Номер 355, страница 170 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Решим неравенство $ \frac{\log_{0,5}(5x + 3)}{11 + 19x} < 0 $.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ).

Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$ 5x + 3 > 0 \implies 5x > -3 \implies x > -0,6 $.

Знаменатель дроби не должен быть равен нулю:

$ 11 + 19x \neq 0 \implies 19x \neq -11 \implies x \neq -\frac{11}{19} $.

Таким образом, ОДЗ: $ x \in (-0,6; -\frac{11}{19}) \cup (-\frac{11}{19}; +\infty) $.

2. Решим неравенство на ОДЗ, используя метод рационализации.

Исходное неравенство можно представить в виде $ \frac{\log_{0,5}(5x + 3) - \log_{0,5}(1)}{11 + 19x} < 0 $.

На ОДЗ числитель $ \log_{0,5}(5x+3) $ имеет тот же знак, что и выражение $ (0,5-1)(5x+3-1) $, поскольку $ \log_{a}f(x) $ знакотождественно $ (a-1)(f(x)-1) $ при $ f(x)>0 $.

Выполним замену: $ (0,5-1)(5x+3-1) = -0,5(5x+2) $.

Неравенство принимает вид:

$ \frac{-0,5(5x+2)}{11+19x} < 0 $

Разделим обе части на отрицательное число $ -0,5 $ и изменим знак неравенства на противоположный:

$ \frac{5x+2}{11+19x} > 0 $

3. Решим полученное рациональное неравенство методом интервалов.

Найдем корни числителя и знаменателя:

$ 5x+2=0 \implies x = -2/5 = -0,4 $.

$ 11+19x=0 \implies x = -11/19 $.

Отметим точки на числовой прямой и определим знаки выражения на интервалах. Так как неравенство строгое, обе точки будут выколотыми.

Решением неравенства $ \frac{5x+2}{11+19x} > 0 $ является объединение интервалов $ x \in (-\infty; -\frac{11}{19}) \cup (-0,4; +\infty) $.

4. Пересечем полученное решение с ОДЗ: $ x \in (-0,6; -\frac{11}{19}) \cup (-\frac{11}{19}; +\infty) $.

Так как $ -0,6 < -11/19 \approx -0,579 $, то пересечение множеств дает:

$ x \in (-0,6; -\frac{11}{19}) \cup (-0,4; +\infty) $.

Ответ: $ x \in (-0,6; -\frac{11}{19}) \cup (-0,4; +\infty) $.

2) Решим неравенство $ \frac{13x+16}{\log_{0,8}(4x+5)} \ge 0 $.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$ 4x + 5 > 0 \implies 4x > -5 \implies x > -1,25 $.

Знаменатель дроби не должен быть равен нулю:

$ \log_{0,8}(4x+5) \neq 0 \implies 4x+5 \neq (0,8)^0 \implies 4x+5 \neq 1 \implies 4x \neq -4 \implies x \neq -1 $.

Таким образом, ОДЗ: $ x \in (-1,25; -1) \cup (-1; +\infty) $.

2. Решим неравенство на ОДЗ, используя метод рационализации.

На ОДЗ знаменатель $ \log_{0,8}(4x+5) $ имеет тот же знак, что и выражение $ (0,8-1)(4x+5-1) $, так как $ \log_{a}f(x) $ знакотождественно $ (a-1)(f(x)-1) $.

Выполним замену: $ (0,8-1)(4x+4) = -0,2(4x+4) $.

Неравенство принимает вид:

$ \frac{13x+16}{-0,2(4x+4)} \ge 0 $

Разделим обе части на $ -0,2 $, изменив знак неравенства на противоположный:

$ \frac{13x+16}{4x+4} \le 0 \implies \frac{13x+16}{x+1} \le 0 $

3. Решим полученное рациональное неравенство методом интервалов.

Найдем корни числителя и знаменателя:

$ 13x+16 = 0 \implies x = -16/13 $.

$ x+1 = 0 \implies x = -1 $.

Отметим точки на числовой прямой. Точка $ x = -16/13 $ закрашенная (неравенство нестрогое), точка $ x = -1 $ выколотая (знаменатель).

Решением неравенства $ \frac{13x+16}{x+1} \le 0 $ является промежуток $ x \in [-16/13; -1) $.

4. Учтем ОДЗ: $ x \in (-1,25; -1) \cup (-1; +\infty) $.

Сравним $ -1,25 $ и $ -16/13 $. $ -1,25 = -5/4 $. $ -16/13 \approx -1,2307 $. Так как $ -1,25 < -16/13 $, то полученный промежуток $ [-16/13; -1) $ полностью принадлежит ОДЗ.

Следовательно, это и есть окончательное решение.

Ответ: $ x \in [-\frac{16}{13}; -1) $.