Номер 399, страница 183 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1) Для решения неравенства $\frac{x - 3}{\sqrt{x - a}} \le 0$ необходимо рассмотреть область допустимых значений (ОДЗ) и знаки числителя и знаменателя.

1.ОДЗ: Знаменатель дроби не может быть равен нулю, а подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Так как квадратный корень находится в знаменателе, подкоренное выражение должно быть строго положительным:
$x - a > 0$
$x > a$

2.Решение неравенства: В области допустимых значений знаменатель $\sqrt{x-a}$ всегда является положительным числом. Следовательно, знак всей дроби зависит только от знака числителя. Чтобы дробь была меньше или равна нулю, числитель должен быть меньше или равен нулю:
$x - 3 \le 0$
$x \le 3$

3.Объединение условий: Теперь необходимо найти пересечение решений, то есть решить систему неравенств:
$$ \begin{cases} x > a \\ x \le 3 \end{cases} $$Решение этой системы зависит от значения параметра $a$.

• Если $a < 3$, то система имеет решение. Пересечением интервалов $(a, +\infty)$ и $(-\infty, 3]$ является полуинтервал $(a, 3]$.
• Если $a \ge 3$, то система не имеет решений, так как не существует числа $x$, которое одновременно больше или равно 3 и меньше или равно 3 (в случае $a=3$, $x>3$ и $x\le3$ не пересекаются; в случае $a>3$, $x>a$ и $x\le3$ также не пересекаются).

Ответ: при $a < 3$ решением является $x \in (a, 3]$; при $a \ge 3$ решений нет.

2) Для решения неравенства $\log_a (x - 4) \ge \log_a (5 - 3x)$ найдем его область допустимых значений (ОДЗ).

1.ОДЗ: Аргументы логарифма должны быть строго положительными. Также основание логарифма $a$ должно быть положительным и не равным единице ($a > 0, a \ne 1$).
Составим систему неравенств для аргументов логарифмов:
$$ \begin{cases} x - 4 > 0 \\ 5 - 3x > 0 \end{cases} $$

2.Решение системы для ОДЗ:
Из первого неравенства получаем:
$x > 4$
Из второго неравенства получаем:
$5 > 3x$
$x < \frac{5}{3}$

Таким образом, ОДЗ определяется системой:
$$ \begin{cases} x > 4 \\ x < \frac{5}{3} \end{cases} $$

3.Анализ ОДЗ: Необходимо найти значения $x$, которые одновременно больше 4 и меньше $\frac{5}{3}$. Так как $4 = \frac{12}{3}$, а $\frac{12}{3} > \frac{5}{3}$, то таких значений $x$ не существует. Пересечение множеств $(4, +\infty)$ и $(-\infty, \frac{5}{3})$ пустое.

Поскольку область допустимых значений пуста, исходное неравенство не имеет решений ни при каких допустимых значениях параметра $a$.

Ответ: решений нет.