Страница 204 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Для нахождения математического ожидания $M(X)$, дисперсии $D(X)$ и среднего квадратического отклонения $\sigma(X)$ дискретной случайной величины $X$ используются следующие формулы:

Математическое ожидание: $M(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i$

Дисперсия: $D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2$, где $M(X^2) = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 p_i$

Среднее квадратическое отклонение: $\sigma(X) = \sqrt{D(X)}$

1. Проверка и вычисление по данным из таблицы

Прежде всего, проверим, является ли данное распределение корректным. Сумма всех вероятностей в законе распределения должна быть равна 1.

$\sum p_i = 0,1 + 0,2 + 0,4 + 0,2 = 0,9$

Сумма вероятностей не равна 1, что указывает на ошибку в условии задачи. Тем не менее, произведем вычисления с предоставленными данными, так как это может быть требованием в подобных задачах с опечатками.

Вычисление M(X):

$M(X) = 2 \cdot 0,1 + 4 \cdot 0,2 + 5 \cdot 0,4 + 7 \cdot 0,2 = 0,2 + 0,8 + 2,0 + 1,4 = 4,4$

Вычисление D(X):

Сначала найдем $M(X^2)$:$M(X^2) = 2^2 \cdot 0,1 + 4^2 \cdot 0,2 + 5^2 \cdot 0,4 + 7^2 \cdot 0,2 = 4 \cdot 0,1 + 16 \cdot 0,2 + 25 \cdot 0,4 + 49 \cdot 0,2 = 0,4 + 3,2 + 10,0 + 9,8 = 23,4$

Теперь вычислим дисперсию:$D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2 = 23,4 - (4,4)^2 = 23,4 - 19,36 = 4,04$

Вычисление σ(X):

$\sigma(X) = \sqrt{D(X)} = \sqrt{4,04} \approx 2,01$

Полученные значения ($M(X) = 4,4$; $D(X) = 4,04$; $\sigma(X) \approx 2,01$) не совпадают ни с одним из предложенных вариантов ответа.

2. Анализ вариантов ответа

Поскольку прямое вычисление не приводит к одному из ответов из-за ошибки в условии, проанализируем сами варианты на внутреннюю согласованность. Значение $\sigma(X)$ должно быть равно квадратному корню из $D(X)$.

• A. 3,7; 0,45; ≈0,67. Проверка: $\sqrt{0,45} \approx 0,6708$. Этот вариант согласован.
• B. 3,5; 0,45; ≈0,76. Проверка: $\sqrt{0,45} \approx 0,6708 \neq 0,76$. Этот вариант не согласован.
• C. 4,2; 0,57; ≈0,67. Проверка: $\sqrt{0,57} \approx 0,755 \neq 0,67$. Этот вариант не согласован.
• D. 3,7; 0,54; ≈ 4,4. Проверка: $\sqrt{0,54} \approx 0,735 \neq 4,4$. Этот вариант не согласован.

Единственным внутренне согласованным вариантом является вариант А. Вероятнее всего, в условии задачи допущена опечатка (или несколько), а правильным ответом должен быть вариант А. Несмотря на невозможность получения этого ответа из-за некорректных данных в таблице, логический анализ вариантов указывает на него как на единственно возможный правильный ответ.

Ответ: A. 3,7; 0,45; ≈0,67;

Для нахождения распределения относительных частот на основе заданного распределения абсолютных частот необходимо выполнить несколько шагов.

Исходное распределение абсолютных частот ($n_i$) для значений ($x_i$) выборки представлено в таблице:

1. Найти объем выборки (N).

Объем выборки представляет собой сумму всех абсолютных частот. Вычислим его:

$N = \sum n_i = 1 + 2 + 3 + 4 = 10$

2. Рассчитать относительную частоту ($w_i$) для каждого значения.

Относительная частота вычисляется как отношение абсолютной частоты каждого значения к общему объему выборки по формуле $w_i = \frac{n_i}{N}$. В предложенных вариантах ответа относительная частота также обозначена как $n_i$.

Для значения $x_i = 3$: относительная частота равна $w_1 = \frac{1}{10} = 0,1$.

Для значения $x_i = 5$: относительная частота равна $w_2 = \frac{2}{10} = 0,2$.

Для значения $x_i = 8$: относительная частота равна $w_3 = \frac{3}{10} = 0,3$.

Для значения $x_i = 10$: относительная частота равна $w_4 = \frac{4}{10} = 0,4$.

3. Сформировать итоговую таблицу и выбрать верный вариант.

На основе вычислений составляем таблицу распределения относительных частот:

Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами, видим, что он полностью совпадает с вариантом B.

Ответ: B