Номер 397, страница 183 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1)

Исходная система уравнений:

$\begin{cases}\log_{2}(4y + 4a - 3) = 1 + \log_{2}(x - x), \\y = \sqrt{x};\end{cases}$

В первом уравнении системы содержится выражение $\log_{2}(x - x)$, что эквивалентно $\log_{2}(0)$. Функция логарифма определена только для положительных аргументов, поэтому выражение $\log_{2}(0)$ не определено. Это означает, что область определения первого уравнения является пустым множеством, и, следовательно, система уравнений не имеет решений ни при каких значениях параметра $a$.

Весьма вероятно, что в условии задачи допущена опечатка. Наиболее распространенный тип задач такого рода предполагает, что вместо $\log_{2}(x-x)$ должно быть $\log_{2}(x)$. Решим систему, исходя из этого предположения.

Исправленная система:

$\begin{cases}\log_{2}(4y + 4a - 3) = 1 + \log_{2}(x), \\y = \sqrt{x};\end{cases}$

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями: $x > 0$ и $4y + 4a - 3 > 0$.

Используя свойство логарифмов, преобразуем первое уравнение ($1 = \log_{2}2$):

$\log_{2}(4y + 4a - 3) = \log_{2}(2) + \log_{2}(x)$

$\log_{2}(4y + 4a - 3) = \log_{2}(2x)$

Приравнивая аргументы логарифмов, получаем: $4y + 4a - 3 = 2x$.

Подставим во второе уравнение системы $y = \sqrt{x}$:

$4\sqrt{x} + 4a - 3 = 2x$.

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение относительно $\sqrt{x}$:

$2x - 4\sqrt{x} - 4a + 3 = 0$.

Сделаем замену переменной $t = \sqrt{x}$. Так как по ОДЗ $x > 0$, то и $t > 0$. Уравнение принимает вид:

$2t^2 - 4t + 3 - 4a = 0$.

Для того чтобы исходная система имела решение, это квадратное уравнение должно иметь хотя бы один положительный корень ($t > 0$).

Найдем дискриминант $D$ данного квадратного уравнения:

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (3 - 4a) = 16 - 8(3 - 4a) = 16 - 24 + 32a = 32a - 8$.

Для существования действительных корней необходимо, чтобы $D \geq 0$:

$32a - 8 \geq 0 \implies 32a \geq 8 \implies a \geq \frac{1}{4}$.

Корни уравнения для $t$ находятся по формуле: $t = \frac{4 \pm \sqrt{32a - 8}}{4} = 1 \pm \frac{\sqrt{32a - 8}}{4}$.

Обозначим корни как $t_1 = 1 - \frac{\sqrt{32a - 8}}{4}$ и $t_2 = 1 + \frac{\sqrt{32a - 8}}{4}$.

Рассмотрим корень $t_2$. Поскольку при $a \geq \frac{1}{4}$ выражение $\sqrt{32a - 8} \geq 0$, то $t_2 \geq 1$. Следовательно, корень $t_2$ всегда является положительным при $a \geq \frac{1}{4}$.

Наличие хотя бы одного положительного корня $t$ гарантирует существование решения для $x=t^2 > 0$.

Проверим второе условие ОДЗ: $4y + 4a - 3 > 0$. Из нашего уравнения $4y + 4a - 3 = 2x$. Поскольку $x > 0$, то $2x > 0$, и это условие выполняется автоматически.

Таким образом, при условии, что в задаче была опечатка, система имеет решение для всех $a \geq \frac{1}{4}$.

Ответ: Если следовать записи в условии, решений нет. Если предположить, что в условии опечатка и уравнение имеет вид $\log_{2}(4y + 4a - 3) = 1 + \log_{2}(x)$, то $a \in [\frac{1}{4}; +\infty)$.

2)

Данная система уравнений:

$\begin{cases}1 + \log_{2}(b - 2 - y) = \log_{2}(b - x), \\y + 2\sqrt{x} = 1.\end{cases}$

ОДЗ системы определяется условиями: $x \geq 0$ (из-за наличия $\sqrt{x}$), $b - 2 - y > 0$ и $b - x > 0$.

Из второго уравнения выразим $y$: $y = 1 - 2\sqrt{x}$.

Преобразуем первое уравнение: $\log_{2}(2) + \log_{2}(b - 2 - y) = \log_{2}(b - x)$, что равносильно $\log_{2}(2(b - 2 - y)) = \log_{2}(b - x)$.

Отсюда следует $2(b - 2 - y) = b - x$. Подставим выражение для $y$:

$2(b - 2 - (1 - 2\sqrt{x})) = b - x$

$2(b - 3 + 2\sqrt{x}) = b - x$

$2b - 6 + 4\sqrt{x} = b - x$

$x + 4\sqrt{x} + b - 6 = 0$.

Сделаем замену $t = \sqrt{x}$, где $t \geq 0$. Уравнение примет вид:

$t^2 + 4t + b - 6 = 0$.

Это квадратное уравнение должно иметь хотя бы один неотрицательный корень $t$, который удовлетворяет ОДЗ.

Дискриминант: $D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (b - 6) = 16 - 4b + 24 = 40 - 4b = 4(10 - b)$.

Для существования действительных корней $D \geq 0$, т.е. $10 - b \geq 0$, откуда $b \leq 10$.

Корни уравнения: $t_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{4(10 - b)}}{2} = -2 \pm \sqrt{10 - b}$.

Корень $t_1 = -2 - \sqrt{10 - b}$ всегда отрицателен, так как $\sqrt{10-b} \geq 0$, и не является решением.

Рассмотрим корень $t_2 = -2 + \sqrt{10 - b}$. Требуется, чтобы $t_2 \geq 0$:

$\sqrt{10 - b} \geq 2$. Возведем обе части в квадрат: $10 - b \geq 4 \implies b \leq 6$.

Теперь необходимо проверить выполнение условий ОДЗ для $t = -2 + \sqrt{10 - b}$ при $b \leq 6$.

Условие $b - 2 - y > 0$ является достаточным, так как из $2(b-2-y) = b-x$ и $b-2-y > 0$ следует $b-x > 0$.

$b - 2 - (1-2t) > 0 \implies b - 3 + 2t > 0 \implies 2t > 3-b$.

$2(-2 + \sqrt{10-b}) > 3 - b$

$-4 + 2\sqrt{10-b} > 3 - b$

$2\sqrt{10-b} > 7 - b$.

Так как мы рассматриваем $b \leq 6$, правая часть $7-b$ всегда положительна ($7-b \geq 1$). Поэтому можно возвести обе части в квадрат:

$4(10-b) > (7-b)^2$

$40 - 4b > 49 - 14b + b^2$

$b^2 - 10b + 9 < 0$.

Корнями уравнения $b^2 - 10b + 9 = 0$ являются $b_1=1$ и $b_2=9$. Неравенство $(b-1)(b-9) < 0$ выполняется для $1 < b < 9$.

Соберем все условия для $b$:

1. $b \leq 10$ (для существования действительных корней $t$)
2. $b \leq 6$ (для того, чтобы корень $t_2$ был неотрицательным)
3. $1 < b < 9$ (для выполнения ОДЗ)

Пересечение этих трех множеств дает итоговый интервал для $b$: $1 < b \leq 6$.

Ответ: $b \in (1; 6]$.