Номер 377, страница 177 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1)

Исходное уравнение имеет вид $a^b = 1$. Такое уравнение может выполняться в трех случаях:

1. Основание $a = 1$.

2. Показатель степени $b = 0$, при этом основание $a \ne 0$.

3. Основание $a = -1$, при этом показатель степени $b$ — четное целое число.

В данном уравнении основание $a = |x-2|$ и показатель степени $b = 10x^2 - 3x - 1$.

Рассмотрим каждый случай:

Случай 1: Основание равно 1.

$|x-2| = 1$

Это уравнение распадается на два:

$x-2 = 1 \implies x = 3$

$x-2 = -1 \implies x = 1$

Оба значения являются корнями исходного уравнения.

Случай 2: Показатель степени равен 0, а основание не равно 0.

$10x^2 - 3x - 1 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 10 \cdot (-1) = 9 + 40 = 49 = 7^2$

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 7}{2 \cdot 10} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 7}{2 \cdot 10} = \frac{-4}{20} = -\frac{1}{5}$

Теперь нужно проверить, что при этих значениях $x$ основание $|x-2|$ не равно нулю. Основание равно нулю при $x=2$. Поскольку найденные корни $x=1/2$ и $x=-1/5$ не равны 2, оба они являются решениями исходного уравнения.

Случай 3: Основание равно -1.

$|x-2| = -1$

Это уравнение не имеет решений, так как модуль любого числа не может быть отрицательным.

Объединяя все найденные корни, получаем итоговый набор решений.

Ответ: $x \in \{-\frac{1}{5}; \frac{1}{2}; 1; 3\}$.

2)

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

$3x - 1 > 0 \implies 3x > 1 \implies x > \frac{1}{3}$

$5 - 2x > 0 \implies 5 > 2x \implies x < \frac{5}{2}$

Таким образом, ОДЗ: $x \in (\frac{1}{3}; \frac{5}{2})$.

Преобразуем исходное уравнение, используя свойства логарифмов $\log_a b - \log_a c = \log_a(\frac{b}{c})$ и заменив $1$ на $\log_2 2$:

$|\log_2(3x-1) - \log_2 3| = |\log_2(5-2x) - \log_2 2|$

$|\log_2\left(\frac{3x-1}{3}\right)| = |\log_2\left(\frac{5-2x}{2}\right)|$

Уравнение вида $|A| = |B|$ равносильно совокупности двух уравнений: $A = B$ и $A = -B$.

Случай 1: Аргументы модулей равны.

$\log_2\left(\frac{3x-1}{3}\right) = \log_2\left(\frac{5-2x}{2}\right)$

Так как основания логарифмов одинаковы, приравниваем их аргументы:

$\frac{3x-1}{3} = \frac{5-2x}{2}$

$2(3x-1) = 3(5-2x)$

$6x-2 = 15 - 6x$

$12x = 17 \implies x = \frac{17}{12}$

Проверим, принадлежит ли корень ОДЗ: $\frac{1}{3} = \frac{4}{12}$ и $\frac{5}{2} = \frac{30}{12}$. Так как $\frac{4}{12} < \frac{17}{12} < \frac{30}{12}$, корень $x = \frac{17}{12}$ подходит.

Случай 2: Аргументы модулей противоположны.

$\log_2\left(\frac{3x-1}{3}\right) = -\log_2\left(\frac{5-2x}{2}\right)$

Используя свойство $-\log_a b = \log_a(\frac{1}{b})$, получаем:

$\log_2\left(\frac{3x-1}{3}\right) = \log_2\left(\frac{2}{5-2x}\right)$

Приравниваем аргументы логарифмов:

$\frac{3x-1}{3} = \frac{2}{5-2x}$

$(3x-1)(5-2x) = 3 \cdot 2$

$15x - 6x^2 - 5 + 2x = 6$

$-6x^2 + 17x - 11 = 0$

$6x^2 - 17x + 11 = 0$

Решаем квадратное уравнение:

$D = (-17)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 11 = 289 - 264 = 25 = 5^2$

$x_1 = \frac{17 + 5}{12} = \frac{22}{12} = \frac{11}{6}$

$x_2 = \frac{17 - 5}{12} = \frac{12}{12} = 1$

Проверим оба корня на принадлежность ОДЗ $(\frac{1}{3}; \frac{5}{2})$.

Для $x_1 = \frac{11}{6}$: $\frac{1}{3} = \frac{2}{6}$ и $\frac{5}{2} = \frac{15}{6}$. Так как $\frac{2}{6} < \frac{11}{6} < \frac{15}{6}$, корень подходит.

Для $x_2 = 1$: $\frac{1}{3} < 1 < \frac{5}{2}$, корень подходит.

Таким образом, уравнение имеет три корня.

Ответ: $x \in \{1; \frac{11}{6}; \frac{17}{12}\}$.