Номер 12, страница 184 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Данное уравнение $|x^2 - x + 2| = 4$ является уравнением с модулем. По определению модуля, оно распадается на два отдельных случая.

Случай 1: $x^2 - x + 2 = 4$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - x + 2 - 4 = 0$

$x^2 - x - 2 = 0$

Чтобы проверить наличие действительных корней, вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Согласно теореме Виета, сумма корней квадратного уравнения $ax^2+bx+c=0$ равна $-b/a$. Для нашего уравнения сумма корней $S_1$ составляет:

$S_1 = - \frac{-1}{1} = 1$

Случай 2: $x^2 - x + 2 = -4$

Также перенесем все члены в левую часть:

$x^2 - x + 2 + 4 = 0$

$x^2 - x + 6 = 0$

Вычислим дискриминант для этого уравнения:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 1 - 24 = -23$

Поскольку $D < 0$, данное уравнение не имеет действительных корней.

Таким образом, все корни исходного уравнения содержатся в первом случае. Сумма всех корней исходного уравнения равна сумме корней уравнения $x^2 - x - 2 = 0$.

Альтернативный способ

Можно исследовать выражение под знаком модуля: $f(x) = x^2 - x + 2$. Это квадратичная функция, график которой — парабола, ветви которой направлены вверх. Дискриминант трехчлена $x^2 - x + 2$ равен $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7$. Так как дискриминант отрицателен, а старший коэффициент ($a=1$) положителен, то значение этого выражения всегда положительно при любом $x$. Следовательно, $|x^2 - x + 2| = x^2 - x + 2$.

Тогда исходное уравнение можно переписать без модуля:

$x^2 - x + 2 = 4$

$x^2 - x - 2 = 0$

По теореме Виета, сумма корней этого уравнения равна $x_1 + x_2 = -(-1)/1 = 1$.

Сумма корней уравнения равна 1.

Ответ: 1