Страница 202 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Условие задачи: в партии из 10 деталей 3 являются нестандартными. Из этой партии случайным образом извлекли две детали. Требуется найти математическое ожидание (в тексте задачи "математикалық болжам") числа нестандартных деталей среди извлеченных.

Пусть $X$ — это случайная величина, равная числу нестандартных деталей среди двух отобранных. Эта величина может принимать следующие значения: 0, 1 или 2.
Для нахождения математического ожидания необходимо составить закон распределения этой случайной величины, то есть найти вероятности для каждого из её возможных значений.

Общее число способов выбрать 2 детали из 10 равно числу сочетаний из 10 по 2, которое вычисляется по формуле $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$:
$C_{10}^2 = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10 \cdot 9}{2 \cdot 1} = 45$.
Это общее число равновозможных исходов.

Теперь найдем вероятности для каждого значения $X$. В партии 3 нестандартных и $10 - 3 = 7$ стандартных деталей.
Вероятность того, что $X=0$ (обе извлеченные детали стандартные):
Для этого нужно выбрать 0 нестандартных деталей из 3 и 2 стандартные детали из 7. Число таких способов:
$m_0 = C_3^0 \cdot C_7^2 = 1 \cdot \frac{7!}{2!5!} = 1 \cdot \frac{7 \cdot 6}{2} = 21$.
Вероятность этого события:
$P(X=0) = \frac{m_0}{C_{10}^2} = \frac{21}{45} = \frac{7}{15}$.

Вероятность того, что $X=1$ (одна деталь нестандартная, одна стандартная):
Для этого нужно выбрать 1 нестандартную деталь из 3 и 1 стандартную деталь из 7. Число таких способов:
$m_1 = C_3^1 \cdot C_7^1 = 3 \cdot 7 = 21$.
Вероятность этого события:
$P(X=1) = \frac{m_1}{C_{10}^2} = \frac{21}{45} = \frac{7}{15}$.

Вероятность того, что $X=2$ (обе детали нестандартные):
Для этого нужно выбрать 2 нестандартные детали из 3 и 0 стандартных деталей из 7. Число таких способов:
$m_2 = C_3^2 \cdot C_7^0 = \frac{3!}{2!1!} \cdot 1 = 3$.
Вероятность этого события:
$P(X=2) = \frac{m_2}{C_{10}^2} = \frac{3}{45} = \frac{1}{15}$.

Проверим, что сумма вероятностей равна 1:
$P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = \frac{21}{45} + \frac{21}{45} + \frac{3}{45} = \frac{45}{45} = 1$.
Закон распределения составлен верно.

Математическое ожидание $M(X)$ дискретной случайной величины вычисляется по формуле:
$M(X) = \sum x_i p_i = x_0 P(X=0) + x_1 P(X=1) + x_2 P(X=2)$.
Подставим наши значения:
$M(X) = 0 \cdot \frac{21}{45} + 1 \cdot \frac{21}{45} + 2 \cdot \frac{3}{45} = 0 + \frac{21}{45} + \frac{6}{45} = \frac{27}{45}$.
Сократим дробь:
$M(X) = \frac{27}{45} = \frac{3 \cdot 9}{5 \cdot 9} = \frac{3}{5} = 0.6$.

Также можно воспользоваться свойством математического ожидания для гипергеометрического распределения, которое вычисляется по формуле $M(X) = n \cdot \frac{K}{N}$, где $n$ — размер выборки, $K$ — число "успехов" (нестандартных деталей) в генеральной совокупности, $N$ — размер генеральной совокупности.
В нашем случае: $n=2$, $K=3$, $N=10$.
$M(X) = 2 \cdot \frac{3}{10} = \frac{6}{10} = 0.6$.
Результаты, полученные двумя способами, совпадают.

Ответ: 0.6

Бұл есепті шешу үшін алдымен $X$ кездейсоқ шамасының негізгі сандық сипаттамаларын: математикалық күтімін $M(X)$ және дисперсиясын $D(X)$ есептеп аламыз. Берілген таралу заңдылығы кестесі:

1. $X$ кездейсоқ шамасының математикалық күтімін ($M(X)$) есептейміз. Ол үшін оның мәндерін сәйкес ықтималдықтарға көбейтіп, қосындысын табамыз:

$M(X) = \sum x_i p_i = (2 \cdot 0,3) + (3 \cdot 0,1) + (4 \cdot 0,5) + (5 \cdot 0,1)$

$M(X) = 0,6 + 0,3 + 2,0 + 0,5 = 3,4$

2. $X$ кездейсоқ шамасының дисперсиясын ($D(X)$) есептеу үшін алдымен $M(X^2)$ мәнін табамыз:

$M(X^2) = \sum x_i^2 p_i = (2^2 \cdot 0,3) + (3^2 \cdot 0,1) + (4^2 \cdot 0,5) + (5^2 \cdot 0,1)$

$M(X^2) = (4 \cdot 0,3) + (9 \cdot 0,1) + (16 \cdot 0,5) + (25 \cdot 0,1)$

$M(X^2) = 1,2 + 0,9 + 8,0 + 2,5 = 12,6$

Енді дисперсияны $D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2$ формуласы бойынша есептейміз:

$D(X) = 12,6 - (3,4)^2 = 12,6 - 11,56 = 1,04$

Енді $M(2X)$, $D(2X)$ және $\sigma(2X)$ мәндерін табу үшін математикалық күтім мен дисперсияның қасиеттерін қолданамыз.

M(2X)

Математикалық күтімнің қасиеті $M(cX) = c \cdot M(X)$ бойынша (мұндағы $c$ - тұрақты сан):

$M(2X) = 2 \cdot M(X) = 2 \cdot 3,4 = 6,8$

Ответ: $M(2X) = 6,8$

D(2X)

Дисперсияның қасиеті $D(cX) = c^2 \cdot D(X)$ бойынша (мұндағы $c$ - тұрақты сан):

$D(2X) = 2^2 \cdot D(X) = 4 \cdot 1,04 = 4,16$

Ответ: $D(2X) = 4,16$

σ(2X)

Орташа квадраттық ауытқу $\sigma$ дисперсиядан алынған квадрат түбірге тең: $\sigma(Y) = \sqrt{D(Y)}$.

Осыған сәйкес, $\sigma(2X) = \sqrt{D(2X)}$:

$\sigma(2X) = \sqrt{4,16} \approx 2,0396$

Ответ: $\sigma(2X) = \sqrt{4,16} \approx 2,04$

Бұл есепті шығару үшін 421-есепте берілген $X$ кездейсоқ шамасының таралу заңдылығын пайдалану керек. Есептің шартында ол көрсетілмегендіктен, мысал ретінде келесі таралу заңдылығын қолданамыз (ықтималдықтардың қосындысы 1-ге тең екенін тексереміз: $0.1 + 0.3 + 0.4 + 0.2 = 1$).

$x_i$: 1 2 3 4
$p_i$: 0.1 0.3 0.4 0.2

Негізгі есептеулерді жүргізу үшін алдымен $X$ шамасының математикалық күтімі $M(X)$ мен дисперсиясын $D(X)$ тауып алуымыз қажет.

1. $X$ кездейсоқ шамасының математикалық күтімі:

$M(X) = \sum x_i p_i = 1 \cdot 0.1 + 2 \cdot 0.3 + 3 \cdot 0.4 + 4 \cdot 0.2 = 0.1 + 0.6 + 1.2 + 0.8 = 2.7$

2. $X$ кездейсоқ шамасының дисперсиясы:

Дисперсияның $D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2$ формуласы бойынша есептейміз. Алдымен $M(X^2)$ мәнін табамыз:

$M(X^2) = \sum x_i^2 p_i = 1^2 \cdot 0.1 + 2^2 \cdot 0.3 + 3^2 \cdot 0.4 + 4^2 \cdot 0.2 = 1 \cdot 0.1 + 4 \cdot 0.3 + 9 \cdot 0.4 + 16 \cdot 0.2 = 0.1 + 1.2 + 3.6 + 3.2 = 8.1$

Енді дисперсияны есептейміз:

$D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2 = 8.1 - (2.7)^2 = 8.1 - 7.29 = 0.81$

Енді $M(3X + 2)$ және $D(3X + 2)$ мәндерін есептеуге болады.

M(3X + 2)
Математикалық күтімнің $M(aX + b) = aM(X) + b$ қасиетін қолданамыз. Мұнда $a=3$ және $b=2$.
$M(3X + 2) = 3 \cdot M(X) + 2 = 3 \cdot 2.7 + 2 = 8.1 + 2 = 10.1$
Ответ: $10.1$

D(3X + 2)
Дисперсияның $D(aX + b) = a^2 D(X)$ қасиетін қолданамыз. Мұнда $a=3$ және $b=2$.
$D(3X + 2) = 3^2 \cdot D(X) = 9 \cdot D(X) = 9 \cdot 0.81 = 7.29$
Ответ: $7.29$

Есептің шарты бойынша, X кездейсоқ шамасы — бұл бес тәуелсіз тәжірибеде А оқиғасының орындалу саны. Бұл X шамасының биномдық үлестірім заңына бағынатынын білдіреді, себебі тәжірибелер тәуелсіз және әрқайсысының екі ықтимал нәтижесі бар (А оқиғасы орындалады немесе орындалмайды).

Биномдық үлестірімнің параметрлері:

Сынақтар саны: $n = 5$.

Бір сынақта А оқиғасының орындалу ықтималдығы ("табыс" ықтималдығы): $p = 0,2$.

Биномдық үлестірімге ие кездейсоқ шаманың дисперсиясы $D(X)$ келесі формуламен есептеледі:

$D(X) = n \cdot p \cdot q$

Мұндағы $q$ — "сәтсіздік" ықтималдығы, яғни А оқиғасының орындалмау ықтималдығы. Ол $q = 1 - p$ формуласымен анықталады.

Есептеулерді жүргізейік:

1. Алдымен $q$ мәнін табамыз:
$q = 1 - p = 1 - 0,2 = 0,8$

2. Енді табылған мәндерді дисперсия формуласына қойып, дисперсияны есептейміз:
$D(X) = n \cdot p \cdot q = 5 \cdot 0,2 \cdot 0,8$
$D(X) = 1 \cdot 0,8 = 0,8$

Осылайша, X кездейсоқ шамасының дисперсиясы 0,8-ге тең.
Ответ: 0,8

$X$ дискретті кездейсоқ шамасының таралу заңдылығын табу үшін оның мүмкін мәндері $x_1$, $x_2$ мен сәйкес ықтималдықтары $p_1$, $p_2$-ні анықтау керек.

Есептің шарты бойынша, $X$ кездейсоқ шамасының $x_1$ мәнін қабылдау ықтималдығы $p_1 = P(X=x_1) = 0.2$.

Дискретті кездейсоқ шаманың барлық мүмкін мәндерінің ықтималдықтарының қосындысы 1-ге тең болғандықтан, $p_1 + p_2 = 1$. Осыдан $p_2$ ықтималдығын табамыз: $p_2 = 1 - p_1 = 1 - 0.2 = 0.8$.

Сонымен, ықтималдықтар белгілі: $p_1 = 0.2$ және $p_2 = 0.8$.

Енді $x_1$ және $x_2$ мәндерін табу үшін математикалық күтім $M(X)$ және орташа квадраттық ауытқу $\sigma(X)$ үшін берілген мәндерді пайдаланамыз.

Математикалық күтім формуласы: $M(X) = x_1 p_1 + x_2 p_2$. Берілгендерді орнына қойып, бірінші теңдеуді аламыз: $2.6 = x_1(0.2) + x_2(0.8)$ немесе $0.2x_1 + 0.8x_2 = 2.6 \quad (1)$.

Дисперсия $D(X)$ орташа квадраттық ауытқудың $\sigma(X)$ квадратына тең: $D(X) = \sigma(X)^2 = (0.8)^2 = 0.64$.

Дисперсияның $D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2$ формуласын қолданамыз, мұндағы $M(X^2) = x_1^2 p_1 + x_2^2 p_2 = 0.2x_1^2 + 0.8x_2^2$. Берілгендерді орнына қойып, екінші теңдеуді аламыз: $0.64 = (0.2x_1^2 + 0.8x_2^2) - (2.6)^2$, $0.64 = 0.2x_1^2 + 0.8x_2^2 - 6.76$, $0.2x_1^2 + 0.8x_2^2 = 7.4 \quad (2)$.

(1) және (2) теңдеулерінен тұратын жүйені шешеміз: $\begin{cases} 0.2x_1 + 0.8x_2 = 2.6 \\ 0.2x_1^2 + 0.8x_2^2 = 7.4 \end{cases}$.

Жүйені ықшамдау үшін екі теңдеуді де 5-ке көбейтеміз: $\begin{cases} x_1 + 4x_2 = 13 \\ x_1^2 + 4x_2^2 = 37 \end{cases}$.

Бірінші теңдеуден $x_1$-ді өрнектейміз: $x_1 = 13 - 4x_2$. Осы өрнекті екінші теңдеуге қоямыз: $(13 - 4x_2)^2 + 4x_2^2 = 37$, $169 - 104x_2 + 16x_2^2 + 4x_2^2 = 37$, $20x_2^2 - 104x_2 + 132 = 0$.

Квадраттық теңдеуді 4-ке бөліп, ықшамдаймыз: $5x_2^2 - 26x_2 + 33 = 0$.

Бұл теңдеуді дискриминант арқылы шешеміз: $D = b^2 - 4ac = (-26)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 33 = 676 - 660 = 16 = 4^2$. $x_2 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{26 \pm 4}{10}$.

$x_2$ үшін екі мүмкін мән шығады: $x_{2,1} = \frac{26 + 4}{10} = 3$ және $x_{2,2} = \frac{26 - 4}{10} = 2.2$.

Есептің $x_1 < x_2$ шартын тексереміз. $x_1 = 13 - 4x_2$ формуласын пайдаланып, $x_1$-дің сәйкес мәндерін табамыз:
1) Егер $x_2 = 3$ болса, онда $x_1 = 13 - 4(3) = 1$. Бұл жағдайда $1 < 3$, яғни $x_1 < x_2$ шарты орындалады.
2) Егер $x_2 = 2.2$ болса, онда $x_1 = 13 - 4(2.2) = 4.2$. Бұл жағдайда $4.2 > 2.2$, яғни $x_1 < x_2$ шарты орындалмайды.

Демек, кездейсоқ шаманың мүмкін мәндері: $x_1 = 1$ және $x_2 = 3$.

Жауабы: $X$ кездейсоқ шамасының таралу заңдылығы келесі кестемен анықталады:

Берілген есепті шешу үшін бізге белгісіз $x_2, x_3$ мәндерін және $p_3$ ықтималдығын табу керек.

1. $p_3$ ықтималдығын анықтау

Дискретті кездейсоқ шаманың барлық мүмкін мәндерінің ықтималдықтарының қосындысы 1-ге тең: $p_1 + p_2 + p_3 = 1$.

Есеп шарты бойынша $P(X=x_1) = p_1 = 0,3$ және $P(X=x_2) = p_2 = 0,2$. Осы мәндерді формулаға қоямыз:

$0,3 + 0,2 + p_3 = 1$

$0,5 + p_3 = 1$

$p_3 = 1 - 0,5 = 0,5$

2. Математикалық күтім мен дисперсия арқылы теңдеулер жүйесін құру

Математикалық күтімнің $M(X)$ формуласы: $M(X) = \sum x_i p_i = x_1 p_1 + x_2 p_2 + x_3 p_3$.

Есеп шартынан $M(X) = 2,2$ екені белгілі. Белгілі мәндерді ($x_1=1, p_1=0,3, p_2=0,2, p_3=0,5$) орнына қойып, бірінші теңдеуді аламыз:

$2,2 = 1 \cdot 0,3 + x_2 \cdot 0,2 + x_3 \cdot 0,5$

$2,2 = 0,3 + 0,2x_2 + 0,5x_3$

$0,2x_2 + 0,5x_3 = 1,9$ (1)

Дисперсияның $D(X)$ формуласы: $D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2$. Алдымен $M(X^2)$ мәнін табамыз.

$M(X^2) = \sum x_i^2 p_i = x_1^2 p_1 + x_2^2 p_2 + x_3^2 p_3$.

Есеп шартынан $D(X) = 0,76$ және $M(X) = 2,2$.

$0,76 = M(X^2) - (2,2)^2$

$0,76 = M(X^2) - 4,84$

$M(X^2) = 0,76 + 4,84 = 5,6$

Енді $M(X^2)$ өрнегін жазып, екінші теңдеуді аламыз:

$5,6 = 1^2 \cdot 0,3 + x_2^2 \cdot 0,2 + x_3^2 \cdot 0,5$

$5,6 = 0,3 + 0,2x_2^2 + 0,5x_3^2$

$0,2x_2^2 + 0,5x_3^2 = 5,3$ (2)

3. Теңдеулер жүйесін шешу

Бізде $x_2$ және $x_3$ айнымалыларына қатысты екі теңдеуден тұратын жүйе бар:

$\begin{cases} 0,2x_2 + 0,5x_3 = 1,9 \\ 0,2x_2^2 + 0,5x_3^2 = 5,3 \end{cases}$

Бірінші теңдеуден $x_3$-ті $x_2$ арқылы өрнектейміз:

$0,5x_3 = 1,9 - 0,2x_2 \implies x_3 = \frac{1,9 - 0,2x_2}{0,5} = 3,8 - 0,4x_2$

Алынған өрнекті екінші теңдеуге қоямыз:

$0,2x_2^2 + 0,5(3,8 - 0,4x_2)^2 = 5,3$

$0,2x_2^2 + 0,5(14,44 - 3,04x_2 + 0,16x_2^2) = 5,3$

$0,2x_2^2 + 7,22 - 1,52x_2 + 0,08x_2^2 = 5,3$

Ұқсас мүшелерді біріктіреміз:

$0,28x_2^2 - 1,52x_2 + 1,92 = 0$

Квадраттық теңдеуді шешу үшін оны 100-ге көбейтіп, 4-ке бөлеміз:

$7x_2^2 - 38x_2 + 48 = 0$

Дискриминантты есептейміз: $D = b^2 - 4ac = (-38)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 48 = 1444 - 1344 = 100$.

Түбірлерді табамыз: $x_2 = \frac{38 \pm \sqrt{100}}{2 \cdot 7} = \frac{38 \pm 10}{14}$.

$x_{2,1} = \frac{38 - 10}{14} = \frac{28}{14} = 2$

$x_{2,2} = \frac{38 + 10}{14} = \frac{48}{14} = \frac{24}{7}$

Есептің $x_1 < x_2 < x_3$ (яғни $1 < x_2 < x_3$) шартын тексереміз.

1. Егер $x_2 = 2$ болса, онда $x_3 = 3,8 - 0,4 \cdot 2 = 3,8 - 0,8 = 3$. Бұл жағдайда $1 < 2 < 3$ теңсіздігі орындалады.

2. Егер $x_2 = \frac{24}{7}$ болса, онда $x_3 = 3,8 - 0,4 \cdot \frac{24}{7} = \frac{19}{5} - \frac{9,6}{7} = \frac{133 - 48}{35} = \frac{85}{35} = \frac{17}{7}$. Бұл жағдайда $x_2 \approx 3,43$ және $x_3 \approx 2,43$ болады, бұл $x_2 < x_3$ шартына қайшы келеді.

Демек, жалғыз дұрыс шешім: $x_2=2$ және $x_3=3$.

Сонымен, X кездейсоқ шамасының таралу заңдылығын құрайтын барлық компоненттер табылды: $x_1=1, x_2=2, x_3=3$ және $p_1=0,3, p_2=0,2, p_3=0,5$.

Ответ: X кездейсоқ шамасының таралу заңдылығы келесідей:

Мүмкін мәндері: $x_1 = 1, x_2 = 2, x_3 = 3$.

Сәйкес ықтималдықтары: $p_1 = 0,3; p_2 = 0,2; p_3 = 0,5$.

1) Ойын сүйегін лақтырғанда түсетін ұпайлар санының

Пусть $X$ - случайная величина, равная числу очков, выпавших при броске игральной кости. Возможные значения $X$ принадлежат множеству $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. Вероятность каждого из этих исходов одинакова и равна $p_i = 1/6$.

Математическое ожидание $E[X]$ (среднее значение) вычисляется по формуле $E[X] = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i$.

$E[X] = 1 \cdot \frac{1}{6} + 2 \cdot \frac{1}{6} + 3 \cdot \frac{1}{6} + 4 \cdot \frac{1}{6} + 5 \cdot \frac{1}{6} + 6 \cdot \frac{1}{6} = \frac{1+2+3+4+5+6}{6} = \frac{21}{6} = 3.5$

Дисперсия $D[X]$ вычисляется по формуле $D[X] = E[X^2] - (E[X])^2$. Сначала найдем математическое ожидание квадрата случайной величины $E[X^2]$.

$E[X^2] = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 p_i = 1^2 \cdot \frac{1}{6} + 2^2 \cdot \frac{1}{6} + 3^2 \cdot \frac{1}{6} + 4^2 \cdot \frac{1}{6} + 5^2 \cdot \frac{1}{6} + 6^2 \cdot \frac{1}{6}$

$E[X^2] = \frac{1+4+9+16+25+36}{6} = \frac{91}{6}$

Теперь можем вычислить дисперсию:

$D[X] = E[X^2] - (E[X])^2 = \frac{91}{6} - (3.5)^2 = \frac{91}{6} - (\frac{7}{2})^2 = \frac{91}{6} - \frac{49}{4} = \frac{182 - 147}{12} = \frac{35}{12}$

Ответ: математическое ожидание $E[X] = 3.5$, дисперсия $D[X] = \frac{35}{12}$.

2) тиынды үш рет лақтырғанда елтаңбаның түсу санының

Пусть $Y$ - случайная величина, равная числу выпадений герба ("елтаңба") при трех бросках монеты. Эта величина подчиняется биномиальному закону распределения с параметрами: число испытаний $n=3$ и вероятность "успеха" (выпадения герба) в одном испытании $p=0.5$.

Математическое ожидание для биномиального распределения находится по формуле $E[Y] = n \cdot p$.

$E[Y] = 3 \cdot 0.5 = 1.5$

Дисперсия для биномиального распределения находится по формуле $D[Y] = n \cdot p \cdot (1-p)$.

$D[Y] = 3 \cdot 0.5 \cdot (1 - 0.5) = 3 \cdot 0.5 \cdot 0.5 = 0.75$

Ответ: математическое ожидание $E[Y] = 1.5$, дисперсия $D[Y] = 0.75$.

3) 1-ден 10-ға дейін кездейсоқ алынған натурал сан үшін бөлгіштер санының

Пусть $Z$ - случайная величина, равная количеству делителей натурального числа, случайно выбранного из множества $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$. Так как в множестве 10 элементов, вероятность выбора любого числа равна $1/10$.

Найдем количество делителей для каждого числа от 1 до 10: для числа 1 — 1 делитель; для 2 — 2; для 3 — 2; для 4 — 3; для 5 — 2; для 6 — 4; для 7 — 2; для 8 — 4; для 9 — 3; для 10 — 4.

Составим ряд распределения для случайной величины $Z$ (количества делителей). Значения, которые может принимать $Z$: 1, 2, 3, 4. Их вероятности:

$P(Z=1)$ (для числа 1) $= 1/10$

$P(Z=2)$ (для чисел 2, 3, 5, 7) $= 4/10$

$P(Z=3)$ (для чисел 4, 9) $= 2/10$

$P(Z=4)$ (для чисел 6, 8, 10) $= 3/10$

Математическое ожидание $E[Z]$:

$E[Z] = \sum z_i p_i = 1 \cdot \frac{1}{10} + 2 \cdot \frac{4}{10} + 3 \cdot \frac{2}{10} + 4 \cdot \frac{3}{10} = \frac{1+8+6+12}{10} = \frac{27}{10} = 2.7$

Для вычисления дисперсии $D[Z] = E[Z^2] - (E[Z])^2$ найдем $E[Z^2]$:

$E[Z^2] = \sum z_i^2 p_i = 1^2 \cdot \frac{1}{10} + 2^2 \cdot \frac{4}{10} + 3^2 \cdot \frac{2}{10} + 4^2 \cdot \frac{3}{10} = \frac{1 + 16 + 18 + 48}{10} = \frac{83}{10} = 8.3$

Теперь вычислим дисперсию:

$D[Z] = E[Z^2] - (E[Z])^2 = 8.3 - (2.7)^2 = 8.3 - 7.29 = 1.01$

Ответ: математическое ожидание $E[Z] = 2.7$, дисперсия $D[Z] = 1.01$.