Номер 3, страница 183 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

3. Для решения уравнения $3 \sin x + 4 \cos x = 5$ воспользуемся методом универсальной тригонометрической подстановки. Пусть $t = \tan \frac{x}{2}$. Тогда справедливы следующие формулы:

$\sin x = \frac{2t}{1+t^2}$

$\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$

Данная подстановка определена для всех $x$, кроме $x = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Проверим, являются ли эти значения $x$ решениями исходного уравнения. Если $x = \pi$, то $\sin x = 0$ и $\cos x = -1$.

$3 \sin \pi + 4 \cos \pi = 3 \cdot 0 + 4 \cdot (-1) = -4$.

Поскольку $-4 \neq 5$, то $x = \pi + 2\pi k$ не являются корнями уравнения.

Подставим выражения для $\sin x$ и $\cos x$ через $t$ в исходное уравнение:

$3 \left( \frac{2t}{1+t^2} \right) + 4 \left( \frac{1-t^2}{1+t^2} \right) = 5$

Умножим обе части уравнения на $1+t^2 \neq 0$:

$3(2t) + 4(1-t^2) = 5(1+t^2)$

$6t + 4 - 4t^2 = 5 + 5t^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение относительно $t$:

$5t^2 + 4t^2 - 6t + 5 - 4 = 0$

$9t^2 - 6t + 1 = 0$

Заметим, что левая часть является полным квадратом разности:

$(3t - 1)^2 = 0$

Отсюда находим значение $t$:

$3t - 1 = 0 \implies t = \frac{1}{3}$

Теперь выполним обратную подстановку, чтобы найти $x$:

$\tan \frac{x}{2} = t = \frac{1}{3}$

Решая это простейшее тригонометрическое уравнение, получаем:

$\frac{x}{2} = \arctan \frac{1}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Умножим обе части на 2:

$x = 2 \arctan \frac{1}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Это и есть решение исходного уравнения. Сравнивая с предложенными вариантами, видим, что это соответствует варианту D.

Ответ: $x = 2\arctan\frac{1}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.