Номер 9, страница 184 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Для решения логарифмического неравенства $\log_2(x^2 - 5x + 6) < 1$ необходимо рассмотреть систему из двух условий: область допустимых значений (ОДЗ) логарифма и само неравенство.

1.Область допустимых значений (ОДЗ)
Аргумент логарифма должен быть строго положительным:$x^2 - 5x + 6 > 0$
Чтобы решить это квадратное неравенство, найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 5x + 6 = 0$.
По теореме Виета, сумма корней равна 5, а их произведение равно 6. Следовательно, корни:$x_1 = 2$, $x_2 = 3$
Графиком функции $y = x^2 - 5x + 6$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Значения функции положительны вне интервала между корнями.
Таким образом, решение этого неравенства: $x \in (-\infty, 2) \cup (3, +\infty)$.

2.Решение основного неравенства
Исходное неравенство:$\log_2(x^2 - 5x + 6) < 1$
Представим правую часть в виде логарифма с тем же основанием: $1 = \log_2(2)$.$\log_2(x^2 - 5x + 6) < \log_2(2)$
Так как основание логарифма $2 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Поэтому при переходе к неравенству для аргументов знак неравенства сохраняется:$x^2 - 5x + 6 < 2$
$x^2 - 5x + 4 < 0$
Снова решим квадратное неравенство. Найдем корни уравнения $x^2 - 5x + 4 = 0$.
По теореме Виета, сумма корней равна 5, а их произведение равно 4. Корни:$x_1 = 1$, $x_2 = 4$
Графиком функции $y = x^2 - 5x + 4$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Значения функции отрицательны на интервале между корнями.
Решение этого неравенства: $x \in (1, 4)$.

3.Нахождение общего решения
Теперь необходимо найти пересечение решений обоих условий, то есть решить систему:$$\begin{cases}x \in (-\infty, 2) \cup (3, +\infty) \\x \in (1, 4)\end{cases}$$Изобразим интервалы на числовой оси, чтобы найти их пересечение.
Из рисунка видно, что пересечением двух множеств являются интервалы от 1 до 2 и от 3 до 4.

Ответ: $(1, 2) \cup (3, 4)$.