Номер 395, страница 183 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Берілген теңдеу: $3x^3 + ax^2 + bx + 18 = 0$. Теңдеудің коэффициенттері $3, a, b, 18$. Есептің шарты бойынша $a$ және $b$ бүтін сандар, демек, теңдеудің барлық коэффициенттері рационал сандар болып табылады.

Рационал коэффициентті көпмүшелік теңдеулер үшін иррационал түбірлер туралы теоремаға сәйкес (түйіндес түбірлер теоремасы), егер $p + \sqrt{q}$ (мұндағы $p, q$ - рационал сандар, $\sqrt{q}$ - иррационал сан) теңдеудің түбірі болса, онда оған түйіндес $p - \sqrt{q}$ саны да осы теңдеудің түбірі болады.

Біздің жағдайда, бір түбір $x_1 = 1 + \sqrt{3}$ берілген. Коэффициенттер рационал болғандықтан, екінші түбір оған түйіндес сан, яғни $x_2 = 1 - \sqrt{3}$ болады.

Кубтық теңдеудің үш түбірі болады. Үшінші түбірді $x_3$ деп белгілейік. $3x^3+ax^2+bx+18=0$ теңдеуі үшін Виет теоремасын қолданамыз:
Түбірлердің қосындысы: $x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{a}{3}$
Түбірлердің қос-қостан көбейтінділерінің қосындысы: $x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = \frac{b}{3}$
Түбірлердің көбейтіндісі: $x_1x_2x_3 = -\frac{18}{3} = -6$

Алдымен $x_1$ және $x_2$ түбірлерінің көбейтіндісін табайық: $x_1x_2 = (1 + \sqrt{3})(1 - \sqrt{3}) = 1^2 - (\sqrt{3})^2 = 1 - 3 = -2$.

Енді түбірлердің көбейтіндісіне арналған Виет формуласын пайдаланып, $x_3$ түбірін табамыз:
$x_1x_2x_3 = -6$
$(-2) \cdot x_3 = -6$
$x_3 = \frac{-6}{-2} = 3$

Осылайша, теңдеудің барлық үш түбірі табылды: $1 + \sqrt{3}$, $1 - \sqrt{3}$ және $3$. Енді $a$ және $b$ коэффициенттерін табу үшін Виеттің қалған формулаларын қолданамыз.

$a$ коэффициентін табу үшін түбірлердің қосындысы формуласын қолданамыз:
$x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{a}{3}$
$(1 + \sqrt{3}) + (1 - \sqrt{3}) + 3 = -\frac{a}{3}$
$2 + 3 = -\frac{a}{3}$
$5 = -\frac{a}{3}$
$a = -5 \cdot 3 = -15$

$b$ коэффициентін табу үшін түбірлердің қос-қостан көбейтінділерінің қосындысы формуласын қолданамыз:
$x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = \frac{b}{3}$
Бұл өрнекті ыңғайлы түрде топтастыруға болады: $x_1x_2 + (x_1+x_2)x_3 = \frac{b}{3}$.
Бізде $x_1x_2 = -2$ және $x_1+x_2 = (1+\sqrt{3})+(1-\sqrt{3})=2$ екені белгілі.
Орнына қоямыз:
$-2 + (2)(3) = \frac{b}{3}$
$-2 + 6 = \frac{b}{3}$
$4 = \frac{b}{3}$
$b = 4 \cdot 3 = 12$

Сонымен, $a$ және $b$ бүтін сандарының мәндері: $a = -15$ және $b = 12$.
Ответ: $a = -15, b = 12$.