Номер 394, страница 183 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Дано квадратное уравнение $x^2 - (2k + 1)x + k^2 + 2 = 0$. По условию задачи один из его корней в два раза больше другого. Обозначим корни уравнения как $x_1$ и $x_2$. Пусть $x_2 = 2x_1$.

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой Виета для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$. Согласно этой теореме, сумма корней равна $x_1 + x_2 = -p$, а произведение корней равно $x_1 x_2 = q$.

В нашем уравнении коэффициенты равны $p = -(2k+1)$ и $q = k^2+2$. Применим теорему Виета:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(-(2k+1)) = 2k+1$.
Произведение корней: $x_1 x_2 = k^2+2$.

Теперь у нас есть система уравнений, связывающая корни и параметр $k$:
$x_1 + x_2 = 2k+1$
$x_1 x_2 = k^2+2$
$x_2 = 2x_1$

Подставим соотношение $x_2 = 2x_1$ в первое уравнение системы:
$x_1 + 2x_1 = 2k+1$
$3x_1 = 2k+1$
Отсюда выразим $x_1$ через $k$:
$x_1 = \frac{2k+1}{3}$

Теперь подставим $x_2 = 2x_1$ во второе уравнение системы:
$x_1 \cdot (2x_1) = k^2+2$
$2x_1^2 = k^2+2$

В полученное уравнение $2x_1^2 = k^2+2$ подставим выражение для $x_1$, которое мы нашли ранее:
$2\left(\frac{2k+1}{3}\right)^2 = k^2+2$

Решим это уравнение относительно $k$. Сначала раскроем скобки:
$2 \cdot \frac{(2k+1)^2}{9} = k^2+2$
$2 \cdot \frac{4k^2 + 4k + 1}{9} = k^2+2$
Умножим обе части уравнения на 9, чтобы избавиться от знаменателя:
$2(4k^2 + 4k + 1) = 9(k^2+2)$
$8k^2 + 8k + 2 = 9k^2 + 18$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону и приведем подобные слагаемые:
$9k^2 - 8k^2 - 8k + 18 - 2 = 0$
$k^2 - 8k + 16 = 0$

Мы получили квадратное уравнение относительно $k$. Заметим, что левая часть является полным квадратом разности:
$(k-4)^2 = 0$

Отсюда следует, что $k-4=0$, и единственным решением является $k=4$.

Ответ: $k=4$.