Номер 380, страница 177 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1)

Решим каждое неравенство системы по отдельности.

Первое неравенство: $x^2 + 5x < 6$.

Перенесем все члены в левую часть: $x^2 + 5x - 6 < 0$.

Чтобы решить это квадратное неравенство, найдем корни соответствующего уравнения $x^2 + 5x - 6 = 0$.

Используя теорему Виета, находим корни: $x_1 = -6$ и $x_2 = 1$.

Графиком функции $y = x^2 + 5x - 6$ является парабола с ветвями, направленными вверх (так как коэффициент при $x^2$ положителен). Значения функции меньше нуля между корнями.

Следовательно, решение первого неравенства: $x \in (-6, 1)$.

Второе неравенство: $x + 1 \le 1$.

Вычтем 1 из обеих частей неравенства:

$x \le 1 - 1$

$x \le 0$

Решение второго неравенства: $x \in (-\infty, 0]$.

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств. Нам нужно найти общие значения для интервалов $x \in (-6, 1)$ и $x \in (-\infty, 0]$.

Пересечением этих двух множеств является интервал $(-6, 0]$.

Ответ: $x \in (-6, 0]$

2)

Решим каждое неравенство системы по отдельности.

Первое неравенство: $|x^2 - 4x| < 5$.

Неравенство с модулем вида $|a| < b$ (где $b>0$) равносильно двойному неравенству $-b < a < b$.

Таким образом, $|x^2 - 4x| < 5$ равносильно $-5 < x^2 - 4x < 5$.

Это двойное неравенство можно разбить на систему из двух неравенств:

$ \begin{cases} x^2 - 4x < 5 \\ x^2 - 4x > -5 \end{cases} \implies \begin{cases} x^2 - 4x - 5 < 0 \\ x^2 - 4x + 5 > 0 \end{cases} $

Решим первое неравенство системы: $x^2 - 4x - 5 < 0$.

Корни уравнения $x^2 - 4x - 5 = 0$ равны $x_1 = -1$ и $x_2 = 5$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями: $x \in (-1, 5)$.

Решим второе неравенство системы: $x^2 - 4x + 5 > 0$.

Найдем дискриминант квадратного трехчлена: $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4$.

Так как дискриминант отрицателен ($D < 0$) и старший коэффициент положителен ($a=1 > 0$), выражение $x^2 - 4x + 5$ всегда положительно для любого действительного значения $x$. Решение: $x \in (-\infty, +\infty)$.

Решением системы $ \begin{cases} x \in (-1, 5) \\ x \in (-\infty, +\infty) \end{cases} $ является пересечение этих интервалов, то есть $x \in (-1, 5)$.

Второе неравенство: $|x + 1| < 3$.

Это неравенство равносильно двойному неравенству $-3 < x + 1 < 3$.

Вычтем 1 из всех частей неравенства:

$-3 - 1 < x < 3 - 1$

$-4 < x < 2$

Решение второго неравенства: $x \in (-4, 2)$.

Наконец, найдем пересечение решений обоих неравенств системы: $x \in (-1, 5)$ и $x \in (-4, 2)$.

Пересечением этих двух интервалов является интервал $(-1, 2)$.

Ответ: $x \in (-1, 2)$