рассмотрим два случая, раскрывая модуль.

Случай 1: $ x - 1 \ge 0 $, то есть $ x \ge 1 $.
С учетом ОДЗ, рассматриваем промежуток $ x \in [1, 4] $.
На этом промежутке $|x-1| = x-1$. Уравнение принимает вид:
$ \sqrt{4-x} = 3 - (x-1) $
$ \sqrt{4-x} = 4-x $
Пусть $ y = \sqrt{4-x} $, тогда $ y^2 = 4-x $. Уравнение становится $ y = y^2 $.
$ y^2 - y = 0 $
$ y(y-1) = 0 $
Отсюда $ y=0 $ или $ y=1 $.
Если $ y=0 $, то $ \sqrt{4-x} = 0 \implies 4-x = 0 \implies x=4 $. Этот корень принадлежит промежутку $ [1, 4] $.
Если $ y=1 $, то $ \sqrt{4-x} = 1 \implies 4-x = 1 \implies x=3 $. Этот корень также принадлежит промежутку $ [1, 4] $.
В этом случае мы получили два корня: $ x=3 $ и $ x=4 $.

Случай 2: $ x - 1 < 0 $, то есть $ x < 1 $.
С учетом ОДЗ, рассматриваем промежуток $ x \in [-2, 1) $.
На этом промежутке $|x-1| = -(x-1) = 1-x$. Уравнение принимает вид:
$ \sqrt{4-x} = 3 - (1-x) $
$ \sqrt{4-x} = 2+x $
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$ 4-x = (2+x)^2 $
$ 4-x = 4 + 4x + x^2 $
$ x^2 + 5x = 0 $
$ x(x+5) = 0 $
Получаем два потенциальных корня: $ x=0 $ и $ x=-5 $.
Проверяем их принадлежность промежутку $ [-2, 1) $.
$ x=0 $ принадлежит промежутку $ [-2, 1) $, значит, это корень.
$ x=-5 $ не принадлежит промежутку $ [-2, 1) $, значит, это посторонний корень.

Объединяем решения из обоих случаев.
Ответ: $ \{0, 3, 4\} $

2)

Исходное уравнение: $ \sqrt{3-x+3} = x+2 $, что можно упростить до $ \sqrt{6-x} = x+2 $

Определим область допустимых значений (ОДЗ).
1. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $ 6-x \ge 0 $, что означает $ x \le 6 $.
2. Правая часть уравнения должна быть неотрицательной: $ x+2 \ge 0 $, что означает $ x \ge -2 $.
Итоговая ОДЗ: $ x \in [-2, 6] $.

Возведем обе части уравнения в квадрат, так как на ОДЗ они обе неотрицательны:
$ (\sqrt{6-x})^2 = (x+2)^2 $
$ 6-x = x^2 + 4x + 4 $
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
$ x^2 + 4x + x + 4 - 6 = 0 $
$ x^2 + 5x - 2 = 0 $

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $ D = b^2 - 4ac $:
$ D = 5^2 - 4(1)(-2) = 25 + 8 = 33 $
Поскольку $ D > 0 $, уравнение имеет два корня:
$ x_1 = \frac{-5 - \sqrt{33}}{2} $
$ x_2 = \frac{-5 + \sqrt{33}}{2} $

Теперь проверим, принадлежат ли эти корни ОДЗ ($ x \in [-2, 6] $).
Для $ x_1 = \frac{-5 - \sqrt{33}}{2} $:
Так как $ \sqrt{25} < \sqrt{33} < \sqrt{36} $, то $ 5 < \sqrt{33} < 6 $.
Значит, $ -5 - \sqrt{33} < -5 - 5 = -10 $.
$ x_1 = \frac{-5 - \sqrt{33}}{2} < \frac{-10}{2} = -5 $.
Поскольку $ -5 < -2 $, корень $ x_1 $ не входит в ОДЗ и является посторонним.

Для $ x_2 = \frac{-5 + \sqrt{33}}{2} $:
Используя те же оценки для $ \sqrt{33} $:
$ -5 + 5 < -5 + \sqrt{33} < -5 + 6 \implies 0 < -5 + \sqrt{33} < 1 $.
Тогда $ \frac{0}{2} < \frac{-5 + \sqrt{33}}{2} < \frac{1}{2} \implies 0 < x_2 < 0.5 $.
Значение $ x_2 $ находится в интервале $ [-2, 6] $, следовательно, это действительный корень уравнения.

Ответ: $ \frac{-5+\sqrt{33}}{2} $

1) $|x^2 - 4| - |9 - x^2| = 5$

Воспользуемся свойством модуля $|a| = |-a|$, чтобы упростить второе слагаемое: $|9 - x^2| = |-(x^2 - 9)| = |x^2 - 9|$.

Исходное уравнение принимает вид:

$|x^2 - 4| - |x^2 - 9| = 5$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = x^2$. Так как $x^2 \ge 0$, то $y \ge 0$.

Получаем уравнение с новой переменной:

$|y - 4| - |y - 9| = 5$

Решим это уравнение методом интервалов. Нули подмодульных выражений: $y = 4$ и $y = 9$. Они разбивают числовую прямую (с учетом условия $y \ge 0$) на три промежутка: $[0, 4)$, $[4, 9)$ и $[9, \infty)$.

Случай 1: $y \in [0, 4)$, то есть $0 \le y < 4$.
На этом промежутке $y - 4 < 0$ и $y - 9 < 0$.
Следовательно, $|y - 4| = -(y - 4) = 4 - y$ и $|y - 9| = -(y - 9) = 9 - y$.
Уравнение принимает вид:
$(4 - y) - (9 - y) = 5$
$4 - y - 9 + y = 5$
$-5 = 5$
Получено неверное равенство, следовательно, на этом промежутке решений нет.

Случай 2: $y \in [4, 9)$, то есть $4 \le y < 9$.
На этом промежутке $y - 4 \ge 0$ и $y - 9 < 0$.
Следовательно, $|y - 4| = y - 4$ и $|y - 9| = -(y - 9) = 9 - y$.
Уравнение принимает вид:
$(y - 4) - (9 - y) = 5$
$y - 4 - 9 + y = 5$
$2y - 13 = 5$
$2y = 18$
$y = 9$
Полученное значение $y=9$ не принадлежит рассматриваемому интервалу $[4, 9)$. Решений нет.

Случай 3: $y \in [9, \infty)$, то есть $y \ge 9$.
На этом промежутке $y - 4 > 0$ и $y - 9 \ge 0$.
Следовательно, $|y - 4| = y - 4$ и $|y - 9| = y - 9$.
Уравнение принимает вид:
$(y - 4) - (y - 9) = 5$
$y - 4 - y + 9 = 5$
$5 = 5$
Получено верное тождество, следовательно, все значения $y$ из этого промежутка являются решениями уравнения. То есть, $y \ge 9$.

Теперь вернемся к исходной переменной $x$.
Мы нашли, что $y \ge 9$. Так как $y = x^2$, получаем неравенство:
$x^2 \ge 9$
$x^2 - 9 \ge 0$
$(x - 3)(x + 3) \ge 0$
Решением этого неравенства является объединение промежутков $x \le -3$ и $x \ge 3$.

Ответ: $x \in (-\infty, -3] \cup [3, \infty)$.

2) $3^x + 9 - |9 - 3^x| = |x - 6| + x$

Рассмотрим левую часть уравнения и раскроем модуль $|9 - 3^x|$, в зависимости от знака подмодульного выражения.

Случай 1: Если $9 - 3^x \ge 0$, то есть $3^x \le 9$, что эквивалентно $x \le 2$.
В этом случае $|9 - 3^x| = 9 - 3^x$.
Левая часть уравнения становится: $3^x + 9 - (9 - 3^x) = 3^x + 9 - 9 + 3^x = 2 \cdot 3^x$.
При условии $x \le 2$ исходное уравнение принимает вид:
$2 \cdot 3^x = |x - 6| + x$
Так как $x \le 2$, то $x-6$ всегда отрицательно, значит $|x - 6| = -(x - 6) = 6 - x$.
Подставляем:
$2 \cdot 3^x = (6 - x) + x$
$2 \cdot 3^x = 6$
$3^x = 3$
$x = 1$
Корень $x=1$ удовлетворяет условию $x \le 2$, следовательно, является решением.

Случай 2: Если $9 - 3^x < 0$, то есть $3^x > 9$, что эквивалентно $x > 2$.
В этом случае $|9 - 3^x| = -(9 - 3^x) = 3^x - 9$.
Левая часть уравнения становится: $3^x + 9 - (3^x - 9) = 3^x + 9 - 3^x + 9 = 18$.
При условии $x > 2$ исходное уравнение принимает вид:
$18 = |x - 6| + x$
Для раскрытия модуля $|x-6|$ нужно рассмотреть два подслучая.
Подслучай 2a: $2 < x < 6$.
В этом интервале $x - 6 < 0$, поэтому $|x - 6| = -(x - 6) = 6 - x$.
Уравнение становится:
$18 = (6 - x) + x$
$18 = 6$
Получено неверное равенство, значит в интервале $(2, 6)$ решений нет.
Подслучай 2b: $x \ge 6$.
В этом интервале $x - 6 \ge 0$, поэтому $|x - 6| = x - 6$.
Уравнение становится:
$18 = (x - 6) + x$
$18 = 2x - 6$
$24 = 2x$
$x = 12$
Корень $x=12$ удовлетворяет условию $x \ge 6$, следовательно, является решением.

Объединяя все найденные решения, получаем два корня.

Ответ: $\{1; 12\}$.