Номер 398, страница 183 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Для того чтобы неравенство $x^2 - 2(a+1)x + a^2 + 2a > 0$ было следствием неравенства $x^2 - 4x + 3 < 0$, необходимо, чтобы множество решений первого неравенства было подмножеством множества решений второго неравенства. Иными словами, каждый $x$, удовлетворяющий первому неравенству, должен удовлетворять и второму.

Найдем решение неравенства $x^2 - 4x + 3 < 0$

Сначала найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 4x + 3 = 0$. Используя теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения, получаем $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$.

Графиком функции $y = x^2 - 4x + 3$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Значения функции отрицательны между корнями.

Следовательно, решением неравенства является интервал $x \in (1, 3)$.

Найдем решение неравенства $x^2 - 2(a+1)x + a^2 + 2a > 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 2(a+1)x + a^2 + 2a = 0$. Вычислим дискриминант $D$:

$D = (-2(a+1))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a^2 + 2a) = 4(a^2 + 2a + 1) - 4a^2 - 8a = 4a^2 + 8a + 4 - 4a^2 - 8a = 4$.

Так как $D=4>0$, уравнение всегда имеет два различных действительных корня.

Найдем корни:

$x = \frac{2(a+1) \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{2(a+1) \pm 2}{2} = a+1 \pm 1$.

Отсюда корни: $x_1 = a+1 - 1 = a$ и $x_2 = a+1 + 1 = a+2$.

Графиком функции $y = x^2 - 2(a+1)x + a^2 + 2a$ также является парабола с ветвями вверх. Значения функции положительны вне интервала между корнями.

Следовательно, решением этого неравенства является объединение интервалов $(-\infty, a) \cup (a+2, \infty)$.

Найдем значения $a$, при которых решение первого неравенства является подмножеством решения второго

Нам нужно, чтобы интервал $(1, 3)$ полностью содержался в множестве $(-\infty, a) \cup (a+2, \infty)$. Это означает, что интервал $(1, 3)$ не должен пересекаться с "запрещенным" отрезком $[a, a+2]$.

Это возможно в двух случаях:

1. Весь интервал $(1, 3)$ находится левее отрезка $[a, a+2]$. Это означает, что правая граница интервала $(1, 3)$ должна быть меньше или равна левой границе отрезка $[a, a+2]$.

Математически это записывается как $3 \le a$.

2. Весь интервал $(1, 3)$ находится правее отрезка $[a, a+2]$. Это означает, что левая граница интервала $(1, 3)$ должна быть больше или равна правой границе отрезка $[a, a+2]$.

Математически это записывается как $a+2 \le 1$, откуда получаем $a \le -1$.

Объединяя оба случая, мы получаем, что параметр $a$ должен удовлетворять условию $a \le -1$ или $a \ge 3$.

Ответ: $a \in (-\infty; -1] \cup [3; \infty)$.