Номер 372, страница 177 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1)Дана система уравнений:
$$\begin{cases}2x + 3|y| = 13, \\3x - y = 3.\end{cases}$$
Для решения этой системы, содержащей модуль $|y|$, необходимо рассмотреть два случая.

Случай 1: $y \ge 0$
В этом случае $|y| = y$, и система уравнений принимает вид:
$$\begin{cases}2x + 3y = 13, \\3x - y = 3.\end{cases}$$
Из второго уравнения выразим $y$: $y = 3x - 3$.
Подставим это выражение в первое уравнение:
$2x + 3(3x - 3) = 13$
$2x + 9x - 9 = 13$
$11x = 22$
$x = 2$

Теперь найдем значение $y$:
$y = 3(2) - 3 = 6 - 3 = 3$

Получили пару чисел $(2, 3)$. Проверим, удовлетворяет ли она условию $y \ge 0$. Так как $3 \ge 0$, данное решение является решением исходной системы.

Случай 2: $y < 0$
В этом случае $|y| = -y$, и система уравнений принимает вид:
$$\begin{cases}2x - 3y = 13, \\3x - y = 3.\end{cases}$$
Из второго уравнения выразим $y$: $y = 3x - 3$.
Подставим это выражение в первое уравнение:
$2x - 3(3x - 3) = 13$
$2x - 9x + 9 = 13$
$-7x = 4$
$x = -\frac{4}{7}$

Теперь найдем значение $y$:
$y = 3(-\frac{4}{7}) - 3 = -\frac{12}{7} - \frac{21}{7} = -\frac{33}{7}$

Получили пару чисел $(-\frac{4}{7}, -\frac{33}{7})$. Проверим, удовлетворяет ли она условию $y < 0$. Так как $-\frac{33}{7} < 0$, данное решение также является решением исходной системы.

Ответ: $(2, 3)$, $(-\frac{4}{7}, -\frac{33}{7})$.

2)Дана система уравнений:
$$\begin{cases}3|x| + 5y + 9 = 0, \\2x - |y| - 7 = 0.\end{cases}$$
Для решения этой системы, содержащей модули $|x|$ и $|y|$, необходимо рассмотреть четыре случая, раскрывая модули в зависимости от знаков $x$ и $y$.

Случай 1: $x \ge 0, y \ge 0$
При этих условиях $|x| = x$ и $|y| = y$. Система принимает вид:
$$\begin{cases}3x + 5y + 9 = 0, \\2x - y - 7 = 0.\end{cases}$$
Из второго уравнения выразим $y$: $y = 2x - 7$.
Подставим в первое уравнение:
$3x + 5(2x - 7) + 9 = 0$
$3x + 10x - 35 + 9 = 0$
$13x - 26 = 0 \implies x = 2$.
Тогда $y = 2(2) - 7 = 4 - 7 = -3$.
Полученное решение $(2, -3)$ не удовлетворяет условию $y \ge 0$. Следовательно, в этом случае решений нет.

Случай 2: $x < 0, y \ge 0$
При этих условиях $|x| = -x$ и $|y| = y$. Система принимает вид:
$$\begin{cases}-3x + 5y + 9 = 0, \\2x - y - 7 = 0.\end{cases}$$
Из второго уравнения $y = 2x - 7$.
Подставим в первое уравнение:
$-3x + 5(2x - 7) + 9 = 0$
$-3x + 10x - 35 + 9 = 0$
$7x - 26 = 0 \implies x = \frac{26}{7}$.
Полученное значение $x = \frac{26}{7}$ не удовлетворяет условию $x < 0$. Следовательно, в этом случае решений нет.

Случай 3: $x \ge 0, y < 0$
При этих условиях $|x| = x$ и $|y| = -y$. Система принимает вид:
$$\begin{cases}3x + 5y + 9 = 0, \\2x - (-y) - 7 = 0.\end{cases}\implies\begin{cases}3x + 5y + 9 = 0, \\2x + y - 7 = 0.\end{cases}$$
Из второго уравнения выразим $y$: $y = 7 - 2x$.
Подставим в первое уравнение:
$3x + 5(7 - 2x) + 9 = 0$
$3x + 35 - 10x + 9 = 0$
$-7x + 44 = 0 \implies x = \frac{44}{7}$.
Тогда $y = 7 - 2(\frac{44}{7}) = \frac{49-88}{7} = -\frac{39}{7}$.
Получили решение $(\frac{44}{7}, -\frac{39}{7})$. Проверим условия: $x = \frac{44}{7} \ge 0$ (верно) и $y = -\frac{39}{7} < 0$ (верно). Значит, это решение подходит.

Случай 4: $x < 0, y < 0$
При этих условиях $|x| = -x$ и $|y| = -y$. Система принимает вид:
$$\begin{cases}-3x + 5y + 9 = 0, \\2x - (-y) - 7 = 0.\end{cases}\implies\begin{cases}-3x + 5y + 9 = 0, \\2x + y - 7 = 0.\end{cases}$$
Из второго уравнения $y = 7 - 2x$.
Подставим в первое уравнение:
$-3x + 5(7 - 2x) + 9 = 0$
$-3x + 35 - 10x + 9 = 0$
$-13x + 44 = 0 \implies x = \frac{44}{13}$.
Полученное значение $x = \frac{44}{13}$ не удовлетворяет условию $x < 0$. Следовательно, в этом случае решений нет.

Объединяя результаты по всем случаям, получаем единственное решение.

Ответ: $(\frac{44}{7}, -\frac{39}{7})$.