Номер 6, страница 184 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Для нахождения множества возможных значений выражения $y = \sqrt{b-\sqrt{3b-1}}$ необходимо определить область значений этой функции.

Во-первых, выражение под знаком корня должно быть неотрицательным. Это приводит к системе из двух неравенств:

$\begin{cases} 3b - 1 \ge 0 \\ b - \sqrt{3b - 1} \ge 0\end{cases}$

1. Решим первое неравенство:

$3b - 1 \ge 0$

$3b \ge 1$

$b \ge \frac{1}{3}$

2. Решим второе неравенство:

$b - \sqrt{3b - 1} \ge 0$

$b \ge \sqrt{3b - 1}$

Поскольку из первого неравенства мы знаем, что $b \ge \frac{1}{3}$, обе части второго неравенства неотрицательны. Следовательно, мы можем возвести обе части в квадрат, не меняя знака неравенства:

$b^2 \ge (\sqrt{3b - 1})^2$

$b^2 \ge 3b - 1$

$b^2 - 3b + 1 \ge 0$

Чтобы решить это квадратичное неравенство, найдем корни соответствующего уравнения $b^2 - 3b + 1 = 0$ с помощью формулы для корней квадратного уравнения:

$b = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$

Так как парабола $y = b^2 - 3b + 1$ направлена ветвями вверх, неравенство $b^2 - 3b + 1 \ge 0$ выполняется, когда $b$ находится за пределами корней:

$b \le \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$ или $b \ge \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$

Объединим оба условия ($b \ge \frac{1}{3}$ и ($b \le \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$ или $b \ge \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$)) для нахождения области определения переменной $b$.

Так как $\frac{1}{3} \approx 0.333$ и $\frac{3 - \sqrt{5}}{2} \approx \frac{3 - 2.236}{2} \approx 0.382$, то $\frac{1}{3} < \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$.

Следовательно, область определения для $b$ (ОДЗ) является объединением двух интервалов:

$b \in \left[\frac{1}{3}, \frac{3 - \sqrt{5}}{2}\right] \cup \left[\frac{3 + \sqrt{5}}{2}, +\infty\right)$

Теперь найдем множество значений (область значений) функции $y = \sqrt{b-\sqrt{3b-1}}$.

По определению арифметического квадратного корня, $y \ge 0$.

Найдем минимальное значение функции. Минимальное значение достигается, когда подкоренное выражение $b - \sqrt{3b - 1}$ равно своему минимально возможному значению, то есть нулю. Это происходит, когда $b^2 - 3b + 1 = 0$, то есть в точках $b = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$. В этих точках значение функции $y=0$.

Теперь рассмотрим поведение функции при $b \to +\infty$:

$\lim_{b \to \infty} \sqrt{b-\sqrt{3b-1}} = \lim_{b \to \infty} \sqrt{b\left(1 - \frac{\sqrt{3b-1}}{b}\right)} = \lim_{b \to \infty} \sqrt{b\left(1 - \sqrt{\frac{3b-1}{b^2}}\right)} = \lim_{b \to \infty} \sqrt{b\left(1 - \sqrt{\frac{3}{b}-\frac{1}{b^2}}\right)}$

При $b \to \infty$, выражение $\sqrt{\frac{3}{b}-\frac{1}{b^2}}$ стремится к 0. Таким образом, предел равен:

$\lim_{b \to \infty} \sqrt{b(1-0)} = \lim_{b \to \infty} \sqrt{b} = +\infty$

Функция непрерывна на своей области определения. Она принимает минимальное значение 0 и неограниченно возрастает до $+\infty$. Согласно теореме о промежуточных значениях, функция принимает все значения от 0 до $+\infty$.

Таким образом, множество возможных значений выражения - это $[0; +\infty)$.

Ответ: D. $[0; +\infty)$.