Номер 369, страница 176 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Параграф 22. Айнымалылары модуль таңбасының iшiнде болатын тендеулер мен теңсiздiктердi шешу. V тарау. Теңдеулер мен теңсiздiктер, теңдеулер және теңсiздiктер жүйелерi - номер 369, страница 176.

Условие.

Решение 2 (rus).

1) Решим уравнение $|x^2 - x - 8| = -x$.

Уравнение вида $|f(x)| = g(x)$ равносильно системе, в которой правая часть должна быть неотрицательной ($g(x) \ge 0$), а подмодульное выражение равно либо $g(x)$, либо $-g(x)$.

1. Найдём область допустимых значений (ОДЗ). Правая часть уравнения не может быть отрицательной:

$-x \ge 0$, что равносильно $x \le 0$.

2. Раскроем модуль. Это приводит к совокупности двух уравнений, которые нужно решить с учётом ОДЗ.

Случай а): $x^2 - x - 8 = -x$

$x^2 - 8 = 0$

$x^2 = 8$

$x_1 = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$, $x_2 = -\sqrt{8} = -2\sqrt{2}$.

Проверим корни на принадлежность ОДЗ ($x \le 0$):

Корень $x_1 = 2\sqrt{2}$ не удовлетворяет условию $x \le 0$.

Корень $x_2 = -2\sqrt{2}$ удовлетворяет условию $x \le 0$.

Случай б): $x^2 - x - 8 = -(-x)$

$x^2 - x - 8 = x$

$x^2 - 2x - 8 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна $2$, а их произведение равно $-8$. Следовательно, корни уравнения: $x_3 = 4$ и $x_4 = -2$.

Проверим эти корни на принадлежность ОДЗ ($x \le 0$):

Корень $x_3 = 4$ не удовлетворяет условию $x \le 0$.

Корень $x_4 = -2$ удовлетворяет условию $x \le 0$.

Объединяя подходящие корни из обоих случаев, получаем решения исходного уравнения.

Ответ: $-2\sqrt{2}; -2$.

2) Решим уравнение $|x^2 + 2x + 3| = 3x + 45$.

1. Исследуем выражение под знаком модуля: $x^2 + 2x + 3$. Это квадратичная функция. Найдём её дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8$.

Поскольку дискриминант $D < 0$ и старший коэффициент $a = 1 > 0$, парабола $y = x^2 + 2x + 3$ целиком расположена выше оси Ox. Это означает, что выражение $x^2 + 2x + 3$ всегда положительно при любом действительном значении $x$.

Следовательно, $|x^2 + 2x + 3| = x^2 + 2x + 3$, и уравнение можно переписать без знака модуля.

2. Учтём, что левая часть уравнения (модуль) всегда неотрицательна, поэтому и правая часть должна быть неотрицательной. Найдём область допустимых значений (ОДЗ):

$3x + 45 \ge 0$

$3x \ge -45$

$x \ge -15$

3. Решим получившееся уравнение с учётом ОДЗ:

$x^2 + 2x + 3 = 3x + 45$

$x^2 + 2x - 3x + 3 - 45 = 0$

$x^2 - x - 42 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна $1$, а их произведение равно $-42$. Следовательно, корни уравнения: $x_1 = 7$ и $x_2 = -6$.

4. Проверим найденные корни на принадлежность ОДЗ ($x \ge -15$):

Корень $x_1 = 7$ удовлетворяет условию $7 \ge -15$.

Корень $x_2 = -6$ удовлетворяет условию $-6 \ge -15$.

Оба корня являются решениями исходного уравнения.

Ответ: $-6; 7$.