Номер 379, страница 177 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1)

Исходное неравенство: $|2^{4x^2-1} - 5| \le 3$.

Неравенство с модулем вида $|A| \le B$ равносильно двойному неравенству $-B \le A \le B$.

Применим это правило:

$-3 \le 2^{4x^2-1} - 5 \le 3$

Прибавим 5 ко всем частям неравенства:

$-3 + 5 \le 2^{4x^2-1} \le 3 + 5$

$2 \le 2^{4x^2-1} \le 8$

Представим числа 2 и 8 в виде степеней с основанием 2:

$2^1 \le 2^{4x^2-1} \le 2^3$

Так как основание степени (2) больше 1, то для показателей степени неравенство сохраняет свой знак:

$1 \le 4x^2 - 1 \le 3$

Снова решаем двойное неравенство. Прибавим 1 ко всем частям:

$1 + 1 \le 4x^2 \le 3 + 1$

$2 \le 4x^2 \le 4$

Разделим все части на 4:

$\frac{2}{4} \le x^2 \le \frac{4}{4}$

$\frac{1}{2} \le x^2 \le 1$

Это двойное неравенство эквивалентно системе двух неравенств:

$\begin{cases} x^2 \ge \frac{1}{2} \\ x^2 \le 1 \end{cases}$

Решением первого неравенства $x^2 \ge \frac{1}{2}$ является объединение интервалов $x \in (-\infty, -\sqrt{\frac{1}{2}}] \cup [\sqrt{\frac{1}{2}}, \infty)$, что равносильно $x \in (-\infty, -\frac{\sqrt{2}}{2}] \cup [\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty)$.

Решением второго неравенства $x^2 \le 1$ является интервал $x \in [-1, 1]$.

Для получения окончательного ответа найдем пересечение этих решений:

$(-\infty, -\frac{\sqrt{2}}{2}] \cup [\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty) \cap [-1, 1]$

Результатом пересечения является объединение двух интервалов: $[-1, -\frac{\sqrt{2}}{2}] \cup [\frac{\sqrt{2}}{2}, 1]$.

Ответ: $x \in [-1, -\frac{\sqrt{2}}{2}] \cup [\frac{\sqrt{2}}{2}, 1]$.

2)

Исходное неравенство: $\log_{0.25} |\frac{2x+1}{x+3} + \frac{1}{2}| > \frac{1}{2}$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля. Так как выражение находится под знаком модуля, оно всегда неотрицательно. Нам нужно лишь исключить случаи, когда аргумент равен нулю или не определен.

Выражение не определено, если знаменатель $x+3=0$, то есть $x \ne -3$.

Найдем, когда выражение под модулем равно нулю. Сначала упростим его:

$\frac{2x+1}{x+3} + \frac{1}{2} = \frac{2(2x+1) + 1(x+3)}{2(x+3)} = \frac{4x+2+x+3}{2(x+3)} = \frac{5x+5}{2(x+3)} = \frac{5(x+1)}{2(x+3)}$

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю: $5(x+1)=0 \implies x=-1$.

Таким образом, ОДЗ: $x \ne -3$ и $x \ne -1$.

Перейдем к решению неравенства. Подставим упрощенное выражение:

$\log_{0.25} |\frac{5(x+1)}{2(x+3)}| > \frac{1}{2}$

Основание логарифма $0.25$ находится в интервале $(0, 1)$, поэтому при избавлении от логарифма знак неравенства меняется на противоположный:

$|\frac{5(x+1)}{2(x+3)}| < (0.25)^{\frac{1}{2}}$

$|\frac{5(x+1)}{2(x+3)}| < \sqrt{0.25}$

$|\frac{5(x+1)}{2(x+3)}| < 0.5$, что то же самое, что и $|\frac{5(x+1)}{2(x+3)}| < \frac{1}{2}$.

Неравенство вида $|A| < B$ равносильно двойному неравенству $-B < A < B$:

$-\frac{1}{2} < \frac{5(x+1)}{2(x+3)} < \frac{1}{2}$

Умножим все части на 2:

$-1 < \frac{5(x+1)}{x+3} < 1$

Это двойное неравенство эквивалентно системе:

$\begin{cases} \frac{5(x+1)}{x+3} < 1 \\ \frac{5(x+1)}{x+3} > -1 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $\frac{5x+5}{x+3} - 1 < 0 \implies \frac{5x+5 - (x+3)}{x+3} < 0 \implies \frac{4x+2}{x+3} < 0 \implies \frac{2(2x+1)}{x+3} < 0$. Решая методом интервалов, получаем $x \in (-3, -1/2)$.

Решим второе неравенство: $\frac{5x+5}{x+3} + 1 > 0 \implies \frac{5x+5 + x+3}{x+3} > 0 \implies \frac{6x+8}{x+3} > 0 \implies \frac{2(3x+4)}{x+3} > 0$. Решая методом интервалов, получаем $x \in (-\infty, -3) \cup (-4/3, \infty)$.

Найдем пересечение решений системы: $(-3, -1/2) \cap ((-\infty, -3) \cup (-4/3, \infty))$. Пересечением является интервал $(-4/3, -1/2)$.

Теперь учтем ОДЗ ($x \ne -3$ и $x \ne -1$). Точка $x=-3$ не входит в найденный интервал. Точка $x=-1$ входит в интервал $(-4/3, -1/2)$, поэтому ее необходимо исключить из решения.

Итоговое решение: $x \in (-4/3, -1) \cup (-1, -1/2)$.

Ответ: $x \in (-\frac{4}{3}, -1) \cup (-1, -\frac{1}{2})$.