Номер 8, страница 184 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

8. Дано показательное неравенство:

$2^{x+4} \cdot 7^x > 2^{3x} \cdot 7^{3x}$

Для его решения сгруппируем степени с одинаковыми переменными в показателе. Разделим обе части неравенства на выражения, которые всегда положительны, чтобы собрать переменные с одной стороны. Разделим неравенство на $2^{3x}$ и на $7^x$. Так как $2^{3x} > 0$ и $7^x > 0$ при любых значениях $x$, знак неравенства не изменится.

$\frac{2^{x+4}}{2^{3x}} > \frac{7^{3x}}{7^x}$

Воспользуемся свойством степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$2^{(x+4)-3x} > 7^{3x-x}$

$2^{4-2x} > 7^{2x}$

Теперь преобразуем это неравенство. Используем свойство $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$ для левой части:

$\frac{2^4}{2^{2x}} > 7^{2x}$

$16 > 7^{2x} \cdot 2^{2x}$

Применим свойство $a^k \cdot b^k = (ab)^k$ для правой части:

$16 > (7 \cdot 2)^{2x}$

$16 > 14^{2x}$

Перепишем неравенство для удобства:

$14^{2x} < 16$

Чтобы найти $x$, прологарифмируем обе части неравенства по основанию 14. Так как основание $14 > 1$, то знак неравенства не меняется.

$\log_{14}(14^{2x}) < \log_{14}(16)$

$2x < \log_{14}(16)$

$x < \frac{\log_{14}(16)}{2}$

Используя свойство логарифма $k \cdot \log_a(b) = \log_a(b^k)$, мы можем упростить правую часть:

$x < \log_{14}(16^{\frac{1}{2}})$

$x < \log_{14}(\sqrt{16})$

$x < \log_{14}(4)$

Мы получили точное решение неравенства. Теперь оценим значение $\log_{14}(4)$, чтобы сравнить с предложенными вариантами.Поскольку $14^0 = 1$ и $14^1 = 14$, а $1 < 4 < 14$, то значение $\log_{14}(4)$ находится в интервале $(0; 1)$.Таким образом, решение неравенства — это все $x$, которые меньше числа, находящегося между 0 и 1.

Рассмотрим предложенные варианты ответов:

A. $(2; +\infty)$ — неверно, так как наше решение содержит, например, $x=0$.

B. $(-\infty; 2)$ — это утверждение верно, так как если $x < \log_{14}(4)$ (где $\log_{14}(4) < 1$), то $x$ тем более меньше 2. Однако этот интервал может быть не самым точным.

C. $(-\infty; 1)$ — это утверждение также верно, так как $\log_{14}(4) < 1$. Этот интервал является более точным ограничением сверху для множества решений, чем $(-\infty; 2)$.

D. $(-\infty; -2)$ — неверно, так как $x=0$ является решением.

При выборе между верными вариантами B и C, следует выбрать наиболее точный (наиболее узкий) интервал, который содержит все решения. Интервал $(-\infty; 1)$ является подмножеством интервала $(-\infty; 2)$ и точнее описывает множество решений. Следовательно, вариант C является наилучшим ответом.

Ответ: C. $(-\infty; 1)$