Номер 354, страница 170 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Решим неравенство $\frac{0.2^x - 0.008}{x^2 - 10x + 25} \le 0$.
Данное неравенство равносильно системе:
$ \begin{cases} (0.2^x - 0.008)(x^2 - 10x + 25) \le 0 \\ x^2 - 10x + 25 \ne 0 \end{cases} $
Рассмотрим числитель и знаменатель по отдельности.
1. Найдем нули числителя:
$0.2^x - 0.008 = 0$
$0.2^x = 0.008$
Представим 0.2 как $\frac{1}{5}$ и 0.008 как $\frac{8}{1000} = \frac{1}{125} = (\frac{1}{5})^3$.
$(\frac{1}{5})^x = (\frac{1}{5})^3$
$x = 3$
2. Найдем нули знаменателя:
$x^2 - 10x + 25 = 0$
Это полный квадрат разности: $(x-5)^2 = 0$.
$x - 5 = 0$
$x = 5$
Знаменатель не должен быть равен нулю, поэтому $x \ne 5$.
Заметим, что знаменатель $(x-5)^2$ всегда положителен при $x \ne 5$.
Следовательно, знак дроби зависит только от знака числителя $0.2^x - 0.008$.
Неравенство $\frac{0.2^x - 0.008}{(x-5)^2} \le 0$ сводится к решению $0.2^x - 0.008 \le 0$ при условии $x \ne 5$.
$0.2^x \le 0.008$
$(\frac{1}{5})^x \le (\frac{1}{5})^3$
Так как основание степени $0.2$ меньше 1 ($0 < 0.2 < 1$), при переходе к сравнению показателей знак неравенства меняется на противоположный.
$x \ge 3$
Учитывая ограничение $x \ne 5$, получаем решение.
Изобразим решение на числовой прямой:

Решением является объединение интервалов $[3, 5)$ и $(5, \infty)$.
Ответ: $x \in [3; 5) \cup (5; \infty)$.

2) Решим неравенство $\frac{x^2 + 6x + 9}{2^x - 4} > 0$.
Преобразуем числитель: $x^2 + 6x + 9 = (x+3)^2$.
Неравенство принимает вид: $\frac{(x+3)^2}{2^x - 4} > 0$.
Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не равен нулю.
$2^x - 4 \ne 0 \Rightarrow 2^x \ne 4 \Rightarrow 2^x \ne 2^2 \Rightarrow x \ne 2$.
Числитель $(x+3)^2$ всегда неотрицателен. Он равен нулю при $x=-3$. Так как неравенство строгое ($>0$), то $x \ne -3$.
При $x \ne -3$, числитель $(x+3)^2$ всегда положителен.
Чтобы вся дробь была положительной, необходимо, чтобы знаменатель также был положителен.
Решим неравенство:
$2^x - 4 > 0$
$2^x > 4$
$2^x > 2^2$
Так как основание степени 2 больше 1, при переходе к сравнению показателей знак неравенства сохраняется.
$x > 2$
Это решение удовлетворяет условиям $x \ne 2$ и $x \ne -3$.
Используем метод интервалов для проверки.
Нули числителя: $x=-3$. Нули знаменателя: $x=2$.
Наносим точки на числовую прямую. Обе точки выколоты, так как неравенство строгое и $x=2$ не входит в ОДЗ.

Проверяем знаки в интервалах:
- Интервал $(-\infty; -3)$: пусть $x=-4$, $\frac{(-4+3)^2}{2^{-4}-4} = \frac{1}{1/16 - 4} < 0$.
- Интервал $(-3; 2)$: пусть $x=0$, $\frac{(0+3)^2}{2^0-4} = \frac{9}{1-4} = -3 < 0$.
- Интервал $(2; \infty)$: пусть $x=3$, $\frac{(3+3)^2}{2^3-4} = \frac{36}{8-4} = 9 > 0$.
Нам нужен интервал, где выражение больше нуля. Это $(2; \infty)$.
Ответ: $x \in (2; \infty)$.